成形磨齒砂輪截面廓形建模及修形

吳鋒超,鄧效忠,蘇建新

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,河南洛陽(yáng) 471003)

0 前言

成形法磨齒是利用成形砂輪磨削齒輪的漸開(kāi)線齒形,齒輪的漸開(kāi)線齒形主要由砂輪廓形保證。在磨削直齒圓柱齒輪時(shí),砂輪的軸線垂直于齒輪的軸線,砂輪軸向截形的對(duì)稱線和齒輪齒槽的對(duì)稱線相重合,砂輪的軸向截形就相當(dāng)于齒輪齒槽的端面截形[1]。以前的砂輪截面廓形是按齒槽的公稱尺寸設(shè)計(jì),利用單面磨削方法獲得齒側(cè)間隙。這樣砂輪及工件的受力不對(duì)稱,不利于磨齒精度的提高,操作也繁瑣。本文按照齒輪齒槽的實(shí)際尺寸設(shè)計(jì)砂輪截面廓形,砂輪及工件的受力對(duì)稱,有利于磨齒精度的提高,操作相對(duì)簡(jiǎn)單,磨削效率和自動(dòng)化程度高。

一般數(shù)控系統(tǒng)只有直線和圓弧插補(bǔ)功能,因此,對(duì)漸開(kāi)線廓形曲線進(jìn)行修形,需要進(jìn)行數(shù)值處理。即用一系列的直線段或圓弧去逼近漸開(kāi)線,并計(jì)算出這些小段直線或圓弧的連結(jié)點(diǎn)坐標(biāo),即節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。圓弧逼近程序段少、誤差小、而且刀具軌跡相對(duì)圓滑[2-4]。本文在 VC++環(huán)境下編寫程序計(jì)算漸開(kāi)線的節(jié)點(diǎn)及其圓心和半徑,并生成NC加工代碼。

1 公法線長(zhǎng)度偏差與基圓齒槽半角之間的關(guān)系

1.1 砂輪模型建立的理論依據(jù)

在加工齒輪時(shí)常用公法線長(zhǎng)度來(lái)控制齒厚,以達(dá)到控制側(cè)隙的目的。在齒輪的工作圖中,?？吹降囊彩枪ň€長(zhǎng)度以及上下偏差。假設(shè)公法線的長(zhǎng)度為L(zhǎng),上偏差為△mL,下偏差為△ML,在(L-△mL)與(L-△ML)之間,只要給一個(gè)偏差值,就對(duì)應(yīng)一個(gè)砂輪截面模型。

1.2 基圓齒槽半角

所謂基圓齒槽半角,就是基圓齒槽所夾的中心角的一半,如圖1所示。標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪中,分度圓處的漸開(kāi)角為[5-6]:

由于分圓齒槽半角等于π/(2z),故基圓齒槽半角為:

對(duì)于變位齒輪,基圓齒槽半角為:

圖1 基圓齒槽半角

以上公式中,z為齒數(shù);αf為分圓壓力角;ξ為變位系數(shù)。

1.3 公法線長(zhǎng)度偏差與基圓齒槽半角的關(guān)系

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)直齒輪:σ′j=(tanαf-αf)+

對(duì)于變位直齒輪:σ′j=-(tanαf-αf)+

圖2 公法線長(zhǎng)度偏差與基圓齒槽半角關(guān)系

這里用 σ′j表示改變后的基圓齒槽半角,以區(qū)別于公稱尺寸的基圓齒槽半角 σj。

2 砂輪截面廓形方程的建立

在圖3中,以齒輪中心為座標(biāo)原點(diǎn) O,通過(guò)齒槽對(duì)稱線作OY座標(biāo)軸線。設(shè)齒槽右側(cè)漸開(kāi)線在基圓上的起點(diǎn)為 a點(diǎn)。漸開(kāi)線齒形的極坐標(biāo)表達(dá)式為:

式中,α為壓力角;θ為極角;r為極徑。

漸開(kāi)線的直角坐標(biāo)表達(dá)式為:

圖3 漸開(kāi)線齒形坐標(biāo)及節(jié)點(diǎn)劃分

由于左側(cè)齒廓與右側(cè)齒廓關(guān)于 y軸對(duì)稱,左側(cè)的漸開(kāi)線齒形方程,只需把上面方程中的 x取負(fù)值即可,齒根圓用直線y=r根代替。

3 圓弧逼近曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算

3.1 漸開(kāi)線上節(jié)點(diǎn)的離散

如圖3所示,設(shè)圓弧逼近允差為 ε,根據(jù)文獻(xiàn)[7],相鄰兩節(jié)點(diǎn) pn與 pn+1曲率半徑之間的關(guān)系為:

式中,k為放大系數(shù),可在 6～9范圍內(nèi)選取。

逼近圓弧半徑為:

知道了劃分節(jié)點(diǎn)的曲率半徑后,就很容易求出節(jié)點(diǎn)處漸開(kāi)線的壓力角 α。

3.2 刀具圓弧中心軌跡的推導(dǎo)

成形砂輪廓形是靠金剛石滾輪的外圓與端面之間的圓弧倒角(半徑為R)來(lái)進(jìn)行修整的,圓弧倒角的中心運(yùn)動(dòng)軌跡曲線與砂輪軸截面廓形曲線是一對(duì)間距為 R的等距曲線。所以,要修整出正確的成形砂輪廓形,還需要利用等距曲線推導(dǎo)出金剛石滾輪圓弧中心的運(yùn)動(dòng)軌跡。這對(duì)于無(wú)刀具半徑自動(dòng)補(bǔ)償功能的機(jī)床尤為重要。

若已知曲線的參數(shù)方程為x=x(t)、y=y(t),則間距為a的內(nèi)等距曲線方程為[8]:

由于成形砂輪廓形凹向砂輪方向,所求刀具中心運(yùn)動(dòng)軌跡曲線在砂輪廓形法線的正方向,所以所求等距曲線是成形砂輪廓形的內(nèi)等距曲線。分別將式(1)中x、y對(duì)α求導(dǎo),并代入式(2)可得間距為 R的等距曲線參數(shù)方程

金剛石滾輪圓弧中心軌跡與漸開(kāi)線的逼近圓弧是等距圓弧,其圓心相同半徑相差 R。

3.3 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)圓弧逼近節(jié)點(diǎn)計(jì)算和NC代碼生成

在 VC++開(kāi)發(fā)環(huán)境下開(kāi)發(fā)計(jì)算程序,該程序主要包括:基本參數(shù)輸入、生成節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、逼近圓半徑、誤差值及NC代碼。如果最大誤差超過(guò)逼近允差,應(yīng)改變放大系數(shù)k值重新計(jì)算。

現(xiàn)以齒數(shù)z=20,模數(shù)m=5,分圓壓力角αf=20°的標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪為例來(lái)計(jì)算各參數(shù)。計(jì)算表明:圓弧法逼近漸開(kāi)線誤差極小,逼近精度相當(dāng)高,而且程序段很少。程序運(yùn)行后,圖形界面如圖4所示。圖5是生成的NC代碼。

圖4 程序運(yùn)行界面

4 結(jié)束語(yǔ)

本文所建砂輪截面廓形的數(shù)學(xué)模型,改進(jìn)了成形法磨齒時(shí)的磨削工藝,實(shí)現(xiàn)了砂輪截面廓形的數(shù)字化設(shè)計(jì),利用程序?qū)崿F(xiàn)圓弧逼近節(jié)點(diǎn)劃分,自動(dòng)生成數(shù)控加工代碼,方便了數(shù)控程序員編程,為成形法磨削圓柱直齒輪提供了參考和借鑒。

圖5 生成的NC代碼

[1] 賀紅霞,張洛平.基于斜齒圓柱齒輪數(shù)控成形磨削方式下的砂輪修形軌跡計(jì)算[J].煤礦機(jī)械,2004(10):12-14.

[2] 丁克會(huì),席平原,周紅斌.參數(shù)方程曲線的最優(yōu)逼近算法及實(shí)現(xiàn)[J].機(jī)械傳動(dòng),2008,32(6):57-59.

[3] 王麗萍,孫國(guó)防,季紹坤.非圓曲線數(shù)控編程的等誤差圓弧逼近法及其實(shí)現(xiàn)[J].現(xiàn)代制造工程,2006(10):30-32.

[4] 范云霄,馬靜敏,沈友徽.非圓曲線的等誤差圓弧逼近法及刀具軌跡仿真[J].煤礦機(jī)械,2004(12):77-78.

[5] 袁哲俊,劉華明,唐宜勝.齒輪刀具設(shè)計(jì):上冊(cè)[M].北京:新時(shí)代出版社,1983.

[6] 秦川機(jī)床廠“七.二一”工人大學(xué),西安交通大學(xué)機(jī)制教研室.磨齒工作原理[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1977.

[7] 張彥博.等誤差圓弧逼近漸開(kāi)線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算新方法[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2003(4):26-27.

[8] 傅則紹.微分幾何與齒輪嚙合原理[M].東營(yíng):石油大學(xué)出版社,1999.