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    相關偏置信號調制噪聲和加性噪聲驅動線性系統(tǒng)隨機共振

    2011-02-12 11:40:00周玉榮何正友
    振動與沖擊 2011年11期
    關鍵詞:乘性偏置共振

    周玉榮,何正友

    (1.西南交通大學 電氣工程學院,成都 610031;2.攀枝花學院 電氣信息工程學院,四川 攀枝花 617000)

    近30年來,隨機共振理論在研究系統(tǒng)、確定性驅動力和噪聲三者協(xié)同作用方面取得了顯著的成果。隨機共振可以理解為有噪聲的系統(tǒng)中,系統(tǒng)的輸出信號是噪聲或周期激勵信號的某個參數(shù)(噪聲強度、噪聲相關時間、周期激勵信號的幅度或頻率等)的非單調函數(shù)這樣一種非線性行為。隨機共振理論在微弱信號檢測[1]、故障診斷[2,3]和化學反應速度的控制[4]等方面得到了廣泛的應用。

    噪聲在許多系統(tǒng)中往往以耦合的形式出現(xiàn),包括色耦合噪聲對量子態(tài)躍遷[5]、耦合神經(jīng)網(wǎng)絡[6]、混沌振子同步[7,8]等。Gora[9]用線性變換方法把相關加性噪聲和乘性噪聲變成不相關噪聲,Jia[10]等人研究了相關高斯白噪聲和高斯色噪聲作用于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計特性,曹力[11]等人研究了相關乘性白噪聲和周期調制加性噪聲驅動線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

    在許多物理系統(tǒng)中,噪聲與信號必須以相乘的方式作用于系統(tǒng),即周期信號調制噪聲[12-17],如激光器中泵噪聲受周期信號調制[12]、單自由體受突加白噪聲激勵[13]等。Dykman等人[14]研究了偏置信號調制噪聲驅動非對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象,研究結果表明偏置信號調制噪聲能更好描述和揭示這類系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象;Wang等人[15]研究了單模激光系統(tǒng)受偏置信號調制噪聲作用下的隨機共振現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象與噪聲的相關時間和調制信號的頻率有關。本文研究偏置相關信號調制噪聲和白噪聲作用下線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

    1 系統(tǒng)模型及其輸出信噪比

    考慮信號調制噪聲和加性噪聲作用下的線性系統(tǒng)[9]:

    其中a為系統(tǒng)衰減常數(shù),α為信號A1cos(Ω1t)的偏置,Γ1(t)為乘性噪聲和信號調制噪聲。假設噪聲Γ1(t)和Γ2(t)為均值為零、相關函數(shù)滿足下式的高斯白噪聲:

    其中,D和P分別為噪聲Γ1(t)和Γ2(t)的強度,λ為兩個噪聲的耦合強度。應用Cholesky分解[18]把兩個相關噪聲分解成兩個獨立噪聲,則:

    其中ξ(t)和η(t)為兩個均值為零、不相關的高斯白噪聲,其統(tǒng)計特性滿足:

    根據(jù)Cholesky方法,將耦合的兩個噪聲分解成兩個相互獨立的噪聲,其中的耦合效應轉移到了分解后的第二個噪聲η(t)中,由式(6)可見,η(t)的噪聲強度與相關噪聲間的耦合強度λ有關。這種性質對應求解相關噪聲的隨機微分方程非常有利。根據(jù)式(3),系統(tǒng)(1)可以改寫成:

    由線性系統(tǒng)理論,式(8)的形式解為:

    其穩(wěn)態(tài)相關函數(shù)為:

    當a>5D/2時,式(10)的相關函數(shù)存在,其值為:

    其中:

    [19]的方法計算相關函數(shù),得:

    對式(11)兩邊做傅里葉變換,可以得到單邊功率譜。系統(tǒng)輸出的信噪比定義為在頻率Ω1和Ω2處的信號功率譜強度與背景噪聲在該信號頻率處的比值,其表達式分別為:

    2 討論

    圖1為噪聲相關強度λ取不同值時,snr1隨信號調制信號偏置α變化的關系曲線,從圖中可以看出,snr1隨噪聲相關強度增加而單調增加,當其超過一定值后便單調下降。因此,存在一個最優(yōu)相關強度λ使得系統(tǒng)輸出的信噪比到達最大值,這個結果與文獻[10]得到的結果類似。另外,系統(tǒng)輸出信噪比snr1是調制信號偏置α的非單調函數(shù),對于給定參數(shù)α,從圖1中可知當α≤0時,snr1單調增加;當α>0時,snr1單調減小。這種現(xiàn)象可以從基本的放大電路理論來解釋:當偏置太小,放大器的電流也小,則放大器的輸出特性就不理想。另一方面,如果偏置太大,放大器處于飽和狀態(tài),同樣其輸出特性變壞。從圖1中,通過snr1與偏置α與相關強度λ的關系曲線,可以觀察到廣義的隨機共振現(xiàn)象。該結果說明,我們可以通過調節(jié)相關噪聲間的耦合強度或調節(jié)信號的偏置來提高輸出有用信號的幅度,從而提高輸出信噪比。

