基于自助法的土壤導(dǎo)熱系數(shù)的估計(jì)

唐克琴，周樹(shù)民，管昌生，陳 蕓

(1．武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070;2．武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，環(huán)境及能源問(wèn)題已引起公眾的廣泛關(guān)注，人們對(duì)清潔能源的需求逐漸提上日程。在眾多能源之中，地?zé)豳Y源憑借其運(yùn)行費(fèi)用低、可持續(xù)利用及環(huán)保等其他能源無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，獲得了眾多人士的青睞。土壤源熱泵系統(tǒng)就是使用地?zé)豳Y源頗具代表性的一種，該系統(tǒng)是利用低品位能源的一種節(jié)能環(huán)保型技術(shù)，通常輸入少量的高品位能源，便可把土壤中所儲(chǔ)存的低品位能源轉(zhuǎn)化成有用的熱能。地源熱泵系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一是如何根據(jù)建筑物的負(fù)荷設(shè)計(jì)埋地?fù)Q熱器，而要準(zhǔn)確設(shè)計(jì)埋地?fù)Q熱器就需要知道建筑物地下土壤的實(shí)際導(dǎo)熱系數(shù)。如果土壤導(dǎo)熱系數(shù)不準(zhǔn)確，則設(shè)計(jì)的系統(tǒng)可能無(wú)法滿足負(fù)荷要求，也可能導(dǎo)致規(guī)模過(guò)大，增加成本，因而研究土壤導(dǎo)熱系數(shù)的估計(jì)非常必要。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)單井孔導(dǎo)熱系數(shù)的確定已進(jìn)行了比較深入的研究［1－4］，但在實(shí)際工程中，由于土壤的熱物性比較復(fù)雜，如果利用多打井孔來(lái)獲得土壤的導(dǎo)熱系數(shù)，就增加了初期投資。因此，應(yīng)研究如何以盡可能少的井孔測(cè)試數(shù)據(jù)，盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)整個(gè)工程所覆蓋的土壤的導(dǎo)熱系數(shù)。筆者利用自助法將實(shí)際獲得的幾個(gè)有限的導(dǎo)熱系數(shù)用來(lái)估計(jì)整個(gè)工程所覆蓋的土壤的導(dǎo)熱系數(shù)，為埋地?fù)Q熱器的設(shè)計(jì)提供了一定的參考依據(jù)。

1 自助法原理及相關(guān)定理

自助法［5］是 EFORN教授于1979年提出來(lái)的，是一種主要針對(duì)通常的統(tǒng)計(jì)方法不能奏效時(shí)的估計(jì)參數(shù)置信區(qū)間的方法，比如由于觀測(cè)值太少而不好估計(jì)的情況。簡(jiǎn)單地說(shuō)，自助法就是利用計(jì)算機(jī)來(lái)重復(fù)模擬試驗(yàn)的方法。利用自助法，一系列新的實(shí)地采樣數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)可以不進(jìn)行，且最初的采樣數(shù)據(jù)又得到充分利用。但自助法和蒙特卡羅模擬法是有區(qū)別的，自助法不需要實(shí)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行，而是利用原始數(shù)據(jù)重新生成數(shù)據(jù)從而實(shí)現(xiàn)對(duì)總體的估計(jì)。從數(shù)據(jù)處理的角度來(lái)看，自助法的原理可以用圖1表示。

圖1 自助法的原理圖

定理1［6］給出一組隨機(jī)樣本 X=［X1，X2，…，Xn］，考慮均值統(tǒng)計(jì)量 θ=E［X］，則 θ的樣本均值為從X中有放回地隨機(jī)抽取樣本 X*=［X*1，X*2，…，X*n］，稱(chēng)之為自助樣本，可得相應(yīng)的自助樣本均值為。若E［X2］＜∞，則，這里prob*［·］為自助樣本的概率。

2 自助法估計(jì)均值和方差的步驟

設(shè)隨機(jī)變量 X=［X1，X2，…，Xn］是總體分布F(x)未知的獨(dú)立同分布樣本，即Xi～F(x)，i=1，2，…，n。用θ表示均值，用σ2表示方差，則估計(jì)均值與方差的具體步驟如下:

(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得樣本觀測(cè)值x=(x1，x2，…，xn)，則可得樣本的均值和方差為θ。再由觀測(cè)值構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù):

式中:x(1)為子樣觀測(cè)值(x1，x2，…，xn)中最小的一個(gè);x(k)為子樣觀測(cè)值中第k個(gè)小的數(shù)。

(2)按分布Fn從x中隨機(jī)有放回地抽取自助樣本

3 評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的準(zhǔn)則

3．1 偏差估計(jì)

