索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始平衡狀態(tài)的優(yōu)化設(shè)計*

杜敬利 保宏 崔傳貞

(西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，陜西西安710071)

采用優(yōu)化策略進(jìn)行求解，對于整個索網(wǎng)系統(tǒng)，為了使各控制節(jié)點盡量平衡在預(yù)定的位置上，可以得到如下的優(yōu)化模型:

我國科學(xué)家提出的利用Karst盆地構(gòu)建500 m口徑大射電望遠(yuǎn)鏡的計劃正在進(jìn)行中，利用盆地地形鋪設(shè)主動反射面是該計劃中極具創(chuàng)造性的部分.原方案中的主動反射面為機械分塊式結(jié)構(gòu)，造價很高.在已有的可行性研究基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［1］中提出了索網(wǎng)主動反射面方案，采用單層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作為反射面板的支撐系統(tǒng).設(shè)計要求索網(wǎng)反射面的初始狀態(tài)平衡在半徑R=300 m的觀測球面上;系統(tǒng)觀測時，通過改變調(diào)整索的長度(或拉力)，使反射面的照明部分能夠?qū)崟r地調(diào)整成瞬時拋物面，從而可用傳統(tǒng)的點饋源照明技術(shù)實現(xiàn)寬帶觀測.與分塊反射面方案相比［2］，索網(wǎng)主動反射面中控制節(jié)點的數(shù)目將大幅減少，從而極大地降低了工程造價.

文獻(xiàn)［1］中每個控制節(jié)點都采用3根調(diào)整索進(jìn)行調(diào)整，故可在一定范圍內(nèi)將控制節(jié)點定位到空間的任意位置.但這種設(shè)計方案需要精確地協(xié)調(diào)3根調(diào)整索的長度，微小的索長誤差都會導(dǎo)致調(diào)整索的牽引力發(fā)生顯著變化.此外，如果牽引力未進(jìn)行適當(dāng)規(guī)劃還會導(dǎo)致索網(wǎng)各處的應(yīng)力分布差距很大，不但會降低系統(tǒng)剛度，而且增加了調(diào)整難度.因此，文中在每個節(jié)點處均采用單根調(diào)整索進(jìn)行調(diào)整，在與調(diào)整索垂直的方向上節(jié)點運動不受控制，這樣有利于使索網(wǎng)系統(tǒng)平衡在一個應(yīng)力分布較為均勻的狀態(tài).

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)只有在具有一定應(yīng)力的情況下才能夠承受外部載荷，因此必須確定一個具有某種預(yù)應(yīng)力的初始平衡狀態(tài)，這個過程通常稱為找形［3］或初始平衡構(gòu)型分析［4］.在大型現(xiàn)代化的索網(wǎng)設(shè)計中，提供一種高效、精確的初始平衡狀態(tài)的分析方法是至關(guān)重要的.索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始平衡狀態(tài)確定時的常用方法是力密度法［5］，但它僅適用于線性索單元;另一種方法是動態(tài)松弛法［6］，可完成非線性結(jié)構(gòu)的平衡態(tài)分析，該方法的主要思想是將靜力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為動力學(xué)問題，故求解速度較慢.文獻(xiàn)［7］中通過對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的平衡矩陣進(jìn)行奇異值分解來完成結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)分析，但也只能用于線性索桿單元.也有一些學(xué)者采用優(yōu)化方法進(jìn)行求解［8］，但由于缺乏必要的敏度信息，故求解速度慢，計算量大.

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)分析時，常用的有限元法通常使用大量的索桿單元模擬單根柔索，計算量很大，并且容易出現(xiàn)數(shù)值收斂問題.為此，文中將使用精確的彈性懸鏈線解析表達(dá)式來完成單根柔索的力學(xué)分析以克服有限元法的不足.同時將結(jié)合索網(wǎng)反射面的具體設(shè)計要求，通過優(yōu)化策略解決索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始平衡狀態(tài)的確定問題，從而可以在給定索網(wǎng)形狀的前提下求解索段的初始長度及應(yīng)力.

