基于有限元Craig縮聚模型的基礎(chǔ)激勵和載荷識別

朱斯巖

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

朱禮文

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

基于有限元Craig縮聚模型的基礎(chǔ)激勵和載荷識別

朱斯巖

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

朱禮文

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

載荷識別是用有限自由度的加速度測量值推斷外力.基礎(chǔ)激勵是在基礎(chǔ)自由度上加給定的加速度時間歷程激振結(jié)構(gòu)，求整個結(jié)構(gòu)的動響應(yīng).利用Craig減縮模型的性質(zhì)，及界面自由度的已知運動可求出整個結(jié)構(gòu)其余自由度的動力學(xué)響應(yīng)，完成基礎(chǔ)激勵求解.在此基礎(chǔ)上用已知的界面自由運動和求得的非界面自由度的動力學(xué)響應(yīng)，代入結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程即可實現(xiàn)載荷識別.本方法唯一能給基礎(chǔ)激勵和載荷識別結(jié)果帶來的偏差是Craig縮聚模型與原始有限元模型間的差異，對此用頻響分析的方式，直接從頻響曲線的變化來確定縮聚模型的精度.算例表明這一新的基礎(chǔ)激勵和載荷識別途徑是有效的.

結(jié)構(gòu)動力學(xué);基礎(chǔ)激勵;載荷識別

基礎(chǔ)激勵和載荷識別是工程應(yīng)用中常見的二類結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，其共同點是均用有限自由度的加速度時間歷程，實現(xiàn)基礎(chǔ)激勵或載荷識別的目的.基礎(chǔ)激勵類似響應(yīng)計算，二者的區(qū)別在于，響應(yīng)計算中動力學(xué)方程的外力函數(shù)項已知，問題轉(zhuǎn)化為二階微分方程(組)的數(shù)值積分，目前已有很多成熟精確的算法［1－3］;基礎(chǔ)激勵是用結(jié)構(gòu)少數(shù)基礎(chǔ)自由度的加速度時間歷程，求結(jié)構(gòu)其余自由度的響應(yīng)［4－5］.文獻［4］介紹了 3 種方法:慣性釋放法，適用于基礎(chǔ)為1個節(jié)點6個自由度的情況;大質(zhì)量法，是一種近似算法;Lagrange乘子法(LMT)，較為繁瑣.載荷識別由于種種實際因素限制，只能用少數(shù)自由度的加速度響應(yīng)測量值推斷作用于結(jié)構(gòu)的激振力F(t)，而對其余自由度響應(yīng)所做的不同假設(shè)，都將導(dǎo)致載荷識別結(jié)果的不同，即通常所說的不適定性［6］，也是研究的難點.本文利用Craig減縮模型的性質(zhì)，由已知的界面自由度加速度時間歷程，可精確簡捷地求得全部非界面自由度的動響應(yīng)，完成基礎(chǔ)激勵的求解.同時，載荷識別就可以先按上述方式，用測得的界面自由度加速度時間歷程，求非界面自由度動力學(xué)響應(yīng)，再將所有界面和非界面自由度的動響應(yīng)代入結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程，即可實現(xiàn)載荷識別，獲得作用于結(jié)構(gòu)界面的外載荷.

以上方法唯一會給基礎(chǔ)激勵和載荷識別結(jié)果帶來的偏差，是Craig縮聚模型與原始有限元模型間的差異.有限元模型的Craig縮聚是固定界面模態(tài)綜合的基礎(chǔ)［7］，最初它與靜力學(xué)子結(jié)構(gòu)方法一樣，只是為了適應(yīng)當(dāng)時計算機速度低、容量小的硬件條件.1987年長征系列運載火箭開始衛(wèi)星發(fā)射的國際商業(yè)服務(wù)時，在星箭耦合載荷計算中運用了這一技術(shù).而此時構(gòu)造的捆綁火箭結(jié)構(gòu)動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，同樣采用了固定界面模態(tài)綜合方法［8］.可見Craig縮聚模型已十分廣泛地應(yīng)用于航空航天結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中，因此對Craig縮聚模型與原始有限元模型間的差異進行定量分析是十分必要的.最早王文亮教授在文獻［9］中對此作了有效性分析，而普遍采用的是主模態(tài)截止頻率，認為縮聚模型與原始模型在主模態(tài)截止頻率以下的模態(tài)子空間相當(dāng).此外文獻［10］運用模態(tài)有效質(zhì)量(modal effectivemass)的概念.本文提出用頻響分析的方式，直接從頻響曲線的變化來確定縮聚模型的精度.

1 Craig模型縮聚

有限元模型的Craig縮聚，要求把運動參數(shù)分為界面自由度和非界面自由度，此時運動方程變?yōu)?/p>

本文將有外力作用的自由度列為界面自由度，界面模態(tài)φc定義為

由式(2)可見，界面自由度的選取應(yīng)保證矩陣Kmm可逆，因此必要時須選取無外力作用的自由度為界面自由度，并認為其上作用的外力等于0.對于其余的全部自由度均歸為非界面自由度，解如下廣義特征值問題:

得到主模態(tài)φm和主模態(tài)特征值λm.

