驅(qū)動場下二組份BEC原子的量子動力學(xué)

劉志榮

（華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330013）

1924年印度科學(xué)家玻色（Bose）將光子作為數(shù)量不守恒的粒子成功地導(dǎo)出了普朗克黑體輻射定律。愛因斯坦（Einstein）將其推廣到全同粒子理想氣體，并從理論上預(yù)言了玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象的存在即在很低的溫度下無相互作用的玻色子會在最低能量量子態(tài)上突然凝聚達到可觀的數(shù)量。玻色-愛因斯坦凝聚體具有奇特性質(zhì)，通過對它的研究可以發(fā)現(xiàn)原子間的相互作用力、外場等對物質(zhì)凝聚過程及動力學(xué)的影響，這不僅對基礎(chǔ)研究有重要意義，而且在原子激光、原子鐘、原子芯片技術(shù)、精密測量、量子計算機和納米技術(shù)等領(lǐng)域也有很好的應(yīng)用前景。早期由于找不到合適的實驗體系以及受當時實驗技術(shù)的限制，玻色-愛因斯坦凝聚的早期實驗研究進展十分緩慢。1995年7月美國科羅拉多大學(xué)實驗天體物理聯(lián)合研究所（JI?LA）Wiema小組[1]首先在實驗中觀察到了87Rb原子的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。同年美國的另兩個小組分別在鋰（7Li）[2]和鈉（23Na）[3]原子蒸汽中實現(xiàn)了原子BEC。2001年度諾貝爾物理學(xué)獎分別授予了Eric A.Cor?nell，Wolfgang Ketterle及Carl E.Wieman，以表彰他們在實現(xiàn)弱相互作用玻色氣體的玻色-愛因斯坦凝聚實驗方面的開創(chuàng)性工作。2004年國際著名學(xué)術(shù)刊物《科學(xué)》將實現(xiàn)費米子的玻色-愛因斯坦凝聚評為年度國際科技十大進展之一。當前玻色-愛因斯坦凝聚的理論和實驗研究已成為國際物理學(xué)界的研究熱點之一。

2001年D.S.Hall等[4]對BEC的實驗研究發(fā)現(xiàn)，外場下二組份BEC中第二組份原子數(shù)密度的演化呈現(xiàn)周期性振蕩。中國科學(xué)院物理研究所李衛(wèi)東研究員等[5]的理論研究結(jié)果與文獻報導(dǎo)的實驗結(jié)果符合。文獻[5]還研究了二組份BEC的干涉等特性并得到了一些有趣的結(jié)果。本文研究驅(qū)動場作用下二組份BEC原子數(shù)密度的長時演化規(guī)律，深入研究驅(qū)動場Rabi頻率、驅(qū)動場與原子的耦合強度及系統(tǒng)BEC二組份原子初始相對位相差對原子數(shù)密度演化特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明：長時間的動力學(xué)行為表現(xiàn)出與短時間動力學(xué)行為不同的結(jié)果，即長時間范圍內(nèi)原子數(shù)密度演化呈現(xiàn)出量子體系特有的崩塌-復(fù)蘇現(xiàn)象，且在較大的參數(shù)范圍內(nèi)，體系的崩塌-復(fù)蘇特性不會改變。

1 物理模型

考慮一個零溫度下的二組份BEC系統(tǒng)，該系統(tǒng)的原子間具有弱的非線性相互作用及耦合驅(qū)動。實驗中驅(qū)動耦合可由一短的雙光子脈沖把原子從一個自旋態(tài)轉(zhuǎn)變成另一個自旋態(tài)，即通過雙光子拉曼過程得到[6]。二次量子化后，該系統(tǒng)的哈密頓量可寫成

它們分別描述各組份內(nèi)原子的相互作用、耦合驅(qū)動及不同組份間的原子的相互作用。式中φ1（）x為Gross-Pitaevskii方程的穩(wěn)態(tài)解。

為了獲得哈密頓量（5）式的解析本征態(tài)，引入以下玻戈留玻夫變換[5]

