分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià)

周 銀， 杜雪樵

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的wick積分，可得到(1)式的解為:

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)利率為:

期權(quán)定價(jià)是金融數(shù)學(xué)中的核心問(wèn)題之一，近年來(lái)，國(guó)際金融市場(chǎng)涌現(xiàn)出了大量的由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)變化、組合、派生而出的新品種，即新型期權(quán)[1]。亞式期權(quán)就是現(xiàn)代金融市場(chǎng)中廣泛應(yīng)用的一種新型期權(quán)，它的收益取決于有效期內(nèi)某段時(shí)期的金融資產(chǎn)價(jià)格的平均值。

自從 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式被提出后[2]，這一公式便被廣泛地應(yīng)用于金融市場(chǎng)的定價(jià)分析。但是這一傳統(tǒng)公式是建立在有效市場(chǎng)假設(shè)之上的，而近年來(lái)對(duì)股票市場(chǎng)的大量研究結(jié)果均表明股票市場(chǎng)價(jià)格變化并不符合正態(tài)分布。而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)正好具備長(zhǎng)時(shí)間相關(guān)、自相似等特征，因此它能很好地刻畫(huà)股票波動(dòng)規(guī)律，文獻(xiàn)[3]使用傅里葉變換法推導(dǎo)了基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)條件下Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。

盡管亞式期權(quán)已經(jīng)在實(shí)務(wù)界得到廣泛應(yīng)用，其定價(jià)公式仍沒(méi)有從理論上得到較好的解決，文獻(xiàn)[4]首次提出期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法，將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)確定問(wèn)題，由于無(wú)任何經(jīng)濟(jì)條件假設(shè)，因此對(duì)有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)也有效;文獻(xiàn)[5]在保險(xiǎn)精算下用矩求亞式期權(quán)。本文在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的條件和期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)模型的基礎(chǔ)上得出了亞式期權(quán)的定價(jià)公式，僅考慮在固定敲定價(jià)格計(jì)算看漲期權(quán)，看跌類似可得。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

Mandelbrot和Van Ness首先研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其定義如下:

定義1 定義的在某概率空間的隨機(jī)過(guò)程{BH(t)，t≥0}為Hurst參數(shù)H∈(0，1)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，若

(1)BH(t)以概率1連續(xù)，且BH(0)=0。

(2)對(duì)任何t≥0，h≥0增量BH(t+h)-BH(t)服從均值為0，方差為h2H的正態(tài)分布。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是具有平穩(wěn)增量的連續(xù)的零均值Guassian過(guò)程，滿足E[BH(t)]=0，協(xié)方差為:

BH(t)的分布函數(shù)為:

BH(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)B(t)時(shí)，H=1/2。

如果標(biāo)的資產(chǎn)(股票)價(jià)格S(t)滿足:

則稱S(t)服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，μ(t)、σ(t)分別代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期收益率與波動(dòng)率，為了計(jì)算方便，假設(shè)μ(t)=μ，σ(t)=σ為常數(shù)，即

1.2 幾何平均亞式期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)模型

考慮由2類資產(chǎn)組成的連續(xù)貿(mào)易金融市場(chǎng)，一類是在t時(shí)刻具有瞬間無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r(t)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn);另一類為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)，在t時(shí)刻其價(jià)格為S(t)，考慮的時(shí)間區(qū)間為[0，T]。0表示初始時(shí)間;T表示到期日;{S(t):t≥0}是在給定的完備空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)(t)t≥0，P)上的隨機(jī)過(guò)程，{F(t)t≥0}是由S(t)產(chǎn)生的子空間，假設(shè)S(0)=S是大于零的常數(shù)，有關(guān)保險(xiǎn)精算定價(jià)的概念沿襲文獻(xiàn)[4]。

定義2 隨機(jī)過(guò)程 S(t):t≥0在[0，T]區(qū)間上產(chǎn)生的期望收益率∫t0β(s)d s被定義為:

即有:eβt=E[S(t)]/S(0)。

其中，β(t)為t時(shí)刻S(t)的連續(xù)復(fù)利收益率。而且有:

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的wick積分，可得到(1)式的解為:

即有:eβT=E[S(T)]/S(0)=eμT。

設(shè)C(K，T)表示以股票價(jià)格S(t)為標(biāo)的資產(chǎn)，執(zhí)行價(jià)為K，到期日為T的幾何亞式期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)[7]，令

定義3 平均價(jià)格型亞式期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)為:當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時(shí)，在[0，T]內(nèi)股價(jià)平均價(jià)格A(T)的折現(xiàn)值與執(zhí)行價(jià)的折現(xiàn)值之差，在股票價(jià)格實(shí)際分布的概率測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望[4]。資產(chǎn)折現(xiàn)值的計(jì)算方法如下:無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(確定的)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(隨機(jī)的)按其期望收益率折現(xiàn)。

幾何平均亞式期權(quán)在到期日被執(zhí)行的充要條件α是:

其中，期望收益折現(xiàn)率為:

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)利率為:

由定義3可知:

2 結(jié) 論

定理1 在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，具有固定敲定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)的價(jià)格為:

其中，d1=(ˉμ+ˉσ2-ln K-(μ-r)T)/ˉσ=

證明 由定義3有:

下面求出y的概率密度為:

y的期望為:

y的方差為:

又因?yàn)?

所以有:

所以有:

其中，d1=(ˉμ+ˉσ2-d)/ˉσ=(ˉμ+ˉσ2-ln K-(μ-r)T)/ˉσ。

其中，d2=(ˉμ-d)/ˉσ=(ˉμ-(μ-r)T-ln K)/ˉσ。

綜上所述，則有:

其中

推論1 當(dāng)μ=r，H=1/2時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下得出的幾何平均亞式看漲期權(quán)定價(jià)公式為:

此定價(jià)公式與文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論相同。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)比傳統(tǒng)的Black-Scholes期權(quán)公式更能解釋資本市場(chǎng)中的價(jià)格變化現(xiàn)象。和推論相比，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下保險(xiǎn)精算的方法模型能在更寬廣的范圍內(nèi)使用，是對(duì)其在標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下和風(fēng)險(xiǎn)中性條件下極大的推廣，表現(xiàn)出了本文的合理性，可見(jiàn)標(biāo)的資產(chǎn)服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下的幾何亞式期權(quán)定價(jià)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的一種特例。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)比傳統(tǒng)的Black-Scho les期權(quán)公式更能解釋資本市場(chǎng)中的價(jià)格變化現(xiàn)象。在幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)中，期權(quán)的價(jià)值不僅與資產(chǎn)價(jià)格S、時(shí)刻T和t有關(guān)，而且由于股票價(jià)格的變化具有長(zhǎng)相關(guān)性，因此期權(quán)的價(jià)值還應(yīng)與Hurst參數(shù)H有關(guān)。

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