基于MATLAB/SIMULINK的牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析

錢文婷，徐承妍，李濱城

QIAN Wen-ting1，XU Cheng-yan2，LI Bin-cheng1

（1.江蘇科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003；2.華東師范大學(xué) 軟件學(xué)院，上海 200062）

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在機(jī)構(gòu)綜合中計(jì)算機(jī)輔助分析得到了迅猛發(fā)展，特別為其建模仿真提供了極大的方便[1]，為后續(xù)綜合出機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)提供了可能。

牛頭刨床是一種常見的金屬切削機(jī)床，其導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)作為牛頭刨床的主要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)將回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€往復(fù)運(yùn)動(dòng)的重要功能，如圖1所示。本文運(yùn)用矢量法和矩陣法建立了牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)模型，在對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)仿真，從而獲得了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)曲線圖及運(yùn)動(dòng)副反力曲線圖，為對(duì)其進(jìn)一步深入研究提供了基礎(chǔ)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，將各構(gòu)件視為桿矢量。機(jī)構(gòu)各矢量構(gòu)成兩個(gè)矢量封閉方程為：

圖1 牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)

聯(lián)解上式，即可求得各構(gòu)件的位移量為：

1.2 SIMULINK建模與仿真

在應(yīng)用SIMULINK進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真時(shí)，需先根據(jù)前面建立的數(shù)學(xué)模型，編寫一個(gè)MATLAB函數(shù)Displacement用以解出式（5）中的四個(gè)位移量s3、θ3、θ4、sE，該函數(shù)的輸入?yún)⒘繛闃?gòu)件1的位移量θ1，輸出參量為由s3、θ3、θ4、sE四個(gè)變量構(gòu)成的向量，隨后通過Demux模塊將該向量分解輸出。在此基礎(chǔ)上，利用微分模塊對(duì)各構(gòu)件的位移量s3、θ3、θ4、sE分別進(jìn)行微分，求得其對(duì)應(yīng)的速度量ν3、ω3、ω4、νE，再對(duì)其進(jìn)行微分,求得其對(duì)應(yīng)的加速度量α3、α3、α4、αE。最后使用Mux模塊將所求的變量合成為一個(gè)向量，并通過To Workplace模塊將該向量數(shù)據(jù)寫入工作空間中的simout1變量，圖2為SIMULINK運(yùn)動(dòng)分析仿真系統(tǒng)圖。

圖2 SIMULINK運(yùn)動(dòng)分析仿真系統(tǒng)圖

為表示實(shí)際工作中牛頭刨床機(jī)構(gòu)完整的運(yùn)動(dòng)周期，設(shè)構(gòu)件1的位移量初始值為θ1=-0.4713rad為正行程開始的位置，仿真時(shí)間大于1個(gè)運(yùn)動(dòng)周期。并設(shè)構(gòu)件1的角速度ω1=1rad/s，則1個(gè)周期T=6.28s，故選取仿真時(shí)間為8秒。

在仿真結(jié)束后，借助于MATLAB的plot等繪圖命令對(duì)simout1變量進(jìn)行后處理，可以得到各運(yùn)動(dòng)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，如圖3所示。

2 動(dòng)力學(xué)分析

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)前述求得的相關(guān)構(gòu)件加速度量，可確定出其所受的慣性力及慣性力矩。設(shè)mi為第i個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量，F(xiàn)i為作用在第i個(gè)構(gòu)件上的慣性力，Mfi為第i個(gè)構(gòu)件上的慣性力矩，Ji為第i個(gè)構(gòu)件繞其質(zhì)心Si的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可得：

圖4 牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)受力分析圖

機(jī)構(gòu)受力如圖4所示，Md為加在構(gòu)件1上的平衡力矩，根據(jù)構(gòu)件上所有外力在 軸上的投影的代數(shù)和為零、構(gòu)件上所有外力在 軸上的投影的代數(shù)和為零以及構(gòu)件上所有外力對(duì)其質(zhì)心Si的力矩代數(shù)和為零，列出每一構(gòu)件的動(dòng)態(tài)靜力平衡方程式[2,3]。

