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    地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析中的人工邊界轉(zhuǎn)換方法研究

    2011-02-12 11:39:56趙馮兵
    振動(dòng)與沖擊 2011年11期
    關(guān)鍵詞:粘彈性應(yīng)力場靜力

    高 峰,趙馮兵

    (重慶交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,重慶 400074)

    人工邊界從廣義上可分為靜力人工邊界和動(dòng)力人工邊界。靜力人工邊界由來已久,通常有固定邊界、滾軸邊界等。動(dòng)力人工邊界經(jīng)過幾十年的發(fā)展,已形成全局人工邊界和局部人工邊界兩大類別,并應(yīng)用于各自適應(yīng)的工程計(jì)算中[1]。此外,王后裕、陳上明等[2]將透射邊界應(yīng)用于考慮結(jié)構(gòu)與圍巖動(dòng)力相互作用的地下離壁式框架結(jié)構(gòu)地震分析模型,陳萬祥、郭志昆等[3]將粘彈性支承應(yīng)用于低速?zèng)_擊下的邊界梁反應(yīng),均取得了較好的效果。

    動(dòng)力人工邊界發(fā)展到現(xiàn)在已有透射邊界、粘性邊界、粘彈性邊界等幾種類型。Deeks[4]提出粘彈性人工邊界。劉晶波等人[5,6]發(fā)展了二維的粘彈性人工邊界,以后將其發(fā)展為三維時(shí)域粘彈性人工邊界。盧華喜等人[7]考慮土的動(dòng)力非線性性質(zhì),基于土體等效線性模型中的動(dòng)模量變化模式,推導(dǎo)了適用于土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的粘彈性人工邊界。劉晶波等人[8,9]將二維粘彈性邊界發(fā)展成一致粘彈性人工邊界及其對應(yīng)的粘彈性邊界單元,后來又推導(dǎo)了三維一致粘彈性人工邊界及等效粘彈性邊界單元。

    地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中一般需要考慮初始應(yīng)力場,可稱之為靜-動(dòng)力分析問題,其一般算法為先對模型進(jìn)行靜力分析,求出靜應(yīng)力場,然后以此為初始條件進(jìn)行動(dòng)力分析。目前對線彈性小變形范圍內(nèi)的靜-動(dòng)力分析問題,普遍做法是采用靜力人工邊界和動(dòng)力人工邊界分別對靜力和動(dòng)力問題進(jìn)行計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加得到完整的結(jié)果[1]。

    對于涉及非線性或大變形問題的靜-動(dòng)力分析,靜力分析轉(zhuǎn)換到動(dòng)力分析時(shí)人工邊界常用處理方法主要有以下幾種:① 靜力分析中采用滾軸邊界或固定邊界,動(dòng)力分析采用粘彈性邊界、透射邊界、粘性邊界等人工邊界;② 靜力分析和動(dòng)力分析都采用靜-動(dòng)力統(tǒng)一邊界,如粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界;③ 靜力分析和動(dòng)力分析都采用滾軸邊界或固定邊界。

    對第③種方法,由于固定邊界使波動(dòng)全部反射,已有許多文獻(xiàn)證明其具有放大振動(dòng)效應(yīng)的作用,目前已經(jīng)使用得不多。劉晶波等人基于粘彈性動(dòng)力人工邊界和半無限空間中靜力問題的基本解,建立了對動(dòng)力問題和靜力問題均適用的三維粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界,從而上述第②種方法得以解決[1]。

    然而,在使用人工邊界對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí),還存在一些問題。如第(1)種方法,由于對靜-動(dòng)力分析中的人工邊界轉(zhuǎn)換原理認(rèn)識(shí)不清,將使計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重偏離預(yù)期值,失去了施加動(dòng)力人工邊界的必要性。在第②種方法中,將粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)的靜力分析時(shí),其計(jì)算結(jié)果誤差較大。本文將就此兩個(gè)問題進(jìn)行論證和分析,并闡述合理的地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析人工邊界轉(zhuǎn)換方法。