1 索網(wǎng)主動反射面的初始狀態(tài)

大射電望遠(yuǎn)鏡中的主動反射面結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中索網(wǎng)索段的交匯點稱為控制節(jié)點，由調(diào)整索與地基相連，其長度(或拉力)決定了反射面的形狀.初始平衡狀態(tài)分析的目的就是尋找恰當(dāng)?shù)木W(wǎng)面索段長度(對應(yīng)特定的應(yīng)力狀態(tài))和牽引索張力，使得整個網(wǎng)面可以在給定位置處于平衡.

圖1 索網(wǎng)主動反射面示意圖Fig.1 Schematic plan of active cable-net reflector

索網(wǎng)主動反射面初始狀態(tài)的形狀是已知的，分析的目標(biāo)是精確確定索段的初始長度和對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)以及相應(yīng)的牽引力，使得索網(wǎng)的控制節(jié)點能夠盡可能地平衡在指定位置.同時，索網(wǎng)的應(yīng)力不能太大，以免索段發(fā)生破壞;而且，為避免結(jié)構(gòu)剛度過低，牽引索也應(yīng)具有一定的拉力.

由于反射面在工作狀態(tài)下的形狀精度要求很高，加之結(jié)構(gòu)體系十分龐大，因此該結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)的確定成為工程設(shè)計中的技術(shù)難點之一.

1.1 球反射面網(wǎng)面形狀的確定

原型設(shè)計時采用初始六環(huán)三向索網(wǎng)，將球反射面劃分為6個對稱扇形曲面，網(wǎng)面的構(gòu)成包括沿徑向的主索、環(huán)向副索和連接內(nèi)外層的次索，它們將球面網(wǎng)面劃分成近似均勻的三角形網(wǎng)格，其俯視圖如圖2所示.這種形式的索網(wǎng)加工不太復(fù)雜，索網(wǎng)應(yīng)力也比較均勻，整體性能較好.

圖2 索網(wǎng)主動反射面俯視圖Fig.2 Top view of active cable-net reflector

1.2 索段初始長度及應(yīng)力狀態(tài)的確定

索段初始長度的精確確定是保證索網(wǎng)張拉成形后應(yīng)力狀態(tài)滿足設(shè)計要求的關(guān)鍵，為此，分析時可以將索網(wǎng)中各索段的初始長度作為設(shè)計變量.考慮到初始長度與受力后的實際長度及應(yīng)力狀態(tài)是相互對應(yīng)的，且將受力后的實際長度作為設(shè)計變量分析時更加方便，故文中將索段的實際長度作為設(shè)計變量.假設(shè)索網(wǎng)中共有n根索段和m個控制節(jié)點，記索段的實際長度為

平衡時索網(wǎng)的應(yīng)力狀態(tài)為L的函數(shù).

文獻(xiàn)［9］中指出懸索的最大應(yīng)力不應(yīng)該超過許用應(yīng)力(［σ］)的60%.因此認(rèn)為平衡時索段c(c= 1，2，…，n)的應(yīng)力σc應(yīng)滿足

式中，ˉσ為允許的應(yīng)力上限值.

1.3 調(diào)整索張力的確定

每個控制節(jié)點上均采用單根調(diào)整索垂直網(wǎng)面向外牽引.為保證索網(wǎng)具有足夠的剛度，牽引力應(yīng)達(dá)到一定的強度.設(shè)牽引力Ti表示連接控制節(jié)點i的調(diào)整索的張力，則Ti應(yīng)滿足

2 初始平衡狀態(tài)的優(yōu)化模型

初始平衡時控制節(jié)點在索網(wǎng)內(nèi)力和牽引索張力共同作用下的合力應(yīng)為零.選取索網(wǎng)中的某一控制節(jié)點i(i=1，2，…，m)，共有Ni根索段匯交于該節(jié)點，調(diào)整索將節(jié)點i與地基上的A點相連，由A指向i的單位向量記為si，如圖3所示.

