兩種常見(jiàn)的狀態(tài)方程及其特征向量的正交性

張 淼,陳慶文

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院,長(zhǎng)春130012;2.解放軍裝甲兵技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春130117)

近年來(lái),除了在現(xiàn)代控制理論中,狀態(tài)空間格式還在另外兩個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用,一個(gè)是多自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析,另一個(gè)是與靈敏度分析相關(guān)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改、結(jié)構(gòu)集成和結(jié)構(gòu)再設(shè)計(jì)等。結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)分析的方法中,狀態(tài)空間法、復(fù)模態(tài)法及一階常微分方程組的初值解法[1]這三種方法都是在狀態(tài)方程中進(jìn)行分析和求解響應(yīng)的,而直接積分法既可以在狀態(tài)方程中,也可以直接對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的平衡方程對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)Δt進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算響應(yīng),所以狀態(tài)方程只是其可選擇的模式之一[2]。在靈敏度分析的相關(guān)領(lǐng)域中,模態(tài)分析是其重要的基礎(chǔ)[3],而各種類型的模態(tài)向量之間的關(guān)系及作用都需要將振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間中分析,這在討論特征向量的一階、二階導(dǎo)數(shù)及狀態(tài)方程的解耦等問(wèn)題時(shí),具有很高的理論和應(yīng)用價(jià)值,可以為系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別、模型修正[4]及損傷識(shí)別[5]等工程應(yīng)用提供保障。如今狀態(tài)空間理論在應(yīng)用過(guò)程中得到發(fā)展和完善,究其原因首先是由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),因此比傳統(tǒng)的方法更為優(yōu)越,特別是對(duì)于多激勵(lì)輸入輸出系統(tǒng),狀態(tài)空間具有明顯的優(yōu)勢(shì),其次狀態(tài)方程描述一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程,不論系統(tǒng)多復(fù)雜,狀態(tài)空間的描述總是具有統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的形式,并可用多種分析技術(shù)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.而對(duì)狀態(tài)向量的正交性,它不僅是實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程解耦的重要工具,而且也是理論分析的基礎(chǔ),但關(guān)于狀態(tài)向量的正交化的總結(jié)及評(píng)述性的文獻(xiàn)卻很少見(jiàn),這使得人們?cè)趹?yīng)用狀態(tài)空間格式時(shí),得不到系統(tǒng)的理論指導(dǎo),很多應(yīng)用方面的文獻(xiàn)中常常忽視推導(dǎo)中對(duì)系統(tǒng)矩陣的對(duì)稱性的要求,從而容易產(chǎn)生混淆甚至錯(cuò)誤。本文從上述兩種結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域出發(fā),總結(jié)在兩個(gè)領(lǐng)域中常見(jiàn)的狀態(tài)方程格式,介紹振動(dòng)系統(tǒng)的特征問(wèn)題與其狀態(tài)方程的特征問(wèn)題之間的關(guān)系,并對(duì)兩種類型的狀態(tài)方程的特征向量的特點(diǎn)及其正交性進(jìn)行分析和對(duì)比,給出了特征向量正交性的證明及其求解方法。

1 線性振動(dòng)系統(tǒng)的左、右特征向量

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)的動(dòng)力方程

其中,M、C和K ∈RN×N分別代表質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣,x(t)∈RN是廣義坐標(biāo)向量,t∈R+代表時(shí)間 。作拉普拉斯變換 x(t)=uest=ueiωt(s=iω),代入式(1)得:

關(guān)于式(2)的特征值si是特征多項(xiàng)式det[s2M+sC+K]=0的根。

對(duì)于N自由度系統(tǒng),式(2)有2N個(gè)呈復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)的特征值s1,…,sN,s*1,…,s*N,或記為s1,…,sN,sN+1,…,s2N,其中s*i表示si的共軛(i=1,2,…N),稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。這些特征值對(duì)應(yīng)著一組特征向量,對(duì)多自由度系統(tǒng),這些特征向量ui及u*i是復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)的,稱為模態(tài)振型向量(復(fù)模態(tài)向量),模態(tài)矩陣為:

定義1 對(duì)滿足下式

的si∈C,稱為式(1)的第i個(gè)特征值,ui∈CN稱為式(1)與si相對(duì)應(yīng)的第i個(gè)右特征向量。其復(fù)共軛對(duì)也滿足上式,所以將u1,…,uN,u*1,…,u統(tǒng)稱為二階式(1)的右特征向量系,或記為u1,…,uN,uN+1,…,u2N。

同樣可以引入系統(tǒng)的左特征向量。

定義2 如果對(duì)vi∈CN,若滿足

稱v1,…,vN,v*1,…,v為式(1)的左特征向量系,或記為v1,…,vN,vN+1,…,v2N。

注:由式(3)和式(4)可知,當(dāng)M、C和K 為對(duì)稱陣時(shí),式(1)的左、右特征向量是相同的,但當(dāng)M,C和K不是一般的對(duì)稱矩陣時(shí),情況則相反。