    1 靜力和動(dòng)力有限元分析原理

    1.1 靜力分析原理

    地鐵等地下工程中初始應(yīng)力場的確定須先計(jì)算未開挖狀態(tài)下圍巖的自重應(yīng)力場,進(jìn)而根據(jù)施工步驟,采用釋放荷載法,計(jì)算出襯砌結(jié)構(gòu)和圍巖的靜應(yīng)力場[10]。許多地下結(jié)構(gòu)的自重應(yīng)力場模型可以假設(shè)為半無限空間體,根據(jù)經(jīng)典圍巖壓力理論和彈性力學(xué)理論,半無限空間體中距地表面任一深度h處的應(yīng)力狀態(tài)可定義為[11,12]:

    式中,σV為豎向應(yīng)力,γ為圍巖重度,σH為橫向應(yīng)力,λ為側(cè)壓力系數(shù)。對淺層圍巖,可假設(shè)其為各向同性介質(zhì),側(cè)壓力系數(shù)可表示如下[11]:

    對有限元計(jì)算中所取的有限區(qū)域,可以據(jù)此確定有限域邊界條件。

    1.2 靜力分析邊界條件

    根據(jù)上述靜力分析方法,在靜、動(dòng)力共同作用問題的計(jì)算中,在進(jìn)行動(dòng)力分析之前須先確定地下結(jié)構(gòu)模型的靜應(yīng)力場。地下結(jié)構(gòu)開挖前可將大地假設(shè)為半無限空間體,其在重力作用下的靜力計(jì)算,根據(jù)對稱性,模型中任一處的水平位移uH=0。因此,計(jì)算該應(yīng)力場時(shí),有限區(qū)域模型兩側(cè)可用水平約束即法向約束,底部可用全約束或僅約束豎直方向,頂面即地面應(yīng)為自由邊界。

    1.3 動(dòng)力分析原理

    在動(dòng)力荷載作用下,有限元體系在t+Δt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)平衡方程為:

    式中α、β為常數(shù),可按兩種不同的振動(dòng)頻率下測得的阻尼比ξ加以確定。

    1.4 粘彈性人工邊界

    粘彈性人工邊界從用途上可分為動(dòng)力人工邊界和靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界;從具體實(shí)現(xiàn)方法上可分為彈簧-阻尼器邊界單元和一致粘彈性邊界單元。

    實(shí)際應(yīng)用中模型邊界單元的物理力學(xué)參數(shù)由其相鄰的圍巖介質(zhì)材料決定,具體計(jì)算公式參考相關(guān)文獻(xiàn)[1,5-9]。結(jié)合有限元法具體實(shí)現(xiàn)時(shí),此處采用一致邊界,即在人工邊界處設(shè)置一層與主計(jì)算區(qū)域單元有著相同形函數(shù)的單元,其等效剪切模量、等效彈性模量和等效阻尼系數(shù)表達(dá)形式如下:

    其中等效阻尼系數(shù)取的是法向和切向的平均值。式中h為等效邊界單元厚度,為等效泊松比,E、G、μ和ρ分別為介質(zhì)彈性模量、剪切模量、泊松比和質(zhì)量密度。R為波源至人工邊界點(diǎn)的距離;cs和cp分別為S波和P波波速;αT與αN分別為切向與法向粘彈性人工邊界參數(shù),具體取值情況見表1。等效泊松比可按如下取值

    表1 粘彈性動(dòng)力人工邊界中參數(shù)α的取值Tab.1 The values of α in viscous-spring artificial boundary for dynamic analysis

    表2 粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界中參數(shù)α的取值Tab.2 The values of α in unified viscous-spring artificial boundary for static and dynamic analysis

    靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界是在上述動(dòng)力人工邊界的基礎(chǔ)上對人工邊界參數(shù)α進(jìn)行調(diào)整,其具體取值見表2。其中參數(shù)α*具體計(jì)算公式:

    式中μ為圍巖泊松比,R為荷載作用點(diǎn)到人工邊界點(diǎn)的距離,d為位置坐標(biāo)。對于底面人工邊界,式中d取荷載作用點(diǎn)至邊界單元的水平距離;對于側(cè)面人工邊界,式中d取荷載作用點(diǎn)至邊界單元的垂直距離。

