正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性

楊 振，王三民，范葉森，劉海霞

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安，yang95478@163.com)

進(jìn)入21世紀(jì)以來，國(guó)外學(xué)者［1-4］對(duì)面齒輪的嚙合原理、齒輪彎曲強(qiáng)度、齒面接觸強(qiáng)度、切齒及磨齒加工、面齒輪疲勞壽命實(shí)驗(yàn)等進(jìn)行了研究.國(guó)內(nèi)學(xué)者［5-7］近幾年對(duì)面齒輪的研究目前主要集中于齒面設(shè)計(jì)、齒輪彎曲強(qiáng)度、齒面接觸強(qiáng)度、切齒加工等方面，關(guān)于其振動(dòng)特性的研究還處于初期階段.由于面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)含有間隙、時(shí)變嚙合剛度、齒輪誤差等參數(shù)，其本質(zhì)上是一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，其振動(dòng)特性會(huì)直接影響到傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性［8］.

本文建立了包含齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度、綜合誤差、支承等參數(shù)在內(nèi)的正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，并用PNF方法求解了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組，經(jīng)分析后得到了系統(tǒng)分岔特性的變化規(guī)律.

1 系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型與方程

圖1所示為根據(jù)集中參數(shù)理論建立的彈性支承下正交面齒輪傳動(dòng)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，模型中不考慮繞各坐標(biāo)軸的擺振.

該模型以直齒輪軸線為x軸，以面齒輪軸線為y軸，并以兩軸的交點(diǎn)作為原點(diǎn)建立全局坐標(biāo)系Σ:(O x y z).由于小齒輪為直齒圓柱齒輪，齒輪上無軸向作用力，因此只考慮2個(gè)坐標(biāo)方向的支承剛度和阻尼，分別為kij、cij(i=y，z;j=p，g).

設(shè)主動(dòng)輪p有驅(qū)動(dòng)力矩Tp，從動(dòng)輪g有不變的阻抗力矩Tg.整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)共有6個(gè)自由度，分別為{Yp，Zp，θp，Yg，Zg，θg}T.

圖1 正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

2 系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

由圖1可以得到，兩齒輪嚙合點(diǎn)間因振動(dòng)和誤差產(chǎn)生的沿嚙合點(diǎn)法線方向的相對(duì)位移λn為

式中:c1=cos αn，c2=sin αn;rp，rg為兩齒輪嚙合點(diǎn)半徑;αn為法面壓力角;en(t)為齒輪副的法向綜合傳動(dòng)誤差.

則齒輪副在嚙合時(shí)的法向動(dòng)載荷及其沿坐標(biāo)軸的分力分別為

式中:kh(t)為時(shí)變嚙合剛度;ch為嚙合阻尼; f(λn)為間隙函數(shù)，其中:

式中，bm為法向平均嚙合間隙之半.

下面確定時(shí)變嚙合剛度kh(t)和齒輪副綜合誤差en(t)的表達(dá)式.

由于面齒輪的空載重合度一般在1.6～1.8，因此實(shí)際的面齒輪副的綜合嚙合剛度是一個(gè)以嚙合周期為周期的階躍函數(shù).另外，面齒輪的重合度在加載后會(huì)進(jìn)一步增大，其嚙合剛度的變化比較小，因此可以將其處理為在一個(gè)平均值下的微小波動(dòng)，具體表達(dá)式如下:

式中，km為嚙合剛度的平均值，Ak為嚙合剛度的波動(dòng)幅值，ωh為齒輪副的嚙合頻率，φk為初相位.

由于對(duì)齒輪振動(dòng)影響較大的誤差比較多，如基節(jié)偏差、齒距偏差、齒形誤差、齒距累積誤差等，在此將其統(tǒng)稱為齒輪副綜合誤差.具體的處理方法參考文獻(xiàn)［9］，將其表示為嚙合頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù):

式中，e0為綜合誤差常值，Ae為綜合誤差的幅值，φe為初相位.

則圖1所示的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為

為了消除系統(tǒng)的剛體位移，引入齒面嚙合點(diǎn)間的法向相對(duì)位移λn作為新的自由度，并對(duì)方程組(1)進(jìn)行量綱一化處理后，得

式中:yj=Yj/bm，zj=Zj/bm;λ=λn/bm;

其中，i=y，z;j=p，g.