2 計算結(jié)果與分析

2.1 驅(qū)動場Rabi頻率對原子數(shù)密度演化特性的影響

圖1給出了原子數(shù)密度N2（t）隨時間及驅(qū)動場Rabi頻率的演化圖，基本參數(shù)如下：q=1，g=0.49，χ=0.5，φ=π/6，ωrf=0.001，t=1.2，Ω=20～50。由圖1（a）可見，在較短時間范圍內(nèi)原子數(shù)密度隨著時間的演化呈現(xiàn)出近似周期性振蕩，并似一余弦函數(shù)。同時可以看到，驅(qū)動場Rabi頻率的大小對原子數(shù)密度振蕩的周期的影響顯著：隨著Rabi頻率的增大原子數(shù)密度演化周期將減小。

現(xiàn)將演化時間延長以考查原子數(shù)密度的長時間演化行為。從圖1（b）可以看到原子數(shù)密度的長時間演化中呈現(xiàn)出量子力學(xué)中典型的崩塌-復(fù)蘇現(xiàn)象。這與短時間的演化行為中Rabi頻率顯著影響原子數(shù)密度振蕩的周期不同，長時間動力學(xué)行為中呈現(xiàn)的崩塌-復(fù)蘇的周期并不受Rabi頻率的顯著影響。

圖1原子數(shù)密度N2（t）隨時間及驅(qū)動場Rabi頻率的演化關(guān)系圖Fig.1The time evolution of the atomicity density N2（t）

2.2 驅(qū)動場耦合場強對原子數(shù)密度演化特性的影響

現(xiàn)研究驅(qū)動場耦合強度g的變化對原子數(shù)密度演化特性的影響，參數(shù)如下：q=1，χ=0.5，φ=π/6，ωrf=0.001，t=1.2，Ω=20，g=0～1.0。從圖2（a）可以看到，短時間內(nèi)原子數(shù)密度隨時間演化呈現(xiàn)出周期性變化，且隨著g的增大振蕩的周期減小。特別當g為0時，原子數(shù)密度振蕩周期為無窮大，即原子數(shù)密度維持在某一特定值不變。

在長時間的演化中，從圖2（b）可以看到不論驅(qū)動場與原子的耦合是弱是強，原子數(shù)密度的演化均呈現(xiàn)出典型的崩塌-復(fù)蘇現(xiàn)象，且崩塌-復(fù)蘇的周期并不隨耦合強度g的變化而顯著變化。

圖2原子數(shù)密度N2（t）隨時間及驅(qū)動耦合場強度的演化關(guān)系圖Fig.2The time evolution of the atomicity density N2（t）

2.3 二組份初始相對位相差對原子數(shù)密度演化特性的影響

從圖3（a）可見（其中q=1，χ=0.5，ωrf=0.001，t=1.2，Ω=20，g=0～1.0，φ=0～4π），短時間內(nèi)二組份初始相對位相差周期性地改變原子數(shù)密度的演化。位相差在kπ～kπ+1/2π（k為整數(shù)）范圍振蕩的幅度單調(diào)遞增，而相差在（k+1/2） π～（k+1） π范圍振蕩的幅度單調(diào)遞減。更有趣的是當φ=kπ時，原子數(shù)密度不隨時間改變而維持在某一固定值不變。

從圖3（b）可見，長時間內(nèi)體系呈現(xiàn)的崩塌-復(fù)蘇的幅度的變化規(guī)律與短時間振蕩變化規(guī)律相似。

圖3原子數(shù)密度N2（t）隨時間及二組份初始相對位相的演化關(guān)系圖Fig.3The time evolution of the atomicity density N2（t）

3 總結(jié)

本文研究了二組份BEC原子數(shù)密度的時間演化規(guī)律，研究結(jié)果表明原子數(shù)密度的長時間的演化特性與短時間演化特性不同，長時間范圍內(nèi)原子數(shù)密度演化呈現(xiàn)量子體系特有的崩塌-復(fù)蘇現(xiàn)象。由于崩塌-復(fù)蘇現(xiàn)象是量子體系特有的現(xiàn)象，它完全取決于體系的量子特性，系統(tǒng)崩塌-復(fù)蘇性質(zhì)不顯受外場的影響。故在一定參數(shù)范圍內(nèi)原子數(shù)密度的演化呈現(xiàn)崩塌-復(fù)蘇的特性不變。另本文詳細討論了驅(qū)動場Rabi頻率、驅(qū)動場與原子的耦合強度以及BEC二組份初始相對位相差對原子數(shù)密度演化特性的影響規(guī)律。

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