一類含立方項(xiàng)非線性振動(dòng)微分方程的解析解

何松林

(昆明學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，云南昆明650214)

0 前言

含立方項(xiàng)的非線性振動(dòng)是物理學(xué)及工程應(yīng)用中出現(xiàn)較多的一類非線性振動(dòng)［1－2］。立方項(xiàng)系數(shù)遠(yuǎn)小于線性項(xiàng)系數(shù)的杜芬方程，作為弱非線性的典型代表，得到了非常廣泛的應(yīng)用［3］。近年來(lái)，有關(guān)含立方項(xiàng)的強(qiáng)非線性實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的研究越來(lái)越多，如雙彈簧振子的橫向振動(dòng)［4］、新材料中的納米機(jī)械共振子的振動(dòng)［5］及懸索的振動(dòng)［6］等。描述這些振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程中，線性項(xiàng)常常小于立方項(xiàng)，甚至僅存在立方項(xiàng)。為了解決強(qiáng)非線性振動(dòng)在工程設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用，出現(xiàn)了諸如能量法、廣義諧波函數(shù)平均法、范式理論方法、同倫攝動(dòng)法及迭代攝動(dòng)法等多種強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)周期解的近似求解方法［7－12］。這些方法原則上都可以用來(lái)求解強(qiáng)立方非線性振動(dòng)方程周期解，但只能得到近似結(jié)果。本文將依據(jù)彈性力作用下系統(tǒng)機(jī)械能守恒的原理，求解出一類含有線性項(xiàng)和立方項(xiàng)的非線性微分方程的精確解析解。

1 含立方項(xiàng)非線性方程的橢圓函數(shù)解

常見(jiàn)的含立方項(xiàng)非線性自由振動(dòng)微分方程可表示為:

式中，k1≥0，k2≥0是由振動(dòng)系統(tǒng)性質(zhì)決定的非負(fù)常數(shù)。為了方便，設(shè)初始條件為:

式(3)表明:方程(1)表示的系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中總機(jī)械能守恒。設(shè)總機(jī)械能為E，則在式(2)表示的初始條件下E=k1A2+k2A4，從而:

式(4)表明:系統(tǒng)的相圖為閉合凸曲線，則式(1)的解可設(shè)為［9］:

將式(5)求導(dǎo)得:

將式(5)、式(6)代入式(3)得:

則式(8)化為:

式(10)兩端積分得:

即:

其中，F(xiàn)(θ，λ)是模為λ，參數(shù)為θ的勒讓德第一類橢圓積分［13］，其反函數(shù)為:

將式(12)代入式(5)得:

相應(yīng)地:

式(13)、式(14)中sn、cn和dn是雅可比橢圓函數(shù)。橢圓函數(shù)是雙周期的亞純函數(shù)，橢圓余弦函數(shù)cn的一個(gè)實(shí)周期為4K(λ)=4F(，λ)，其中，K(λ)是模為λ的第一類完全橢圓積分。因此，由LT= 4K(λ)可以得到式(1)表示的振動(dòng)系統(tǒng)的周期為:

2 具體算例

為了考察方程(1)的解析解式(13)的合理性，具體分析幾個(gè)算例。

2.1 線性諧振子

當(dāng)k2=0時(shí)，式(1)化為:

式(17)和式(18)與眾所周知的結(jié)果完全相同。

2.2 立方非線性振動(dòng)

當(dāng)k1=0時(shí)，式(1)化為:

式(21)表明立方振子的周期與振幅成反比，比例系數(shù)由k2確定。這與已有的報(bào)道［14］完全相同。

2.3 杜芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)k1=ω;k2=εω，其中0≤ε＜＜1，方程(1)化為:

式(22)是杜芬系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程，可采用多種近似方法進(jìn)行求解［3］。

由式(9)得:

將L和λ的結(jié)果代入式(13)即可得到式(22)的解。

由于0≤ε＜＜1，而A有限，因而一般有0＜εA2＜1。第一類完全橢圓積分的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為:

將其代入式(15)，并忽略ε2以上的高階小量，得:

式(23)與采用多種近似計(jì)算得到的結(jié)果一致［3］。從以上3個(gè)算例可以看出:解析解和周期表達(dá)式(13)和式(15)是合理的。

3 解析解與數(shù)值解結(jié)果的比較

將方程(1)采用MATLAB［15］的ode45函數(shù)進(jìn)行四階龍格－庫(kù)塔數(shù)值求解，將得到的振動(dòng)曲線與由式(12)計(jì)算得到的振動(dòng)曲線在同一圖中進(jìn)行比較;同時(shí)，將數(shù)值解得到的相圖與由式(12)、式(13)得到的相圖在同一圖中進(jìn)行比較。

3.1 程序設(shè)計(jì)

用fun31.m文件定義待求函數(shù)。

在ww1.m文件中實(shí)現(xiàn)解析解和數(shù)值解結(jié)果的比較。

3.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用以上程序進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):無(wú)論k1、k2和A如何取值，由式(13)和式(14)得到的振動(dòng)曲線和相圖與數(shù)值解得到的振動(dòng)曲線和相圖完全重合。

圖1是k1=1 s－2，k2=1 m－2s－2，A=1 m時(shí)方程(1)的數(shù)值解(虛線)與解析解(實(shí)線)結(jié)果的比較。圖1a是振動(dòng)曲線的比較，t是時(shí)間，x是位移。圖1b是相圖的比較，其中，x表示位移，v表示速度。由圖1可見(jiàn):無(wú)論是振動(dòng)曲線還是相圖，解析解與數(shù)值解的曲線完全重合。這充分說(shuō)明橢圓函數(shù)型解式(13)和式(14)式確實(shí)有效。

圖1 解析解結(jié)果(實(shí)線)與數(shù)值解結(jié)果(虛線)比較

綜上所述，本文利用僅受彈性力作用的系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒的原理，精確求解了一類含線性項(xiàng)和立方項(xiàng)的非線性振動(dòng)微分方程，并通過(guò)與常見(jiàn)的算例及一般情況下的數(shù)值解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明解析解是有效的，豐富了含立方項(xiàng)非線性振動(dòng)的研究。

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