    圖1 偏置信號調制噪聲與白噪聲相關強度λ取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨信號偏置 α 的關系曲線 a=1,A1=0.1,A2=0.1,D=0.1,P=0.1,Ω1=0.1,Ω2=0.1Fig.1 snr1as a function of the signal bias a=1,A1=0.1,A2=0.1,D=0.1,P=0.1,Ω1=0.1,Ω2=0.1 for different values of the correlation strength λ of the signal-modulated noise and the additive noise

    圖2 調制信號頻率Ω1取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨系統(tǒng)衰減系數(shù)α變化的關系曲線,A1=0.1,A2=0.1,α =0.1,λ =0.1,D=0.2,P=0.1,Ω1=0.1,Ω2=0.1Fig.2 snr1as a function of the system parameter αfor A1=0.1,A2=0.1,α =0.1,λ =0.1,D=0.2,P=0.1,Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

    圖3 調制信號頻率取不同值Ω1取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨信號調制噪聲強度a=2,A1=0.1,A2=0.1,α =0.1,λ =0.2,P=0.1,Ω2=0.1Fig.3 snr1as a function of the signal-modulated noise intensity D for a=2,A1=0.1,A2=0.1,α =0.1,λ =0.2,P=0.1,Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

    圖2為頻率Ω1取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比與系統(tǒng)衰減常數(shù)a的關系曲線,從圖2可以看出,隨a的增加snr1非單調變化。一般而言,當沒有外加激勵(隨機力和決定力)時系統(tǒng)輸出信噪比隨a的增加而呈指數(shù)衰減,但是由于有外部隨機力的出現(xiàn),特別是乘性噪聲Γ1(t)的引入,使系統(tǒng)的等效衰減參數(shù)與噪聲有關。由于乘性噪聲、系統(tǒng)、信號的協(xié)同作用,使得在噪聲的作用下,系統(tǒng)的輸出信噪比在適當?shù)南到y(tǒng)衰減常數(shù)下不但不會減小,反而可以得到提高,即出現(xiàn)對系統(tǒng)參數(shù)的廣義隨機共振現(xiàn)象。另外,從圖2中可知,信噪比snr1隨Ω1的增加而降低。故較小的輸入信號頻率,有利于輸出信噪比的增強。

    在我們討論的線性模型中,噪聲項Γ1(t)是乘性噪聲和信號調制噪聲,與參考文獻[10]所提出的模型不同。圖3為調制信號頻率Ω1取不同值時,snr1隨調制噪聲強度D的關系曲線,從曲線上可以看出,隨噪聲強度D的增加,snr1出現(xiàn)一個最大值,然后單調減小,即傳統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

    乘性噪聲往往用來描述外部參數(shù)或邊界條件波動,加性噪聲起源于系統(tǒng)其它自由度的快速動力學過程,也可以用來描述熱噪聲。加性噪聲對線性系統(tǒng)輸出信噪比的分析如圖4和圖5所示。圖4為調制信號幅度A1取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度P的關系曲線,從圖中可以看出,snr1隨加性噪聲強度P的變化而非單調變化。圖5為調制信號頻率Ω1取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度P的關系曲線,同樣,snr1與P成非單調關系。圖4與圖5的結果是參考文獻[10]沒有的新結果。

    圖4 調制信號幅度取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比SNR1隨加性噪聲強度變化的關系曲線,a=2,A2=0.1,α =-0.25,λ =0.9,α =2,D=0.2,Ω1=0.1,Ω2=0.1Fig.4 SNR1 as a function of the additive noise strength P for a=2,A2=0.1,α =-0.25,λ =0.9,α =2,D=0.2,Ω1=0.1,Ω2=0.1 for different values of the signal amplitude A1

    圖5 調制信號頻率取不同值時,系統(tǒng)輸出信噪比snr1隨加性噪聲強度變化的關系曲線a=2,A1=0.1,A2=0.1,α =0.25,λ =0.9,D=0.2,Ω2=0.1Fig.5 snr1as a function of the additive noise strength P for a=2,A1=0.1,A2=0.1,α =0.25,λ =0.9,D=0.2,Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

    3 結論

    通過線性系統(tǒng)理論,我們得到了相關調制噪聲和白噪聲作用下線性系統(tǒng)的信噪比精確表達式。通過在線性系統(tǒng)中引入乘性噪聲、信號調制噪聲,系統(tǒng)的輸出信噪比表現(xiàn)出非單調行為。這是由于乘性噪聲的引入,使系統(tǒng)參數(shù)比如衰減常數(shù)受到了噪聲的作用,在一定條件下,線性系統(tǒng)、噪聲、輸入信號三者表現(xiàn)出了協(xié)同效應,出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象,噪聲的一部分能力轉移到了輸出有用信號中,從而可以提高輸出信噪比。研究表明系統(tǒng)輸出信噪比是系統(tǒng)參數(shù)、信號調制噪聲和白噪聲強度的非單調函數(shù),通過系統(tǒng)輸出信噪比可知,系統(tǒng)出現(xiàn)了傳統(tǒng)的隨機共振和廣義的隨機共振。本文的研究結果對于傳統(tǒng)的噪聲作用下的線性系統(tǒng)理論、線性電路的研究有一定的理論意義。

    參考文獻

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