    2 兩種地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力人工邊界轉(zhuǎn)換方法邊界轉(zhuǎn)換原理分析

    動(dòng)力計(jì)算的初始時(shí)刻,未施加動(dòng)力荷載前,整個(gè)模型各點(diǎn)加速度均為零。地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析中,要求動(dòng)力分析以靜力分析結(jié)果為初始條件,則模型在動(dòng)力計(jì)算初始時(shí)刻處于靜力平衡狀態(tài)。因此人工邊界的轉(zhuǎn)換可從靜力學(xué)方面討論。

    在引言中已經(jīng)介紹了地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析中人工邊界的常用三種處理方法,下面對第①和第②種方法的人工邊界轉(zhuǎn)換原理進(jìn)行分析。

    第①種人工邊界轉(zhuǎn)換方法(方法①):

    該方法靜力分析中采用滾軸邊界或固定邊界(可稱之為傳統(tǒng)靜力邊界條件),動(dòng)力分析中采用粘彈性動(dòng)力人工邊界。一般計(jì)算過程如表3所示,具體為:先采用靜力計(jì)算方法按釋放荷載法計(jì)算地下結(jié)構(gòu)的開挖過程得到初始靜應(yīng)力場等結(jié)果;然后以此靜力計(jì)算結(jié)果為初始條件進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算。

    表3 方法①靜動(dòng)力邊界條件和荷載條件表Tab.3 Boundaries and loads of the static analysis and the dynamic analysis in method①

    下面討論動(dòng)力計(jì)算初始條件中所應(yīng)輸入的靜力計(jì)算結(jié)果。

    靜力計(jì)算中總體剛度平衡方程可表為:

    式中[K]為剛度矩陣;{F}為等效節(jié)點(diǎn)力向量;{FA}為靜力計(jì)算中所施加的全部外荷載引起的等效節(jié)點(diǎn)力;{FR}為全部約束反力向量,須經(jīng)此方程引進(jìn)邊界條件求出{u}后,才能求得。

    靜力計(jì)算中可同時(shí)算得模型靜應(yīng)力場:

    式中[D]、[B]和{u}e分別為彈性矩陣、幾何矩陣和單元節(jié)點(diǎn)位移向量。

    從此應(yīng)力場的求解過程可以看出,當(dāng)以此應(yīng)力場為初始條件進(jìn)行新的計(jì)算時(shí),對模型施加引起此應(yīng)力場的荷載和約束是模型保持平衡的必要條件。

    由于邊界節(jié)點(diǎn)在約束或指定位移方向不會(huì)對邊界以內(nèi)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生等效節(jié)點(diǎn)力,(11)式可以表示成:

    其中:c表示邊界以內(nèi)自由度,b表示邊界自由度,A表示與施加的外荷載相關(guān),R表示與反力相關(guān)。該式經(jīng)引入邊界條件可得縮減的剛度平衡方程:

    由式(14)和式(15)可以解得約束反力引起的節(jié)點(diǎn)荷載向量即約束反力向量為:

    去掉約束條件后,將式(16)所示的約束反力代入式(14),仍可解得{ub}為零,且{uc}的解也不變。

    這說明對模型施加約束條件與在邊界施加相應(yīng)的約束反力在靜力計(jì)算中是等效的,這使得靜-動(dòng)力分析中以靜力計(jì)算結(jié)果為初始條件時(shí),可以將約束條件去掉施加以相應(yīng)的約束反力,而不改變模型的靜力平衡狀態(tài)。

    綜上可得,在地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析中,以靜力分析結(jié)果中的應(yīng)力場為初始條件進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí),為保證模型在動(dòng)力計(jì)算初始時(shí)刻為靜力平衡狀態(tài),可在輸入靜應(yīng)力場的同時(shí)輸入引起此應(yīng)力場的荷載和約束;轉(zhuǎn)換邊界時(shí),須去掉約束條件,只要同時(shí)施加以相應(yīng)的約束反力即可。