圖3 索網(wǎng)中的某一控制節(jié)點iFig.3 A control node i of the cable-net structure

設(shè)交匯于i點的索段c(c=1，2，…，Ni)的兩端節(jié)點分別為(其中一個為i)，由節(jié)點指向的向量在水平面內(nèi)的投影單位化后記為a，同時c將沿坐標(biāo)系Z軸方向的單位向量記為z.索段c對控制節(jié)點i的作用力可以表示為

式中，Hc為索段c的水平張力，分別為索段c的I和J端所受的豎直向上的拉力.于是，索網(wǎng)對該節(jié)點i的合力沿si方向的投影Pi可以表示為

根據(jù)平衡關(guān)系，有Ti+Pi=0.而垂直于si方向的分量，即橫向不平衡力Qi，可以表示為

為避免開方運算，對Qi的模取平方有

考慮到柔索的最大張力一般發(fā)生在索端節(jié)點而不是中間某點，故僅將索段位置較高的端點對應(yīng)的張力進(jìn)行校驗即可.為避免開方運算，將式(2)兩端平方，得

式中，

Ac為懸索c的橫截面積.

這樣，為了使節(jié)點i保持平衡，應(yīng)滿足

采用優(yōu)化策略進(jìn)行求解，對于整個索網(wǎng)系統(tǒng)，為了使各控制節(jié)點盡量平衡在預(yù)定的位置上，可以得到如下的優(yōu)化模型:

3 柔索靜力學(xué)模型與敏度分析

3.1 柔索的靜力學(xué)模型

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)分析時選擇恰當(dāng)?shù)娜崴髁W(xué)模型是非常重要的.柔索受力后會伸長，并且呈現(xiàn)出高度的非線性特性，在長度上出現(xiàn)0.1%的誤差將會導(dǎo)致柔索張力的偏差在50%以上［10］，為此，分析時使用彈性懸鏈線解析表達(dá)式以考慮索段的彈性變形.

假設(shè)索段是完全柔性的，無扭轉(zhuǎn)剛度且只能承受拉應(yīng)力，所用材料滿足虎克定律.考慮如圖4所示的柔索在自重作用下保持平衡，其彈性模量為E，橫截面積為A，變形前單位長度的重量，即索的線密度為w0，初始長度為Lu，受力后的實際索長為L.定義重力的方向沿Z軸負(fù)向.

圖4 柔索在自重下作用的平衡Fig.4 Equilibrium state of a cable with self-weight

整根柔索的水平張力保持不變，設(shè)為H，在兩個端點I和J處分別受到豎直向上的拉力FZ，I和FZ，J.設(shè)端點I和J之間的水平跨距為l，豎直方向的高度差為h，此時柔索各物理量之間滿足如下關(guān)系［11-12］:

式中，

當(dāng)柔索兩端固定時，h、l均為已知量，可以得到實際索長L與η之間的非線性函數(shù):

將式(16)對η求導(dǎo)得

這樣，應(yīng)用單變量的 Newton-Raphson方法求解式(16)就可以得到與給定索長L對應(yīng)的η，進(jìn)而可由式(13)求得柔索的水平張力H.索段端點I和J處豎直方向的作用力FZ，I和FZ，J可表示為

3.2 敏度信息的推導(dǎo)

由式(16)可得η關(guān)于L的導(dǎo)數(shù)為

對式(18)求導(dǎo)可得

將式(4)對索段c的實際索長Lc求導(dǎo)可得

將式(7)對Lc求導(dǎo)可得

將式(6)對Lc求導(dǎo)可得

將式(8)對索長Lc求導(dǎo)，得

模型中各量及其梯度信息均已得到，采用序列二次規(guī)劃(SQP)法［13］優(yōu)化即可獲得索段的實際長度L及其對應(yīng)的索端張力，代入式(14)便可獲得各索段的初始長度.

4 數(shù)值算例分析

該算例以50m模型中的相應(yīng)參數(shù)為依據(jù)，要求索網(wǎng)節(jié)點不能太多以便于建造，同時還要具有一定數(shù)目的節(jié)點，以便能夠直觀地觀察到瞬時拋物面從一個位置變化到另一位置.為此，將反射面按1∶10縮小，所用參數(shù)為:基本球面半徑R=30m，口徑D= 52m，網(wǎng)面環(huán)數(shù)Nm=6.索網(wǎng)中各索段的物理參數(shù)均相同:彈性模量E=2.058×1011Pa，橫截面積A= 5.539×10－5m2，密度ρ=9.521021×103kg/m3.