由主模態(tài)φm和界面模態(tài)φc構(gòu)造變換矩陣T:

則運動參數(shù)的物理空間和模態(tài)空間變換關(guān)系為

由式(5)可知界面自由度保留了物理空間的性質(zhì).

縮聚后式(1)變換為

其中

剛度矩陣的非對角塊，與主模態(tài)坐標(biāo)及界面自由度相關(guān)的項為0，即

運動方程右側(cè)非界面自由度對應(yīng)外力為0，坐標(biāo)變換后對應(yīng)主模態(tài)坐標(biāo)的廣義力仍為0.同時與主模態(tài)對應(yīng)的質(zhì)量陣和剛度陣均為對角陣，已解耦，對應(yīng)阻尼項可以用模態(tài)阻尼比方式引入.通常界面自由度數(shù)較少，可不計相應(yīng)的阻尼項.故列入阻尼陣后式(6)變?yōu)?/p>

式(8)可分解為如下二式

模型縮聚是依靠減少主模態(tài)數(shù)實現(xiàn)的.若算例規(guī)模較小，允許計算出與非界面自由度數(shù)相等的主模態(tài)數(shù)，此時通過變換矩陣式(4)生成的結(jié)構(gòu)模型即Craig變換模型(模型大小與原始模型相同).此時，用Craig變換模型計算的特征值、特征矢量，與原始模型計算得到的特征值、特征矢量完全一致.

界面自由度的加速度值，在基礎(chǔ)激勵問題中是已知的激勵項，可據(jù)此求整個結(jié)構(gòu)的動響應(yīng);而在載荷識別問題中是已知的測量值，需要用它推斷作用于結(jié)構(gòu)上的外力.

2 基礎(chǔ)激勵

基礎(chǔ)激勵是用加速度時間歷程激振結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，因此無法像響應(yīng)計算那樣，用外力時間歷程通過積分結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程獲得結(jié)構(gòu)的動響應(yīng).NASTRAN早期提供了“大質(zhì)量法”的基礎(chǔ)激勵計算模塊，近期的版本包含了直接用加速度時間歷程的計算模塊.

本文基礎(chǔ)激勵問題的求解運用式(9a).由于主模態(tài)坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為0，因此將已知項移至等號右側(cè)并變號，得到響應(yīng)計算的方程形式如下:

3 載荷識別

載荷識別可依據(jù)Craig減縮模型，先按照第2節(jié)基礎(chǔ)激勵的方式，用有限的界面自由度的測量值計算主模態(tài)坐標(biāo)參數(shù)的動響應(yīng)，再根據(jù)式(9b)完成載荷識別計算.式中，主模態(tài)坐標(biāo)加速度按基礎(chǔ)激勵方式求得為已知的加速度測量值;Xc為界面自由度的位移時間歷程，是未知項，可由加速度測量值數(shù)值積分二次求出，積分時初值可簡單取0，同時加速度測量值起點也定為0.初值對計算結(jié)果有影響，但因阻尼的存在將只影響計算起始的很小一段時間［11］.將代入式(9b)便能得到通過界面自由度作用于結(jié)構(gòu)的載荷.

上述載荷識別的計算方法同樣適用于模擬振動臺運動的基礎(chǔ)激勵分析.由于振動臺作為基礎(chǔ)只包含1個節(jié)點6個自由度，是靜定約束.相應(yīng)的界面模態(tài)是對應(yīng)結(jié)構(gòu)的剛體運動，因此與剛度矩陣相乘為0，故式(9b)中矩陣，可直接根據(jù)計算振動臺對試件的激振力和夾持力.顯然這對振動臺反共振問題分析具有重要價值.

4 Craig縮聚模型精度評估

頻響分析是在結(jié)構(gòu)的給定自由度上，加簡諧形式的單位載荷，計算結(jié)構(gòu)指定自由度的位移(速度、加速度)響應(yīng)隨加載頻率變化的規(guī)律.計算得到的位移(速度、加速度)頻響曲線，是結(jié)構(gòu)固有特性(傳遞特性).目前所有有限元商用軟件都有頻響分析模塊.

結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為

其中，響應(yīng)U和激勵F是簡諧函數(shù)，頻率為ω.

通常響應(yīng)和激勵間存在相位差.將式(12)、

式(13)代入式(11)，得到頻響分析運動方程:

將式(14)分成實部、虛部:

通過式(14)或式(15)求解U1和U2，分別由U1，U2對應(yīng)的自由度處取值，求該自由度的位移響應(yīng)、相位差，再乘以ω，ω2，即得到速度、加速度響應(yīng).

用Craig縮聚模型作頻響分析時，式(14)、式(15)中的質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣可直接由式(8)得到，但激勵自由度必須列為界面自由度，響應(yīng)自由度建議也列入界面自由度.否則必須將式(14)或式(15)中的 U1和 U2分別取出，用生成Craig縮聚模型的變換陣T，按式(5)恢復(fù)到物理空間，再由相應(yīng)自由度處取值求該自由度的位移響應(yīng)、相位差，再乘以ω或ω2，獲得速度響應(yīng)、加速度響應(yīng).

