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    用G'/G-展開法求解(2+1)維Ablow itz-Ladik方程

    2011-04-07 05:50:44李四偉張金良
    關鍵詞:孤子李四行波

    李四偉,張金良

    (河南科技大學數學與統(tǒng)計學院,河南洛陽471003)

    0 前言

    由于非線性微分-差分方程(組)在非線性光學、原子物理、凝聚態(tài)物理、生物物理等領域有著廣泛的應用,如脈沖在光纖中的傳播、等離子體物理中Langmuir波的自聚焦和爆破等,因此,非線性微分-差分方程(組)已引起眾多學者廣泛的興趣。對于非線性微分-差分方程(組),已有很多研究方法如雙線性方法[1]、達布變換法[2]、Backlund變換法[3]、廣義的微分變換法[4]、離散的Sine-Gordon方程展開法[5]、指數函數展開法[6]、Jacobi橢圓函數展開法[7]、擴展的雙曲正切函數展開法[8]、G'/G-展開法[9-11]等。到目前為止,沒有一種統(tǒng)一的方法能求解出非線性微分-差分方程(組)的所有精確解。

    文獻[12]研究了(2+1)維Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程

    文獻[13]證明了方程(1)是不完全可積的,并對其孤波性質進行了系統(tǒng)分析,得到對于任意小的格子空間△x,此方程均有穩(wěn)定的孤子解;求解出了方程(1)的精確線孤子解(不穩(wěn)定):

    由于方程(1)的精確解具有很重要的理論意義和實用價值,因此,本文利用G'/G-展開法求解方程(1)的精確解,并成功得到它的三種類型的精確行波解。

    1 (2+1)維Ablow itz-Ladik方程的精確解

    由于un,m(t)為復函數,設

    把式(2)代入方程(1),令實部和虛部等于零,得

    依據齊次平衡原則,令

    其中,a0、a1為待定常數;G (ξn,m)滿足

    λ、μ為任意常數。

    其中,△1=;ζ1、ζ2、d2和h2為任意常數;d1和h1為滿足cos(d1)cos(h1)>0的任意常數;耦合強度ε=1/△x2。

    利用方程(7)的解,可導出方程(1)的精確解:

    情形2 當λ2-4μ<0時,類似于情形1,可得出方程(1)的精確解:

    情形3 當λ2-4μ=0時,類似于情形1,可得方程(1)的解為:

    2 結論

    本文將G'/G-展開法應用于(2+1)維Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程的求解中,當耦合強度ε= 1/△x2,σ=1(散焦)時,得到了該方程的雙曲函數形式的精確解、三角函數形式的周期波解和有理函數形式的行波解,這些精確解含有較多的任意參數。利用Mathematica軟件,驗證了所得精確解的正確性??梢?,在求解非線性微分-差分方程(組)精確解方面,G'/G-展開法是一個非常有效、直接、簡便的方法。

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