多值非擴(kuò)張非自映射的強(qiáng)收斂定理

董巧麗，鄧斌超

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

多值非擴(kuò)張非自映射的強(qiáng)收斂定理

董巧麗，鄧斌超

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

對多值非擴(kuò)張映射構(gòu)造了兩個(gè)迭代算法，在自反且嚴(yán)格凸Banach空間中證明了強(qiáng)收斂定理。研究結(jié)果推廣了Matsushita-Takahashi的結(jié)果。

多值非擴(kuò)張非自映射；自反且嚴(yán)格凸Banach空間；弱序列連續(xù)的對偶映射

設(shè)E為Banach空間，C是E中的非空子集。令2E為Banach空間E中的所有子集族，CB（E）為E中非空有界閉子集族，K（E）為E中非空緊子集族。設(shè)H是CB（E）上的 Hausdorff度量，即

其中：d（x，B）=inf{‖x-y‖；y∈B}。T ∶C→2E稱為多值非擴(kuò)張映射，如果對?x，y∈C，滿足 H（Tx，Ty）≤‖x-y‖。設(shè) F（T）={x∈D（T）∶x∈Tx}是映射 T 的不動(dòng)點(diǎn)集，其中D（T）是映射T的定義域。

最近Matsushita-Takahashi[1]研究了如下的迭代格式

其中：Q∶E→C是太陽非擴(kuò)張收縮映射。在本文中把Matsushita-Takahashi的迭代格式（1）、（2）推廣到適用于多值映射的算法。設(shè)C是Banach空間E的非空閉凸子集，Q∶E→C是太陽非擴(kuò)張收縮，根據(jù)下節(jié)引理1，選擇適當(dāng)?shù)?u，x1∈C

其中 yn∈Txn，使得‖yn+1-yn‖≤H（Txn+1，Txn）。假設(shè)序列 αn?[0，1]滿足條件

1 預(yù)備知識

設(shè)E為實(shí)Banach空間，J∶E→2E*為對偶映射，即

其中E*是E的對偶空間并且＜·，·＞是對偶內(nèi)積。設(shè)C是E中的非空子集，D?C，則Q∶C→D稱為太陽映射，如果Q（Qx+t（x-Qx））=Qx，其中對?x∈C和t≥0，有Qx+t（x-Qx）∈C。Q∶C→C稱為收縮映射，如果Q2=Q。集合D稱為集合C上的太陽非擴(kuò)張收縮，如果存在一個(gè)從集合C到集合D上的太陽非擴(kuò)張收縮映射。

設(shè)C是光滑Banach空間中的非空閉凸子集，Q是E到C上的太陽非擴(kuò)張收縮，則Q唯一。由于?y∈C，對于映射T∶C→E，引入條件

其中：Sx={y∈K（E）∶y≠x，Qy=x}；是 Sx的補(bǔ)集；Q是E到C上的太陽非擴(kuò)張收縮。

引理1 設(shè)X是完備度量空間，且A，B∈K（X）。則?a∈A，存在 b∈B，滿足[2]

引理2 設(shè)an是非負(fù)實(shí)序列且滿足

其中序列{γn}?（0，1）和序列{βn}?R，滿足

引理3 設(shè)C是光滑Banach空間E中的閉凸子集，設(shè)T∶C→E是非擴(kuò)張映射。假設(shè)C是E上的太陽非擴(kuò)張收縮，且滿足式（5），則 F（T）=F（QT）[1]。

引理4 設(shè)C是嚴(yán)格凸Banach空間E中的閉凸子集，設(shè)T∶C→E是非擴(kuò)張映射。假設(shè)C是E上的太陽非擴(kuò)張收縮。如果 F（T）≠?，則映射 T滿足式（5）[1]。

引理5 設(shè)C是光滑Banach空間E中的非空閉凸子集，D?C，J∶E→E*是 E 上的對偶映射，P∶C→D是一個(gè)收縮。成立如下等價(jià)條件：

