四元數(shù)體上兩類特殊矩陣的同時(shí)對(duì)角化

陳香萍，傅鴻源

(重慶大學(xué)城市科技學(xué)院，重慶 402167)

1 符號(hào)約定

1843年，北愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton首次提出了四元數(shù)的概念［1］，但當(dāng)時(shí)并未引起廣泛的注意。近年來，四元數(shù)體上代數(shù)問題的研究是一個(gè)非常活躍的領(lǐng)域。一方面由于人們對(duì)四元數(shù)乘積的非交換性有著濃厚的興趣，同時(shí)還因?yàn)樗脑獢?shù)在眾多的應(yīng)用科學(xué)中有著重要的作用，如四元數(shù)在量子力學(xué)、剛體力學(xué)方面的應(yīng)用，四元數(shù)矩陣在計(jì)算機(jī)圖形圖像處理和識(shí)別方面的應(yīng)用，四元數(shù)在空間姿態(tài)定位方面的應(yīng)用等［1］，也促使人們對(duì)四元數(shù)代數(shù)問題的研究。四元數(shù)矩陣的研究是四元數(shù)代數(shù)理論中的一個(gè)重要方面，例如文獻(xiàn)［4］討論了四元數(shù)矩陣的Moore-Penrose逆的計(jì)算簡化。近年來，四元數(shù)矩陣的特征值不等式、奇異值不等式、合同、正定性以及自共軛四元數(shù)矩陣行列式等方面都有廣泛的研究［4－13］，但對(duì)四元數(shù)體上矩陣同時(shí)對(duì)角化進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少。

四元數(shù)矩陣的對(duì)角化是四元數(shù)矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容，它在四元數(shù)力學(xué)等一些四元數(shù)應(yīng)用學(xué)科的理論研究和數(shù)值計(jì)算中起到重要作用。本文主要研究四元數(shù)體上矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題，主要借助于實(shí)數(shù)域復(fù)數(shù)域上的矩陣同時(shí)對(duì)角化的一些結(jié)論及方法，在筆者對(duì)同時(shí)對(duì)角化問題的前期研究成果［3］的基礎(chǔ)上對(duì)四元數(shù)本身的特性加以改進(jìn)，獲得了四元數(shù)體上兩類特殊矩陣同時(shí)對(duì)角化的條件。該研究對(duì)于深化四元數(shù)矩陣的學(xué)習(xí)及問題的解決有積極意義。

本文中:R表示實(shí)數(shù)域;C表示復(fù)數(shù)域;H表示R上的四元數(shù)體;A=( aij)n×n表示 H 上的矩陣;R和H上 n階矩陣的全體分別記為 Rn×n和 Hn×n;表示A的共軛轉(zhuǎn)置;a=a0+a1i+a2j+a3k表示實(shí)四元數(shù)(a0，a1，a2，a3為實(shí)數(shù));α 和 In分別表示H上任意n維四元數(shù)列向量和n階單位矩陣;E表示R上n階單位矩陣;a*表示a的共軛四元數(shù);α*表示α的共軛轉(zhuǎn)置向量。

2 定義和引理

定義1 設(shè)A，B∈Hn×n，若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n，使得 B=P－1AP，則稱 A 與 B 相似，記為A～B。

定義2 設(shè)A，B∈Hn×n，若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n，使得 B=P*AP，則稱 A 與 B 合同，記為A?B。

定義3 如果存在一個(gè)可逆矩陣 P∈Hn×n，使得

其中 λ1，λ2，…，λn∈R且為 A 的特征值，那么稱矩陣A為中心封閉陣。

定義4 如果矩陣 A∈Hn×n與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，那么就說A為可角化矩陣。有時(shí)也可采用術(shù)語稱A是可對(duì)角的。

定義5［1］設(shè)

其中:αj= (a1j，a2j，…，anj)T，j=1，2，…，m;βi=(ai1，ai2，…，aim)，i=1，2，…，n，則稱列向量組{α1，α2，…，αm}的極大右(左)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為 A 的列右(左)秩，稱行向量組 {β1，β2，…，βn}的極大左(右)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為A的行左(右)秩。在A的子方陣中，重行列式不為零的子方陣的階數(shù)r稱為矩陣 A的秩，記為 rankA=r;如果n=m=r，則稱A為滿秩矩陣;又滿秩矩陣必為方陣。