所謂無(wú)偏估計(jì)［8］是指隨機(jī)變量沒(méi)有系統(tǒng)性誤差的性質(zhì)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作無(wú)偏性，定義如下:設(shè)為母體 ξ的概率函數(shù){f(x:θ):θ∈Θ}的未知參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量，若對(duì)一切θ∈Θ，關(guān)系式成立，則稱(chēng)為 θ的無(wú)偏估計(jì)，否則稱(chēng)為有偏的。根據(jù)定義可知統(tǒng)計(jì)量分別為σ2的無(wú)偏估計(jì)量和有偏估計(jì)量，那么，可以利用公式來(lái)估計(jì)偏差，在自助法中，可以用來(lái)計(jì)算，式中B為重復(fù)B次抽樣，并計(jì)算得 B 個(gè)

3．2 自助法均值的置信區(qū)間

在自助法中，估計(jì)均值置信區(qū)間的前4個(gè)步驟與估計(jì)均值的步驟一致，后面還要增加兩個(gè)步驟:

(2)置信區(qū)間的計(jì)算，置信度為100(1－α)%的置信區(qū)間為，其中 q1=［Bα/2］，q2=B －q1+1。

4 工程實(shí)例

4．1 自助法抽樣

該工程為湖北省武漢市某高檔別墅區(qū)的一期工程，建筑面積約為12 000 m2。利用太陽(yáng)能熱水器提供生活用熱水，建筑空調(diào)采用地埋管地源熱泵系統(tǒng)。對(duì)現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行地質(zhì)勘察和熱物性檢測(cè)，得到4個(gè)井孔 1．0～17．6 m的導(dǎo)熱系數(shù)為:1．057 984 204，1．075 561 695，1．086 150 920，1．106 196 852。

利用 X=［1．057 984 204 1．075 561 695 1．086 150 920 1．106 196 852］抽取 10 000 個(gè)容量為4的自助樣本:，其分布圖如圖2所示。

4．2 均值估計(jì)

從獲得的10 000個(gè)自助樣本中，計(jì)算得自助樣本的均值:，其分布圖如圖 3 所示。

4．3 方差估計(jì)

從獲得的10 000個(gè)自助樣本中，計(jì)算得自助樣本的方差:，其分布如圖 4 所示。

4．4 偏差估計(jì)

樣本均值的置信度為95%的置信區(qū)間為［1．102 9，1．1036］，方差的有偏估計(jì)誤差為－2．551 2 ×10－6，無(wú)偏估計(jì)誤差為－7．815 2 ×10－5。

圖2 自助樣本的分布圖

圖3 自助樣本均值的分布圖

圖4 自助樣本方差的分布圖

5 結(jié)論

給出了一種統(tǒng)計(jì)推斷土壤導(dǎo)熱系數(shù)的新方法，即利用自助法將實(shí)際獲得的4個(gè)土壤導(dǎo)熱系數(shù)抽樣成40 000個(gè)導(dǎo)熱系數(shù)，并對(duì)樣本的均值和方差進(jìn)行了估計(jì)，進(jìn)而對(duì)估計(jì)做了偏差分析，其結(jié)果比較理想，為導(dǎo)熱系數(shù)的估計(jì)提供了新思路。

［1］ 付文彪，蔣綠林，紀(jì)洪林，等．地源熱泵設(shè)計(jì)中兩個(gè)重要參數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究［J］．暖通空調(diào)，2009，39(2):116－118．

［2］ 高青，余傳輝．地下土壤導(dǎo)熱系數(shù)簡(jiǎn)化柱熱源模型的確定方法［J］．太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，2007(12):54－57．

［3］ 高青，余傳輝，馬純強(qiáng)，等．地下土壤導(dǎo)熱系數(shù)確定中影響因素分析［J］．太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，2008(5):32－36．

［4］ 周亞素．土壤導(dǎo)熱系數(shù)的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試方法［J］．東華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008(4):89－92．

［5］ EFRON B．Bootstrap methods:another look at the jackknife［J］．Ann Statist，1979(7):1 － 26．

［6］ ABDELHAK M，ZOUBIR D．Robert iskander bootstrap techniques for signal processing［M］．［S．l．］:［s．n．］，2004:144 －163．

［7］ 戴邵武，高華明，肖支才．基于自助法的小樣本數(shù)據(jù)分析方法研究［J］．海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009(1):65－68．

［8］ 魏宗舒．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］．北京:高等教育出版社，1983:78－96．