一類(lèi)具有脈沖效應(yīng)的捕食系統(tǒng)分析

盧 琨

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引 言

捕食者-食餌系統(tǒng)是非常重要的數(shù)學(xué)模型，近幾年來(lái)，脈沖微分方程被引入種群動(dòng)力學(xué)中，并且得到了廣泛的應(yīng)用[1-6].本文研究了下面具有非單調(diào)功能反應(yīng)且對(duì)捕食者進(jìn)行周期投放的捕食者-食餌系統(tǒng)

(1)

這里x(t),y(t)分別代表食餌(害蟲(chóng))種群和捕食者(天敵)種群的密度，r是食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，β是食餌的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，ω代表捕食者的轉(zhuǎn)化率，d代表捕食者的死亡率.這里所有的參數(shù)都是正數(shù)，函數(shù)f(x)=sx(t)exp(-kx(t))是功能反應(yīng)函數(shù)，具有非單調(diào)性.

T是脈沖周期n∈N，本文考慮通過(guò)在整周期釋放天敵對(duì)模型進(jìn)行分析，q≥0是每次釋放的天敵數(shù)量.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 系統(tǒng)(1)是持續(xù)生存的，如果存在正常數(shù)m，M和T0，使得系統(tǒng)(1)的所有正解(x(t),y(t))都滿(mǎn)足當(dāng)t>T0時(shí)有m≤x(t)≤M，m≤y(t)≤M.

引理1 設(shè)z(t)是系統(tǒng)(1)的解，并且滿(mǎn)足初值條件z(0+)≥0，于是對(duì)所有t≥0，都有z(t)≥0，且如果z(0+)>0，則t≥0時(shí)z(t)>0.

當(dāng)食餌滅絕時(shí)，捕食者滿(mǎn)足方程：

(2)

引理2 系統(tǒng)(2)有一個(gè)正周期解y*(t)，并且對(duì)系統(tǒng)(2)的滿(mǎn)足y0≥0的任意解y(t)有|y(t)-y*(t)|→0,t→∞.

把上面的結(jié)論應(yīng)用到系統(tǒng)(1)中，即可得到系統(tǒng)(1)的食餌(害蟲(chóng))滅絕的周期解：

2 滅絕與持續(xù)生存

證明 設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的任意解，做變換x(t)=u(t),y(t)=v(t)+y*(t)，則相應(yīng)的線性方程組的解為

系統(tǒng)(1)的脈沖條件變?yōu)?/p>

定理2 一定存在常數(shù)M，使得系統(tǒng)(1)的解x(t),y(t)，滿(mǎn)足當(dāng)t充分大時(shí)，有x(t)≤M，y(t)≤M.

證明 設(shè)x(t),y(t)是系統(tǒng)(1)的任意解，令V(t)=ωx(t)+y(t)，顯然V∈V0,且

(3)

顯然，當(dāng)0<λ

D+V(t)+λ0V(t)≤L1(L1有界)，這樣方程(3)即為

由文獻(xiàn)[2]中的引理2.2知，當(dāng)t∈(nT,(n+1)T)時(shí)

于是有

因此，由V(t)的定義知存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得t充分大時(shí)系統(tǒng)(1)的每個(gè)解都有x(t)≤M，y(t)≤M，即系統(tǒng)(1)的解是一致最終有界的，證畢.

由脈沖微分方程比較定理[3]和引理1易得t充分大時(shí)，y(t)>m2.我們只需找到m1>0，使當(dāng)t充分大時(shí)有x(t)≥m1，下面分兩步來(lái)證明：

其中-d+ωsm3<0.

(4)

(5)

令N1∈N和N1T≥T1,將上面方程組的第一個(gè)方程在(nT,(n+1)T] (n≥N1)上積分得

因此，當(dāng)k→∞時(shí)有x((N1+k)T)≥x(N1T)σk→∞，這與x的有界性矛盾，因此存在t1>0,使得x(t1)≥m3.

如果t*是脈沖點(diǎn)，一定存在n0∈N使得t*=n0T，對(duì)于足夠小的ε*>0，令t*=t*-ε*，有t*是非脈沖點(diǎn)，使得x(t*)≥m3.

現(xiàn)在設(shè)t*是非脈沖點(diǎn)，則當(dāng)t∈[t1,t*]時(shí)，x(t)≥m3,并且因?yàn)閤(t)是連續(xù)函數(shù)，有x(t*)=m3.設(shè)t*∈(nT,(n+1)T]，選取n2,n3∈N，使得

σn3exp(n2αT)>σn3exp((n2+1)αT)>1

如前一步證明，我們有x((n1+1+n2+n3)T)≥x((n1+1+n2)T)σn3,由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程得

(6)

在t∈[t*,(n1+1+n2)T]上對(duì)上式積分得

x((n1+1+n2)T)≥m3exp(α(n2+1)T)

(7)

因此x((n1+1+n2+n3)T)≥m3σn3exp((n2+1)T)≥m3，矛盾.

x(t)≥x(t*)exp(α(t-t*))≥m3exp((1+n2+n3)αT)=m1

因此x(t1)≥m1，對(duì)所有的t≥t1都成立，證畢.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用脈沖微分方程Floquet乘子理論和比較定理，得到了對(duì)捕食者進(jìn)行周期投放的捕食者-食餌系統(tǒng)持續(xù)生存的條件，其結(jié)果可以應(yīng)用到諸如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的很多方面中.在捕食者-食餌系統(tǒng)的討論中，綜合害蟲(chóng)管理(IPM)同樣是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中控制害蟲(chóng)的一種非常有效的方法，在以后的研究中，作者會(huì)嘗試對(duì)捕食者進(jìn)行周期投放和對(duì)食餌進(jìn)行周期噴灑農(nóng)藥同時(shí)作用于系統(tǒng)，期望同樣可以得到系統(tǒng)持續(xù)生存的條件.

參考文獻(xiàn)

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