2）P既是太陽映射也是非擴(kuò)張映射。

定義如下隱格式

其中 yt∈Txt。

2 主要結(jié)論

定理2 設(shè)E是自反的嚴(yán)格凸Banach空間且E有弱序列連續(xù)的對偶映射。C是E中的非空閉凸子集，T∶C→K（E）是非擴(kuò)張映射。設(shè)C在E上太陽非擴(kuò)張收縮。假設(shè) F（T）≠? 滿足 T（y）=y，?y∈F（T），序列 αn滿足條件 H1）～H3），則由式（3）定義的序列 xn→Pu，n→∞，其中 P ∶C→F（T）=F（QT）是唯一的太陽非擴(kuò)張收縮映射。

證明 第一步證明：QT是非擴(kuò)張多值映射，即

因?yàn)镼和T是非擴(kuò)張映射，可得

根據(jù)引理 3，可取 z∈F（T）=F（QT），根據(jù)定理?xiàng)l件有z=Tz。由 yn∈Txn，可得

其中 M=max{‖u-z‖，‖x0-z‖}，因此序列 xn，yn和Qyn有界。則可得

第二步證明

由 yn∈Txn，可得 Qyn∈QTxn，因此有

聯(lián)立式（8）、式（9）和上式，得

據(jù)定理1，可知F（T）是K上的太陽收縮且P∶K（E）→F（T）是唯一的太陽非擴(kuò)張收縮映射。

第三步證明

取序列xn+1中的子列xnk+1，滿足

根據(jù)Banach空間E的自反性和序列xn的有界性，假設(shè)序列xnk?x*。由QTx*的緊性可推出存在一個(gè)序列zn∈QTx*滿足

設(shè)z≠x*。由具有弱序列連續(xù)對偶映射的Banach空間滿足 Opoal條件，及式（7）和式（10）可得

這是矛盾的。所以

因?yàn)閷ε加成銳∶E→E*是弱序列連續(xù)的對偶映射，根據(jù)式（12）、式（13）和引理 5，可得

第四步證明

定理3 設(shè)E是自反的嚴(yán)格凸Banach空間且E有弱序列連續(xù)的對偶映射。C是E中的非空閉凸子集，T∶C→K（E）是非擴(kuò)張映射。設(shè)C是E上太陽非擴(kuò)張收縮。假設(shè) F（T）≠? 滿足 T（y）=y，?y∈F（T），序列 αn滿足條件 H1）～H3），則由式（4）定義的序列 xn→Pu，n→∞，其中 P ∶C→F（T）=F（QT）是唯一的太陽非擴(kuò)張收縮映射。

證明 根據(jù)定理2中式（11）中類似的證明，可得

[1]MATSUSHITA S，TAKAHASHI W.Strong convergence theorems for nonexpansive nonself－mappings without boundary conditions[J].Nonlinear Anal，2008，68：412－419.

[2] NADLER S B，JR.Multi－valued contraction mappings[J].Pacific J Math，1969，30：475－487.

[3] SONG Y，CHO Y J.Iterative approximations for multivalued nonexpansive mappings reflexive Banach spaces[J].Math Inequal Appl，2009，12：611－624.

Convergence Theorems for Multivalued Nonexpansive Nonself Mappings

DONG Qiao-li，DENG Bin-chao
（Civil Aviation University of China College of Sciences Tianjin 300300）

Constructing two iterative schemes for mutivalued nonexpansive nonself-mappings and prove strong convergence theorems in a reflexive and strictly convex Banach space.The results generalize and extend the results of Matsushita-Takahashi.

multivalued nonexpansive nonself mapping；reflexive and strictly convex Banach space；weakly sequentially continuous duality mapping

O177.91

A

1674－5590（2010）02－0062－03

2010-05-12；

2010-08-31

中國民航大學(xué)科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（08QD10X）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)（ZXH2009D021）

董巧麗（1979—），女，河南濮陽人，講師，博士，研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）