一類線性變換的值域分解

余世群

(1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2.湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

作為代數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的一個重要課題，矩陣和線性空間的分解理論與方法在工程技術(shù)中有重要的應(yīng)用價值.本文主要研究了一類線性變換的值域分解問題，這對于線性變換空間的分解、矩陣的準(zhǔn)對角形分解等問題的研究提供了理論依據(jù).

為方便計，本文用V表示數(shù)域F上的線性空間(不一定是有限維的)；f(x)為數(shù)域F上的多項式；f(σ)V為線性變換f(σ)的值域，即f(σ)V={f(σ)α|α∈V},ε表示線性空間的恒等變換.其它未經(jīng)說明的術(shù) 語和記號參考文獻(xiàn)[1].

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)σ為數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，f(x)、g(x)和h(x)都是數(shù)域F上的多項式.若h(x)=f(x)g(x),且(f,g)=1,則h(x)為σ的零化多項式，即：h(σ)=0?V=f(σ)V⊕g(σ)V.

證明必要性：設(shè)h(σ)=0,即f(σ)g(σ)=0.由于(f,g)=1,所以?u(x),v(x)使得:

f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

于是有：

f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)=ε.

從而，?α∈V,有：

a=[f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)]α=f(σ)u(σ)α+g(σ)v(σ)α.

因為f(σ)u(σ)α∈f(σ)V,且g(σ)v(σ)α∈g(σ)V,又由α的任意性，可得：

V=f(σ)V+g(σ)V.

進(jìn)一步，若?β∈f(σ)V∩g(σ)V,則必有:β1,β2∈V,使得:β=f(σ)β1=g(σ)β2.從而：

β=f(σ)u(σ)β+g(σ)u(σ)β=f(σ)u(σ)g(σ)β2+g(σ)v(σ)f(σ)β1=

u(σ)h(σ)β2+v(σ)h(σ)β1=0.

這表明f(σ)V∩g(σ)V={0},即：

V=f(σ)v⊕g(σ)V.

充分性：設(shè)V=f(σ)V⊕g(σ)V，則有：f(σ)V∩g(σ)V={0}.

從而：?α∈V,有：

h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈f(σ)V，

h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈g(σ)V.

于是，h(σ)α∈f(σ)V∩g(σ)V={0},即h(σ)α=0,再由α的任意性可知：h(σ)=0,證畢.

顯然，由定理1直接可得下列推論：

推論1[2]設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，則：σ2=σ?V=σV⊕(ε-σ)V，

其中ε是恒等換變.

推論2[2-6]設(shè)σ是數(shù)域上線性空間V的一個線性變換，則：σ2=ε?V=(ε-σ)V⊕(ε+σ)V，

其中ε是恒等換變.

如果考慮到線性空間的維數(shù)，那么，還可得下面的推論：

推論3 設(shè)f(x)、g(x)都是數(shù)域F上的多項式，且(f,g)=1,σ是數(shù)域F上n維線性空間V的一個線性變換，則f(σ)g(σ)=0的充要條件是r(f(σ))+r(g(σ))=n,其中r(f(σ))表示線性變換f(σ)的秩.

證明由定理1得：f(σ)g(σ)=0?V=f(σ)V⊕g(σ)V?r(f(σ))+r(g(σ))=n.

定理2 設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，f1(x),f2(x),…,fm(x)都是數(shù)域F上的多項式，且(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.若h(x)=f1(x)f2(x)…fm(x),則：

h(σ)=0?V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

證明設(shè)h(σ)=0,因為(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1,所以存在u1(x),u2(x),…,um(x)使得：

u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+um(x)fm(x)=1.

由上式可得：

u1(σ)f1(σ)+u2(σ)f2(σ)+…+um(σ)fm(σ)=ε.

于是，?α∈V,有：α=u1(σ)f1(σ)α+u2(σ)f2(σ)α+…+um(σ)fm(σ)α.

由于u1(σ)f1(σ)α∈f1(σ)V,u2(σ)f2(σ)α∈21(σ)V,…,um(σ)fm(σ)α∈fm(σ)V,

并由α的任意性，得：

V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

推論4 設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，f1(x),f2(x),…,fm(x)都是數(shù)域F上兩兩互素的多項式，則：

f1(σ)f2(σ)…fm(σ)=0?V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

證明由于f1(x),f2(x),…,fm(x)都數(shù)域F上兩兩互素的多項式，則在F上必有：

(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.

由定理2，即得此結(jié)果.證畢.

致謝：感謝蔡俊亮教授的悉心指導(dǎo)！

參考文獻(xiàn):

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]張樹青.線性空間的冪等變換與對合變換的幾種等價表示[J].煙臺師范學(xué)院學(xué)報，2004，20(1)：4-5.

[3]樊惲，錢吉林，岑嘉評，等.代數(shù)學(xué)辭典[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，1994.

[4]趙峰，馬巧靈，陳勇.一類線性變換的核分解[J].濟(jì)南大學(xué)學(xué)報，2003，17(2)：136-137.

[5]韓清.若干矩陣乘積的秩的下界[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，21(1)：9-11.

[6]余世群.一類極大臨界h連通網(wǎng)的結(jié)構(gòu)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，24(2)：133-136.