    方法①在應(yīng)用中經(jīng)常因?yàn)槲磳?dòng)力計(jì)算初始條件完整輸入模型而導(dǎo)致不合理的結(jié)果,未輸入靜力計(jì)算約束反力就是典型的一種。圖1就是在這種計(jì)算條件下對某地下結(jié)構(gòu)彈性模型在兩種荷載條件下進(jìn)行靜-動(dòng)力分析所得的模型中某一點(diǎn)的動(dòng)力反應(yīng)。圖中振動(dòng)荷載是指如圖8所示的列車振動(dòng)荷載,零動(dòng)力荷載是指動(dòng)力分析中所施加的振動(dòng)荷載(或動(dòng)力荷載)為零。

    從圖1(a)和圖1(b)可以看出,該點(diǎn)的位移和應(yīng)力均呈現(xiàn)首先大幅波動(dòng),然后逐漸趨于穩(wěn)定的情形。從圖1(c)和圖1(d)可以看出,該點(diǎn)的位移和應(yīng)力在沒有任何動(dòng)力荷載情況下仍出現(xiàn)類似波動(dòng)情形。

    圖1 某地下結(jié)構(gòu)模型動(dòng)力響應(yīng)Fig.1 Dynamic response in a underground structure modal

    模型在任何動(dòng)荷載情況下仍產(chǎn)生較大位移和應(yīng)力,說明模型在零時(shí)刻就受到一個(gè)或一組不平衡力。由此可知模型靜-動(dòng)力轉(zhuǎn)換后未施加靜力分析約束反力將導(dǎo)致不合理的結(jié)果,亦可得此方法中完整施加動(dòng)力計(jì)算初始條件的必要性。

    表4 方法②靜動(dòng)力邊界條件和荷載條件表Tab.4 Boundaries and loads of the static analysis and the dynamic analysis in method②

    第②種人工邊界轉(zhuǎn)換方法(方法②):

    該方法在靜力計(jì)算與動(dòng)力計(jì)算中均采用粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界。計(jì)算過程與方法①類似,仍先采用靜力計(jì)算方法按釋放荷載法計(jì)算隧道的開挖過程得到隧道靜應(yīng)力場;然后以此靜應(yīng)力場為初始條件進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算。靜力分析和動(dòng)力分析中的荷載和邊界條件如表4所示。

    由上述對方法①的分析可知,方法②在計(jì)算過程中邊界條件并未改變,只須按方法①中輸入初始應(yīng)力場的方法輸入初始條件即可。

    由此可知,方法②的計(jì)算過程在理論是合理的,但其人工邊界的在具體工程實(shí)例中的靜力計(jì)算精度有待檢驗(yàn)。

    3 粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的靜力分析精度

    上述第②種方法從靜力分析轉(zhuǎn)換到動(dòng)力分析時(shí)靜應(yīng)力場和荷載等的過渡是合理的,下面檢驗(yàn)其相應(yīng)人工邊界的靜力計(jì)算精度。

    由于半無限空間體具有經(jīng)典彈性力學(xué)解,即使在巖土力學(xué)中也有理論解,前面已有論述;因此,對半無限空間體的有限元模型進(jìn)行靜力分析,將結(jié)果與理論解進(jìn)行對比,可以檢驗(yàn)其計(jì)算方法的有效性。該模型的理論解可以通過式(1)、式(2)和式(3)算得。

    表5 三種工況靜力計(jì)算條件表Tab.5 Static calculation conditions of three conditions

    圖2 半無限空間體理論解模型(工況一)Fig.2 Half space modal of the theoretical solution(Condition 1)

    圖3 傳統(tǒng)靜力邊界模型(工況二)Fig.3 Static modal of the traditional boundaries(Condition 2)

    圖4 粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界模型(工況三)Fig.4 Static modal of the unified viscous-spring boundary for static and dynamic analysis(Condition 3)

    為了比較,進(jìn)行了三種工況的計(jì)算,具體的計(jì)算步驟和計(jì)算條件見表 5。其中工況一為理論解,圍巖性質(zhì)同表6,其計(jì)算模型分別如圖2、圖3和圖4所示。工況三人工邊界彈性模量的計(jì)算采用了動(dòng)力荷載施加點(diǎn)處于模型幾何中心點(diǎn)的假設(shè)。

