混沌系統(tǒng)同步性質(zhì)的一個(gè)注記

徐玉華，李坤花，周武能

(1.東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海201620;2.鄖陽師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰442000，3.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河南濟(jì)源454650)

0 前言

1 狀態(tài)反饋同步控制

由于混沌系統(tǒng)是有界的，因此，對于混沌系統(tǒng)，下面的假設(shè)是容易滿足的［4］。

假設(shè)1 對于混沌系統(tǒng)，假設(shè) f(y)－f(x)≤ly－x，其中l(wèi)＞0。

由式(1)和式(2)，得到誤差系統(tǒng):

當(dāng)l+k≤0時(shí)，V·≤0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，當(dāng)時(shí)間t趨于0時(shí)，誤差e趨于0。把式(1)和式(2)的單邊匹配變成如下的雙邊匹配，即:

事務(wù)處理模塊 事務(wù)處理模塊主要包括用戶事務(wù)和系統(tǒng)事務(wù)兩部分，其中用戶事務(wù)主要包括對用戶信息的處理；而系統(tǒng)事務(wù)主要包括對播放器進(jìn)行一些邏輯控制，如暫停、播放、截圖等操作。

則式(4)誤差系統(tǒng)仍為式(3)，即:

顯然，單邊匹配和雙邊匹配系統(tǒng)同步的條件相同，盡管單邊匹配和雙邊匹配所得到的誤差系統(tǒng)一樣，但是仿真結(jié)果表明它們達(dá)到同步的時(shí)間不一樣。

下面以文獻(xiàn)［13］中的混沌系統(tǒng)為例:

由于混沌系統(tǒng)是有界的，根據(jù)文獻(xiàn)［14］，l=50，由 l+k≤0取k=－51，取系統(tǒng)初值分別為(10，30，3)，(5，17，19)，用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖1可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖2)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖3)。

圖1 無量綱誤差E隨時(shí)間的演化圖

2 自適應(yīng)反饋同步控制

下面用自適應(yīng)控制方法得

到類似于上述用狀態(tài)反饋同步控制方法所得到的結(jié)論，值得一提的是，用自適應(yīng)控制方法對于某些混沌系統(tǒng)，控制器ke可能僅僅只包含一個(gè)或者兩個(gè)自適應(yīng)反饋控制器就可以實(shí)現(xiàn)同步。

對于單邊匹配，有:

圖2 雙邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖3 單邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

那么誤差系統(tǒng)為:

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

其中H≥nL。則:

下面舉例說明對某些混沌系統(tǒng)，控制器me可能僅僅只包含一個(gè)或者兩個(gè)自適應(yīng)反饋控制器就可以實(shí)現(xiàn)同步。

例1 Lorenz混沌系統(tǒng)［15］:

顯然，假如e1=0，那么e2=0，e3=0，因此，可取me=m(e1，0，0)，即只需一個(gè)自適應(yīng)反饋控制器。設(shè) λ =8，即= －。

在仿真中，取系統(tǒng)初值分別為(10，2，3)，(5，17，9)，由于m是自適應(yīng)變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖4可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖5)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖6)。

圖4 無量綱誤差E隨時(shí)間的演化圖

圖5 雙邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖6 單邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

例2 Rikitake混沌系統(tǒng)［16］:

顯然，假如e1=0，e3=0，那么e2=0，因此，可取me=m(e1，0，e3)，即只需兩個(gè)自適應(yīng)反饋控制器。設(shè) λ =8，即= － 8(e21+e23)。

在仿真中，取系統(tǒng)初值分別為(3，2，3)，(5，1，8)，由于m是自適應(yīng)變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖7可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖8)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖9)。

圖7 無量綱誤差E隨時(shí)間的演化圖

圖8 雙邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖9 單邊匹配時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

3 結(jié)論

本文把單邊匹配響應(yīng)系統(tǒng)的控制器分解成兩部分分別匹配到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)(雙邊匹配)時(shí)，得到雙邊匹配的誤差系統(tǒng)與單邊匹配的誤差系統(tǒng)完全相同。仿真發(fā)現(xiàn):兩種匹配方法系統(tǒng)達(dá)到同步的時(shí)間不一樣，并且雙邊匹配改變了系統(tǒng)的混沌特性，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性。

［1］Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters，1990，64(6):821 －824.

［2］Elabbssy E M，Agiza H N，Eldessoky M M.Adaptive Synchronization of a Hyperchaotic System with Uncertain Parameter［J］.Chaos Solitons ＆ Fractals，2006，30(5):1133 －1142.

［3］呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2002:25－38.

［4］陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動(dòng)力學(xué)分析控制與同步［M］.北京:科學(xué)出版社，2003:98－106.

［5］Lü J H，Lu J A.Controlling Uncertain Lü System Using Linear Feedback［J］.Chaos Solitons＆ Fractals，2003，17(1):127－132.

［6］Wu X J，Wang H，Lu H T.Hyperchaotic Secure Communication Via Generalized Function Projective Synchronization［J］.Nonlinear Analysis，2011，12:1288 －1299.

［7］Zhou P，Zhu W.Function Projective Synchronization for Fractional-order Chaotic Systems［J］.Nonlinear Analysis，2011，12:811－816.

［8］Zhang L P，Jiang H B.Impulsive Generalized Synchronization for a Class of Nonlinear Discrete Chaotic Systems［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16:2027 －2032.

［9］胡愛花，吳昌應(yīng).基于脈沖控制的不確定混沌系統(tǒng)的同步［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，31(5):51－55.

［10］Liu G M，Ding W.Impulsive Synchronization for a Chaotic System with Channel Time-delay［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16:958 －965.

［11］Zhao X S，Li Z B，Li S.Synchronization of a Chaotic Finance System［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217:6031－6039.

［12］Xu Y H，Zhou W N，F(xiàn)ang J A，et al.Adaptive Lag Synchronization and Parameters Adaptive Lag Identification of Chaotic Systems［J］.Physics Letters A，2010，374(34):3441 －3446.

［13］Lü J H，Chen G R.A New Chaotic Attractor Coined［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3):659－661.

［14］Li D M，Lu J A，Wu X Q，et al.Estimating the Global Basin of Attraction Andpositively Invariant Set for the Lorenz System and a Unified Chaotic System［J］.J Math Ana Appl，2006，323(2):844 －853.

［15］Lorenz E N.Deterministic Nonperiodic Flow［J］.Journal of Atmospheric Sciences，1963，20(2):130 －141.

［16］Rikitake T.Oscillations of a System of Disk Dynamos［J］.Proc Cambridge Philos Soc，1958，54:89－105.