式(1)的左、右特征向量既可以從式(3)和式(4)中分別獲得,也可以分別從一階系統(tǒng)中獲得,為此,可以將二階系統(tǒng)(1)用狀態(tài)空間法轉(zhuǎn)化為一階系統(tǒng)。

2 線性振動(dòng)系統(tǒng)的形如A˙y+By=0的狀態(tài)方程

在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模型修正時(shí),基于設(shè)計(jì)參數(shù)及矩陣元素的修正算法中,可以使用無(wú)阻尼實(shí)模態(tài)的正交歸一化條件作為約束求解修正量[6],最近還有一些文獻(xiàn)[7]已開(kāi)始使用復(fù)模態(tài)的正交歸一化條件來(lái)設(shè)計(jì)修正算法,復(fù)模態(tài)的分析都要從狀態(tài)方程出發(fā),而經(jīng)常選擇的就是A˙y+By=0型的狀態(tài)方程。從本文的討論可知,這樣做的原因是這種形式的狀態(tài)方程不僅具有左、右特征向量的雙正交關(guān)系,而且它的右特征向量系統(tǒng)內(nèi)部就具有加權(quán)正交關(guān)系。如果使用第二種正交性,可以不必計(jì)算左特征向量系,節(jié)省工作量。另外在文獻(xiàn)[8]中也出現(xiàn)了A˙y+By=0型的狀態(tài)方程,下面就分別討論這種形式的狀態(tài)矩陣的左、右特征向量及其正交性。

設(shè)

代入式(1),則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng):

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣,式(5)中的向量稱為狀態(tài)向量,式(6)稱為狀態(tài)方程。

注:在系統(tǒng)性質(zhì)矩陣M、C和K 為對(duì)稱陣時(shí),狀態(tài)矩陣A和B也為對(duì)稱陣,這一點(diǎn)在其他類型的狀態(tài)方程中是很難做到的,因此它也比其他類型的狀態(tài)方程多一種正交性。

2.1 狀態(tài)矩陣A和B的右特征向量

作拉普拉斯變換 x(t)=uest=ueiωt(s=iω)代入式(6),則有

且滿足

由式(8)和式(9)可知,原式(1)的振動(dòng)特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義特征問(wèn)題:

其中

稱為廣義特征問(wèn)題式(10)的右特征向量,或稱為狀態(tài)矩陣A和B的右特征向量,它的后N維恰為振動(dòng)式(1)的右特征向量,見(jiàn)定義1。

2.2 狀態(tài)矩陣 A和B的右特征向量系的加權(quán)正交性

在一般黏性阻尼條件下,廣義特征問(wèn)題式(10)的右特征向量具有加權(quán)正交性[9]。當(dāng)系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣M、C和K為對(duì)稱陣時(shí),對(duì)相異的特征值,如果r≠s,則有

式(12)說(shuō)明,這些向量在A加權(quán)的條件下是正交的,同時(shí)可以得出這些向量在B加權(quán)的條件下也是正交的,即

這些正交性是使系統(tǒng)方程解耦而進(jìn)行某種坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)。

2.3 狀態(tài)矩陣A和B的左特征向量

上面討論中獲得的狀態(tài)矩陣A和B的右特征向量系的正交性,其中一個(gè)重要條件就是要求系統(tǒng)性質(zhì)矩陣M、C和K對(duì)稱,在非對(duì)稱系統(tǒng)中,那些正交性條件就不起作用了,這時(shí)為了進(jìn)一步討論,有必要引入狀態(tài)矩陣的左特征向量。把式(1)變換成一階Duncan形式式(6)后,為了表達(dá)上的簡(jiǎn)便,把與式(10)相關(guān)的右特征問(wèn)題表示為

其中,sj∈C是第j個(gè)特征值,zj∈C2N是第j個(gè)右特征向量,它是與二階系統(tǒng)的第j個(gè)右特征向量有關(guān)的,即

定義3 設(shè)向量yj∈C2N也與sj相聯(lián)系,并滿足

則稱yj(j=1,…,2N)為狀態(tài)矩陣的左特征向量。

為了討論狀態(tài)矩陣A和B的左特征向量yj與式(1)的左特征向量vj之間的關(guān)系,先假定yj可以表示為

其中,y1j,y2j∈ CN。把yj代入式(16)然后簡(jiǎn)化,得到:

通過(guò)比較方程式(4)和式(20),可以得到y(tǒng)2j=vj。因?yàn)镸是非奇異的,從式(19)中得到y(tǒng)1j=sjvj,因此,狀態(tài)矩陣的左特征向量與二階系統(tǒng)式(1)的左特征向量建立聯(lián)系:

2.4 狀態(tài)矩陣A和B的左、右特征向量系的加權(quán)正交性

定理1 對(duì)不同的特征值,狀態(tài)矩陣的左、右特征向量滿足加權(quán)正交關(guān)系(又稱雙正交關(guān)系):

證明:對(duì)式(16)右乘zk(k≠j),可得:

將式(25)與式(24)相減可得:

當(dāng)sk≠sj時(shí),有式(22),同理有式(23),定理得證。

注:如果系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣M、C和K 為對(duì)稱陣時(shí),系統(tǒng)的左、右特征向量是相同的(見(jiàn)式(21)和式(15)),此時(shí)左、右特征向量的加權(quán)正交關(guān)系(見(jiàn)式(22)和式(23))退化為右特征向量?jī)?nèi)部的加權(quán)正交關(guān)系(見(jiàn)式(12)和式(13))。

3 線性振動(dòng)系統(tǒng)的形如Ay-˙y=0的狀態(tài)方程

在結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)分析文獻(xiàn)[10]中常使用形如Ay-˙y=0的狀態(tài)方程,這主要是由于在用直接積分法構(gòu)造迭代格式時(shí),這種類型的狀態(tài)方程顯然要比前一種更為簡(jiǎn)潔,另外從它的狀態(tài)向量中可以很容易地同時(shí)得到各時(shí)間點(diǎn)上的位移及速度響應(yīng)。

對(duì)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式(1),設(shè)

代入方程式(1),則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng):

其中

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣,式(27)中的向量稱為狀態(tài)向量,式(28)稱為狀態(tài)方程。

注:這種類型的狀態(tài)矩陣(29)不是對(duì)稱的,導(dǎo)致它的右特征向量系不是正交的,還必須要求M-1存在,但是它的優(yōu)點(diǎn)是振動(dòng)系統(tǒng)式(1)的特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般矩陣A的特征問(wèn)題,而不是廣義特征問(wèn)題。

3.1 狀態(tài)矩陣A的右特征向量

作拉普拉斯變換代入式(3),則有

且同樣滿足式(9),由此可知原系統(tǒng)式(1)的振動(dòng)特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)矩陣A的一般特征問(wèn)題:

其中

稱為狀態(tài)矩陣A的右特征向量,它的前N維恰為振動(dòng)系統(tǒng)式(1)的右特征向量。

注:與前一種狀態(tài)方程不同(見(jiàn)2.2),在一般黏性阻尼條件下,狀態(tài)矩陣A的右特征向量之間不具有正交性,這是由于A不對(duì)稱引起的。

為了進(jìn)一步討論正交性,引入狀態(tài)矩陣的左特征向量。

3.2 狀態(tài)矩陣A的左特征向量

為了表達(dá)上的簡(jiǎn)便,把方程式(32)表示為:

其中si∈C是第i個(gè)特征值,Zi∈C2N是第i個(gè)右特征向量,它是與二階系統(tǒng)的第i個(gè)右特征向量有關(guān)的,即

定義4 對(duì)向量yk∈C2N,如果有

則稱yk(k=1,…,2N)為矩陣A的左特征向量系。

同前面的討論類似,我們也希望尋求狀態(tài)矩陣A的左特征向量yj與系統(tǒng)(1)的左特征向量vj之間的關(guān)系。先假定yj也可以表示為式(17)的形式,并代入式(34),得

將式(35)解出yT1j,代入式(36)可得:

所以

本文給出的上述結(jié)論,指明了如何構(gòu)造狀態(tài)矩陣的左特征向量的方法,并為實(shí)現(xiàn)左右特征向量的歸一化處理提供了便利。

3.3 狀態(tài)矩陣 A的左、右特征向量系的正交性及加權(quán)正交性

定理2 對(duì)不同的特征值,矩陣A的左、右特征向量滿足正交關(guān)系:

證明:對(duì)式(34)右乘Zi(i≠k),得:

用式(39)減式(40)得:

對(duì)不同特征值,由于sk≠si,所以有式(38),得證。

定理3 對(duì)不同的特征值,矩陣A的左、右特征向量滿足加權(quán)正交關(guān)系:

證明:由式(41)可知,這個(gè)結(jié)論是顯然的。

4 結(jié)語(yǔ)

首先,本文的討論中指出在使用兩種狀態(tài)方程的正交關(guān)系時(shí),必須格外注意它們與系統(tǒng)的左右特征向量的關(guān)系,以及系統(tǒng)性質(zhì)矩陣的對(duì)稱性等,否則極易得到錯(cuò)誤的結(jié)論。對(duì)于形如 A˙y+By=0的狀態(tài)方程,如果系統(tǒng)性質(zhì)矩陣對(duì)稱時(shí),不僅系統(tǒng)的左、右特征向量相同,而且狀態(tài)方程的左、右特征向量也是相同的,此時(shí)它們的雙正交關(guān)系退化為狀態(tài)方程的右特征向量系的內(nèi)部正交關(guān)系,但對(duì)于形如Ay-˙y=0的狀態(tài)方程的左、右特征向量在相同條件下不具有上述特點(diǎn),而且它的右特征向量系也不具有內(nèi)部正交關(guān)系。其次,本文給出了多種正交關(guān)系的證明,并提供了構(gòu)造左、右特征向量的方法,使?fàn)顟B(tài)方程的特征問(wèn)題更加明晰,也為工程應(yīng)用提供了保障。

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