在基本球面球心處建立直角坐標(biāo)系O-XYZ，Z軸豎直向上，初始設(shè)計時假設(shè)各環(huán)主索對應(yīng)的圓心角都相等，為Δθ=θ/(2Nm)，其中θ=120°.這樣，對于第e環(huán)的索段，對應(yīng)的節(jié)點構(gòu)成邊數(shù)為6e的正多邊形，其半徑為re=Rsin(eΔθ).

根據(jù)索網(wǎng)的對稱性進(jìn)行變量歸并，其中的主索將索網(wǎng)分割成6個對稱部分，每一部分中索長和調(diào)整索牽引力的歸并如圖5所示，共有30個獨立的索長變量(圖5中1－30)和12個獨立的調(diào)整索牽引力變量(圖5中(1)－(12)).

圖5 索長及牽引力的變量歸并Fig.5 Classification of variables for cable length and drag force

優(yōu)化時取Ti=150 N，［σ］=150 MPa，初始值取實際索長為相應(yīng)弦長的1.0001倍.目標(biāo)函數(shù)的迭代過程如圖6所示，經(jīng)過75次迭代后達(dá)到291.87N2，此時控制節(jié)點上的最大橫向不平衡力為3.8N.靜力學(xué)分析平衡后索網(wǎng)節(jié)點的最大位移不超過0.62mm，完全滿足精度要求.

圖6 目標(biāo)函數(shù)的收斂過程Fig.6 Convergence history of objective function

優(yōu)化后的索段初始長度在表1中列出，對應(yīng)的索網(wǎng)張力分布如圖7所示，此時各調(diào)整索牽引力在圖8中給出，所有索段的應(yīng)力均未達(dá)到規(guī)定的上限值.圖7中索網(wǎng)索段的最大張力(1139.9 N)是最小張力(231.2N)的4.93倍，分別出現(xiàn)在索段1和索段6上，這是由于在網(wǎng)面的不同位置，三角形網(wǎng)格的形狀相差較大，從而導(dǎo)致索力分布不均勻.為解決這一問題，可以將柔索張力的均勻性也作為目標(biāo)函數(shù)同時進(jìn)行優(yōu)化.

表1 索段的初始長度Table 1 Initial length of cable segment

圖7 索網(wǎng)的索段張力分布Fig.7 Tension distribution of cable segment in cable-net structure

圖8 調(diào)整索的牽引力Fig.8 Drag force of adjustable cables

要使調(diào)整索具有一定的拉力，索網(wǎng)應(yīng)具有一定的應(yīng)力.從圖7中可以看出，索網(wǎng)均處于張緊狀態(tài)，索段6和26的張力最小，因為在相同的張力作用下，索段26沿X方向的投影要比索段13大得多.

圖8中調(diào)整索牽引力的差別不大，最大牽引力(502.90N)是最小牽引力(185.36N)的2.71倍，分別作用在節(jié)點1和節(jié)點5上.索引力的平均值為312.1N.

對比表1中的索段1和6，二者對應(yīng)的弦長相等，索段1比索段6的初始長度僅減小了0.045%，但張力卻增加了493.02%.這表明此時結(jié)構(gòu)處于高度非線性狀態(tài)，初始長度的精確確定是保證索網(wǎng)具有特定應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)鍵.

5 結(jié)語

空間索網(wǎng)應(yīng)力狀態(tài)的確定是大型索網(wǎng)設(shè)計中的一個難點.文中建立了確定索網(wǎng)反射面初始平衡狀態(tài)的優(yōu)化模型，并推導(dǎo)出了優(yōu)化所需的敏度信息.數(shù)值算例表明，采用該優(yōu)化方法能夠快速完成索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始平衡狀態(tài)的求解.

優(yōu)化目標(biāo)中的節(jié)點不平衡力是針對索段逐個疊加求解的，故可有效避免因結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣奇異而帶來的數(shù)值收斂問題.這樣，使用文中方法總可以得到最接近于給定形狀的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，同時還可進(jìn)一步將索網(wǎng)應(yīng)力狀態(tài)的均勻性作為目標(biāo)函數(shù)，從而得到更為理想的平衡狀態(tài).

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