3 系統(tǒng)的分岔特性分析

對(duì)間隙型非線性方程組(2)，用PNF方法(參考文獻(xiàn)［10］)對(duì)其進(jìn)行求解，得到的系統(tǒng)響應(yīng)也以量綱一化的形式給出.

系統(tǒng)主要參數(shù)為:齒數(shù)zp=36，zg=123;模數(shù)m=4 mm;齒寬B=30 mm;壓力角αn=20°;傳動(dòng)誤差均值e0=0 μm，幅值A(chǔ)e=15 μm，初始相位角φe=0;驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Tp=300 N·m;負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tg=1 025 N·m;齒側(cè)間隙bm=100 μm;嚙合剛度km=3.2×108N·m-1;小直齒輪支承剛度kyp=kzp=2.8×108N·m-1，面齒輪支承剛度kyg=kzg=5.2×108N·m-1.

3.1 系統(tǒng)的倍周期分岔

圖2為時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)ak從0.4增大到0.5的過程中系統(tǒng)的倍周期分岔特性圖.由系統(tǒng)的龐加萊截面圖可見，在ak=0.420處系統(tǒng)響應(yīng)依然為5周期次諧響應(yīng)(圖3(a));當(dāng)增大到0.460時(shí)，系統(tǒng)分岔為 10周期次諧響應(yīng)(圖3(b));然后在ak=0.485處進(jìn)一步分岔為26周期次諧響應(yīng)(圖3(c));其后的分岔域越來越短，最后進(jìn)入混沌響應(yīng)(如圖3(d)).

圖2 系統(tǒng)倍周期分岔圖(ak=0.4～0.5)

3.2 系統(tǒng)的擬周期分岔

當(dāng)嚙合阻尼比ξg由0.061減小到0.060時(shí)，可以觀察到系統(tǒng)響應(yīng)由擬周期道路到達(dá)混沌的過程，如圖4所示.

圖3 不同時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)ak對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)龐加萊截面圖

圖4 系統(tǒng)擬周期分岔圖(ξg=0.061～0.060)

由各參數(shù)點(diǎn)處系統(tǒng)響應(yīng)的龐加萊截面圖可見，在ξg=0.060 510 0附近系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期響應(yīng)，如圖5(a)所示;當(dāng)ξg減小到0.060 416 9時(shí)，系統(tǒng)的擬周期環(huán)面破碎為數(shù)個(gè)小的吸引子區(qū)域，如圖5(b)所示;當(dāng)ξg繼續(xù)減小到0.060 390 0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為17周期次諧響應(yīng)，如圖5(c)所示;隨著ξg進(jìn)一步減小到0.060 375 0附近時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入擬周期響應(yīng)，如圖5(d)所示.經(jīng)過一系列的擬周期分岔后，系統(tǒng)最終進(jìn)入混沌響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)相圖和龐加萊截面圖如圖5(e)、圖5 (f)所示.

由以上分析可以看出，嚙合阻尼比從0.061減小到0.060的過程中，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷了周期—擬周期—擬周期環(huán)破碎—周期—擬周期…的擬周期分岔道路.

3.3 系統(tǒng)的邊界激變

在一定的參數(shù)條件下，還可以觀察到系統(tǒng)通過邊界激變到達(dá)混沌響應(yīng)的現(xiàn)象.

圖6所示即為改變綜合傳動(dòng)誤差幅值ae時(shí)系統(tǒng)的激變，當(dāng)ae=0.116時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為2周期響應(yīng)(圖7(a));當(dāng)ae傳減小到0.115附近時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生激變進(jìn)入混沌響應(yīng)，如圖7(b)所示.

圖5 不同嚙合阻尼比ξg對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)龐加萊截面圖

圖6 系統(tǒng)激變分岔圖(ae=0.120～0.112)

圖7 不同綜合誤差幅值ae對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)龐加萊截面圖

4 結(jié)論

1)建立了包含支承、齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度、綜合傳動(dòng)誤差、阻尼和外激勵(lì)等參數(shù)的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型.

2)系統(tǒng)通向混沌的途徑主要有周期倍化道路、擬周期道路以及邊界激變.

3)不同的系統(tǒng)參數(shù)，甚至同一參數(shù)的不同區(qū)段，系統(tǒng)會(huì)以不同的道路進(jìn)入混沌區(qū)域.

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