5 算例

算例是長10m，直徑500mm，壁厚3mm的鋁質(zhì)圓管.數(shù)學(xué)模型包含11個節(jié)點，共66個自由度，由10個等長度的鐵木辛可梁單元組成，不加約束.每個節(jié)點集中質(zhì)量900 kg，集中轉(zhuǎn)動慣量0.3 kg·m2(繞圓管中心線轉(zhuǎn)動慣量為 0.6 kg·m2).選取 10 個界面自由度，其序號為:1，2，3，4(節(jié)點1);25，26，27(節(jié)點5);49，50，51(節(jié)點9).頻響計算以自由度序號50作為加載點，自由度2的加速度頻率響應(yīng)曲線如圖1所示.縮聚模型的主模態(tài)階數(shù)分別取前8，10，24階3種情況，界面自由度數(shù)為10，因此縮聚模型總自由度數(shù)分別為18，20，34.

圖1 加速度頻率響應(yīng)曲線

從圖1曲線可以看出主模態(tài)階數(shù)變化時對應(yīng)曲線峰值的位置和高度都會發(fā)生變化.實際上，該算例當(dāng)主模態(tài)階數(shù)大于等于18后，主模態(tài)階數(shù)的增加不再引起頻響曲線計算結(jié)果的變化.此外，對于根部固支或其他多種約束方式，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響曲線也大體類同.

載荷識別算例也采用了同一結(jié)構(gòu)模型，并在界面自由度2，6(即節(jié)點1的Y向和節(jié)點5的Y向)加激振力，計算結(jié)構(gòu)動響應(yīng).其中界面自由度的加速度時間歷程作為載荷識別的加速度測量值.同時為方便起見，兩個力函數(shù)僅在時序上顛倒了一下，其余界面自由度上外力函數(shù)皆為0.計算結(jié)果顯示識別載荷同激振力十分一致.為突出二者差別，在確定界面自由度運動(作為測量值)的響應(yīng)計算中，結(jié)構(gòu)模型采用主模態(tài)階數(shù)等于非界面自由度數(shù)的Craig變換模型，而載荷識別時采用主模態(tài)階數(shù)等于8的Craig縮聚模型.因圖1的頻響曲線顯示這兩個模型的差異主要表現(xiàn)在40Hz以上的頻段，因此激振力也應(yīng)有40Hz以上的頻率成分.激振力的幅頻特性如圖2所示.圖3給出了自由度2上識別載荷與激振力的比較，二者十分一致.

圖2 原始所加載荷傅里葉幅值譜

圖3 原始所加載荷與載荷識別結(jié)果比較

6 結(jié)論

本文提出利用有限元Craig縮聚模型進行基礎(chǔ)激勵計算和載荷識別，并根據(jù)頻響曲線確定模型精度，算例計算表明方法可行有效.

本文基礎(chǔ)激勵的計算方式在預(yù)示振動試驗的分析工作中已實際應(yīng)用，但載荷識別方法由于要求加力點必須同時是加速度測量點，這就要求事先在加速度測點布置中有所安排考慮，因此在現(xiàn)有工作中進行驗證有一定困難.此外，外力作用處直接安裝加速度測點也有可能存在難度，這時可以將測點設(shè)定在外力作用點附近、與著力點間連接剛性較好的結(jié)構(gòu)上，相當(dāng)于將力移動到測點.若該點處在力作用線上，則對隨后的基礎(chǔ)激勵和載荷識別計算沒有影響.若因外力移動出現(xiàn)附加彎矩，則對應(yīng)的加速度測量不只是線加速度，還要求增加角加速度測量.由于目前尚無法直接測量角加速度，可以在外力作用點附近尋找剛性較大的結(jié)構(gòu)，用多個線加速度測點測量結(jié)果換算該點的角加速度.總之應(yīng)盡可能避免附加彎矩的出現(xiàn).

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(編 輯:李 晶)

Base excitation and load identification based on Craig reduction model

Zhu Siyan

(School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

Zhu Liwen

(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering，Beijing 100076，China)

Load identification use measured acceleration of few degree of freedom(DOF)to determine external applied load.Base excitation give movement upon foundation freedom to excite the structure，and then obtain the whole dynamic response.Making use of characteristics of Craig reduction model，and the known motion of interface DOF，the dynamic response of all other DOF could be calculated，thus the base excitation was achieved.The load identification could be performed through the dynamic equation with these motion of interface DOF and the calculated dynamic response of non-interface DOF.The only error of this method for base excitation and load identification is the difference between the Craig reduction model and the original finite-element model.For this reason，frequency response analysis was applied to determine the precision of Craig reduction model through the variation of the frequency response curve.An example was given to demonstrate the validity of the present base excitation and load identification method.

structural dynamics;base excitation;load identification

TB 122

A

1001-5965(2011)06-0665-04

2010-03-10

朱斯巖(1973 －)，女，北京人，講師，ysz4444@buaa.edu.cn.