對(duì)構(gòu)件1有：

圖3 牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)的位移、速度、加速度圖線

對(duì)構(gòu)件2，有：

這里強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，對(duì)滑塊2，由于其各力對(duì)其質(zhì)心取矩代數(shù)和恒為零，故無(wú)法列出其力矩平衡方程式。根據(jù)幾何約束條件，可以列出下列方程作為補(bǔ)充方程：

對(duì)構(gòu)件3，有：

對(duì)構(gòu)件5，由于導(dǎo)路對(duì)其只產(chǎn)生一個(gè)垂直反力，但力作用點(diǎn)未知。可以這樣處理，把其反力向質(zhì)心S5簡(jiǎn)化，可得一反力FR65和一反力偶矩M5，其中xS5為點(diǎn)E與構(gòu)件5質(zhì)心的距離。而構(gòu)件5運(yùn)動(dòng)時(shí)所受切削阻力為Fr，如圖4所示。其僅在向左運(yùn)動(dòng)，即切削工件時(shí)才受到切削阻力。構(gòu)件5平衡方程式如下：

將上述各構(gòu)件的15個(gè)平衡方程式，整理成以運(yùn)動(dòng)副反力和平衡力矩為未知量的線性方程組，并寫成矩陣形式如下：

式中C為系數(shù)矩陣，F(xiàn)R為未知力列陣，D為已知力列陣。其中

2.2 SIMULINK建模與仿真

SIMULINK動(dòng)力學(xué)分析仿真系統(tǒng)模型框圖如圖5所示，該仿真系統(tǒng)模型有運(yùn)動(dòng)學(xué)分析子系統(tǒng)Kinematics、動(dòng)力學(xué)分析MATLAB函數(shù)Dynamics和輸入輸出模塊組成。

圖5 SIMULINK動(dòng)力學(xué)分析仿真系統(tǒng)圖

在SIMULINK運(yùn)動(dòng)分析仿真系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，利用SIMULINK中子系統(tǒng)的功能模塊，將其改建成運(yùn)動(dòng)學(xué)分析子系統(tǒng)Kinematics并嵌入到動(dòng)力學(xué)分析仿真系統(tǒng)之中，該子系統(tǒng)的輸出端為動(dòng)力學(xué)分析函數(shù)Dynamics的輸入端，子系統(tǒng)框圖如圖6所示。

圖6 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析子系統(tǒng)圖

Dynamics函數(shù)用來(lái)求解運(yùn)動(dòng)副反力和平衡力矩，該函數(shù)的輸入為由運(yùn)動(dòng)分析子系統(tǒng)Kinematics輸出的各構(gòu)件的位移量、速度量及加速度量，輸出為各運(yùn)動(dòng)副反力及平衡力矩，程序設(shè)計(jì)如圖7所示。

由動(dòng)力學(xué)分析函數(shù)Dynamics輸出的各動(dòng)力學(xué)參量將寫入MATLAB工作空間中的simout2變量。在仿真結(jié)束后借助于MATLAB的plot等繪圖命令對(duì)simout2變量進(jìn)行后處理，就可以得到15個(gè)動(dòng)力學(xué)參量隨時(shí)間的變化規(guī)律，選取部分線圖如圖8所示。

3 結(jié)論

本文通過運(yùn)用MATLAB/SIMULINK軟件對(duì)牛頭刨床導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析，闡述了MATLAB/SIMULINK輔助機(jī)構(gòu)分析的一般過程，這為使用該軟件輔助其它類型機(jī)構(gòu)的分析提供了借鑒。這里需要強(qiáng)調(diào)的是在應(yīng)用SIMULINK進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真時(shí)采用了微分的方法，可以看到這極大簡(jiǎn)化了機(jī)構(gòu)的分析過程。此外，從本文的仿真分析可知，在應(yīng)用MATLAB/SIMULINK軟件中還可以對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行修改，從而獲得不同的設(shè)計(jì)方案，這就為對(duì)其工況進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了可能。

圖7 動(dòng)力學(xué)分析程序設(shè)計(jì)框圖

圖8 MATLAB力分析線圖

[1]約翰.F.加得納,著.周進(jìn)雄,等.機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)仿真—使用Matlab和Simulink[M].西安：西安交通大學(xué)出版社,2002.

[2]孫恒,陳作模,葛文杰.機(jī)械原理（第七版）[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]姚立綱,王景昌,欒慶德.常見機(jī)構(gòu)的電算程序設(shè)計(jì)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1999.