引理1［1］設(shè) A∈Hn×n，則 A 滿秩的充要條件為A可逆。

引理2［1］設(shè) A∈Hn×n，則:A 的列右秩 =A 的列左秩=rankA;A的行右秩=A的行左秩=rankA。

引理3［2］設(shè) A∈Hm×n，則 A 的行左秩、列右秩均等于rankA。

引理4 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣，P∈Hn×n為任意可逆矩陣，則B=P－1AP亦可對(duì)角化。

證明因?yàn)锳∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣，則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n，使得 P－11AP1=∧。又因?yàn)?B=P－1AP 得 A=PBP－1，則

其中:∧ 代表對(duì)角矩陣;P2=P－1P1，因此得證 B與一個(gè)對(duì)角矩陣∧相似，即 B=P－1AP亦可對(duì)角化。

3 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè) A∈Hn×n，B ∈ Hm×m，令 C=是A，B的直和，那么 C可對(duì)角化，當(dāng)且僅當(dāng)A，B都可對(duì)角化。

證明如果存在非奇異矩陣P1∈Hn×n和非奇異矩陣 P2∈Hm×m，使得AP1和BP2都為對(duì)角矩陣，那么容易驗(yàn)證，P－1CP是對(duì)角矩陣，只要P取直和

如果用

表示 P= [p1，p2，…，pn+m]，那么，對(duì)于 i=1，2，…，n+m，推出 Aξi= ξiλi和 Bηi=ηiλi。

如果在集合 { ξ1，ξ2，…，ξn+m} 中，無關(guān)向量少于n個(gè)，則矩陣

的列右秩將小于n，由引理2及引理3知其行左秩也小于n。

同理，如果集合 { η1，η2，…，ηn+m} 中，無關(guān)向量少于m個(gè)，則矩陣

的列右秩將小于m，由引理2及引理3知其行左秩也小于m。

在其中一種(或兩種)情形下，矩陣

的行左秩小于n+m，因?yàn)镻是可逆矩陣，由引理1知，這是不可能的。因此，在集合{ξ1，ξ2，…，ξn+m}中，恰有n個(gè)無關(guān)的向量，又因?yàn)檫@每一個(gè)向量都是A的特征向量，所以矩陣A一定可以對(duì)角化。同理矩陣B也可對(duì)角化。定理1得證。

定理2 設(shè) A∈Hn×n為中心封閉陣，B∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣，如果AB=BA，則 A，B可同時(shí)對(duì)角化。

證明設(shè)AB=BA，由于A∈Hn×n為中心封閉陣，則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n，使得

其中，λ1，λ2，…，λn∈R且為 A 的特征值，且為方便，可不妨設(shè)

其中 λ1，λ2，…，λs∈R 為互不相同的數(shù)(s≤n)。于是由AB=BA知P－11AP1與P－11BP1可以交換，為方便記 C=P－11AP1，D=P－11BP1，則 CD=DC，所以有

其中D=[ dij]，而 λ1，λ2，…，λs∈R為 A 的特征值。因?yàn)?λ1，λ2，…，λs∈R，則有 ( λi－ λj)dij=0。由此可知，只要 λi≠λj，就有 dij=0。因此，接上面已經(jīng)給定的 λi(i=1，2，…，s)項(xiàng)的順序，D=是分塊對(duì)角矩陣:

其中，對(duì)于A的每個(gè)不同的特征值，有一個(gè)子塊Di，每個(gè)子塊Di是一個(gè)方陣，其階數(shù)等于與它相應(yīng)的A的特征值的重?cái)?shù)。因?yàn)锽∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣，由引理4知D為可對(duì)角化矩陣，又由定理1知，每個(gè)子塊Di可對(duì)角化。設(shè)Ti是使T－1iDiTi為對(duì)角矩陣的非奇異矩陣。因?yàn)镃有分塊形式

其中每個(gè)純量矩陣λiIni與Di同階，由此得到T－1CT和T－1DT都是對(duì)角矩陣，其中

即A，B可同時(shí)對(duì)角化，證畢。

注:這個(gè)命題與實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)域上的命題不同，在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)域中對(duì)于任意兩個(gè)可對(duì)角化矩陣來說，可交換是它們可同時(shí)對(duì)角化的充要條件。但是在這里逆命題是不一定成立，即如果A，B可同時(shí)對(duì)角化，不一定有A，B可交換。在這里給出一個(gè)算例。

推論1 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣，λI∈Rn×n為實(shí)數(shù)域中的純量矩陣，則A與λI可同時(shí)對(duì)角化。

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