一類靜態(tài)輸出非脆弱控制器的設(shè)計(jì)

陳文清，沈文杰，宋書中

(1.洛陽理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化系，河南洛陽471003;2.河南科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，河南洛陽471003)

0 前言

眾所周知，基于T-S模型的模糊控制是研究非線性系統(tǒng)比較成功的方法之一，已有很多成果面世［1－3］。對(duì)于一些非線性系統(tǒng)當(dāng)用T-S線性模型不能近似描述時(shí)，可以用T-S模糊雙線性模型來近似描述［4］。

非脆弱性是控制器設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要的因素。非脆弱性表示控制器發(fā)生參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，仍能維持閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的能力。近年來對(duì)非脆弱控制器的研究已成為人們感興趣的課題［5］，上述結(jié)果大多是關(guān)于狀態(tài)反饋或基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋，關(guān)于靜態(tài)輸出反饋控制的結(jié)果則很少［6］。輸出反饋控制直接利用系統(tǒng)的輸出量來設(shè)計(jì)控制器，且靜態(tài)輸出反饋控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有良好的應(yīng)用價(jià)值。

本文針對(duì)一類模糊雙線性系統(tǒng)，在控制器存在加性攝動(dòng)的情況下，研究了非脆弱靜態(tài)輸出反饋控制問題。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論及線性矩陣不等式(LMI)方法，得到了非脆弱保性能模糊控制器存在的充分條件，并給出了求解控制器的方法。

1 系統(tǒng)的模型描述

考慮一類模糊雙線性系統(tǒng)(FBS)，第i條模糊規(guī)則可描述如下［1］:

其中，Ri是第 i條模糊規(guī)則;s是模糊規(guī)則數(shù)目;Mji，j=1，2，…，v是模糊集合;ξ(t)=［ξ1(t)，ξ2(t)，...，ξv(t)］T是前提變量;x(t)、u(t)和y(t)分別是狀態(tài)變量、控制輸入和測(cè)量輸出;Ai，Bi，Ni，Ci是已知的系統(tǒng)矩陣。采用靜態(tài)輸出反饋控制，這里假設(shè)ν=q及ξ1(t)=y1(t)，...，ξv(t)=yq(t)。

通過單點(diǎn)模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統(tǒng)的總體模型為:

第i個(gè)子系統(tǒng)的輸出反饋控制律為:

其中，ρ＞0是待定的標(biāo)量;Ki∈R1×q是待定的控制器增益;△Fi表示控制器增益的加性攝動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)形式△Fi=HiFi(t)Efi，Hi，Efi是反映不確定性結(jié)構(gòu)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)i(t)是一個(gè)未知時(shí)變矩陣，其元素Lebesgue可測(cè)且對(duì)任意的t滿足:F(t)Fi(t)≤I。

則整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律可表示為:

在控制律(4)的作用下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方程可表示為:

2 主要結(jié)論

引理1［7］設(shè)M，N是適合維數(shù)的實(shí)矩陣，則對(duì)于標(biāo)量ε＞0，有MTN+NTM≤εMTM+ε1NTN成立。

引理2［8］給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣G，E和對(duì)稱矩陣S，不等式S+GFE+ETFTGT＜0對(duì)所有滿足FT(t)F(t)≤I的矩陣F(t)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0，使得S+εGGT+ε1ETE＜0。

定理1 對(duì)于給定的常數(shù)ρ＞0和ε1＞0，如果存在著矩陣Z＞0和矩陣Ki，i=1，2，…，s滿足不等式(6)，則閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，控制律(4)是一個(gè)非脆弱控制律。

證明 選取如下Lyapunov函數(shù):

其中，P=Z－1是待求的正定對(duì)稱矩陣。

沿著系統(tǒng)(5)的軌線，對(duì)V(t)求導(dǎo)，可得到:

由引理1可知:

對(duì)定理1中的式(6)同時(shí)左右乘diag{P，I，I}，并由Schur補(bǔ)定理可得到:V(t)＜0。由此可知閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，且控制律(4)是一個(gè)非脆弱控制律。

定理2 對(duì)于常數(shù)ρ＞0和ε1＞0，ε2＞0，0＜a＜ε1，如果存在著矩陣Z＞0和矩陣Ki，i=1，2，…，s滿足LMI(10)，則系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定，控制律(4)是一個(gè)輸出非脆弱保性能控制律。

證明 由Schur補(bǔ)定理，式(10)可等價(jià)于:

由引理2可知，式(11)可推導(dǎo)出:

由Schur補(bǔ)定理可知，式(12)可等價(jià)于:

從而可知定理1中式(6)成立，那么可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 算例分析

考慮一個(gè)模糊雙線性系統(tǒng):

系統(tǒng)方程為:

考慮控制器的加性攝動(dòng)△F(t)為:H1=H2=0.1，Ef1=0.01，Ef2=0.01，F(xiàn)(t)=sin t。選取隸屬度函數(shù)為μM1(y1)=，μM2(y1)=1μM1(y1)。選取ρ=0.87，ε1=10，ε2=0.11，a= 0.01，根據(jù)定理2，通過Matlab求解相應(yīng)的LMI，可以得到:K1=［0.101 4］，K2=［0.344 2］。

選取初始值為［－2.8 1.6］T，MATLAB仿真可得到系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制響應(yīng)曲線(見圖1和圖2)。從圖1和圖2中可以看出:非脆弱控制器在受到干擾時(shí)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文研究了一類模糊雙線性系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋非脆弱控制問題。當(dāng)狀態(tài)變量不可觀測(cè)時(shí)，采用靜態(tài)輸出反饋進(jìn)行控制。利用并行分布補(bǔ)償算法，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)，得出了控制器增益具有加性攝動(dòng)時(shí)的模糊反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，而且控制器增益可由LMI求出。由實(shí)例仿真驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

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