    在模型對稱軸上設(shè)置觀測點(diǎn),由地面向下每10m設(shè)置一個(gè)觀測點(diǎn),并將三種工況計(jì)算結(jié)果繪于同一圖中進(jìn)行比較,比較結(jié)果見圖5和圖6。

    從圖中可以看出,該有限元模型在施加粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界時(shí),其靜力計(jì)算結(jié)果與理論解相比有較大誤差,特別是橫向應(yīng)力結(jié)果誤差較大;而其施加前面所述傳統(tǒng)靜力邊界條件時(shí),豎向應(yīng)力和橫向應(yīng)力結(jié)果都幾乎與理論解重合。

    這說明粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界應(yīng)用于受重力作用的半無限空間體的有限元模型靜力計(jì)算時(shí),其誤差偏大。而傳統(tǒng)的靜力邊界即滾軸邊界或固定邊界應(yīng)用于該有限元模型時(shí)精度較好。

    4 推薦的地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析人工邊界轉(zhuǎn)換方法

    方法(2)在靜-動(dòng)力分析時(shí)采取了統(tǒng)一的人工邊界,應(yīng)用比較方便,但其相應(yīng)人工邊界靜力分析誤差偏大,從而造成動(dòng)力分析結(jié)果不合理。

    由上述對方法(1)的分析得出,較為合理的地下結(jié)構(gòu)的靜-動(dòng)力分析可采用如下計(jì)算步驟:

    (1)采用靜力約束條件對模型進(jìn)行靜力分析,計(jì)算結(jié)果應(yīng)包括應(yīng)力場和約束反力。

    (2)將靜力模型中的約束條件去掉,施加粘彈性人工邊界。

    (3)在原靜力約束被去掉的地方施加約束反力,對模型施加靜力場和靜力荷載(如重力加速度或其他恒力)。

    (4)對模型施加動(dòng)力荷載,進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算。

    模型在動(dòng)力計(jì)算初始時(shí)刻處于靜力平衡狀態(tài),這是檢驗(yàn)邊界轉(zhuǎn)換合理與否的標(biāo)準(zhǔn)。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)可在動(dòng)力計(jì)算中施加零動(dòng)力荷載,并查看模型應(yīng)力位移等的時(shí)程反應(yīng)。

    表6 圍巖物理力學(xué)參數(shù)表Tab.6 physical and mechanical parameters of the rock

    某雙線鐵路隧道,其凈空跨度 10.2m,為三心圓斷面;襯砌初期支護(hù)15cm,二次襯砌30cm;隧道埋深 45m,Ⅳ類圍巖。采用ANSYS大型有限元分析軟件對該隧道進(jìn)行建模和計(jì)算,模型區(qū)域豎向取100m,橫向取100m。隧道及圍巖物理力學(xué)參數(shù)見表6。

    圖7 推薦的方法動(dòng)力分析模型Fig.7 Modal of tunnel for the dynamic analysis in the recommended method

    對該隧道進(jìn)行列車荷載作用下的振動(dòng)分析。該算例中的動(dòng)力計(jì)算模型可表示為圖7所示模型,其中FR為靜力分析的約束反力,P(t)為動(dòng)力荷載。

    圖8 振動(dòng)荷載時(shí)程曲線Fig.8 Time history curve of the vibration load

    計(jì)算分為在動(dòng)力分析中施加振動(dòng)荷載(圖8所示)和零動(dòng)力荷載兩種情況。

    圖9(a)和圖9(b)是施加振動(dòng)荷載情況下拱頂?shù)呢Q向位移和第一主應(yīng)力時(shí)程曲線。圖9(c)和圖9(d)是施加零動(dòng)力荷載情況下拱頂?shù)呢Q向位移和第一主應(yīng)力時(shí)程曲線圖。

    從圖9(a)和9(b)可以看到,拱頂?shù)呢Q向位移和第一主應(yīng)力均呈現(xiàn)初期波動(dòng)較大,然后逐漸演變?yōu)榉€(wěn)態(tài)振動(dòng);豎向位移最大振幅約0.045mm,第一主應(yīng)力最大振幅約140Pa。而圖9(c)和圖9(d)顯示在零動(dòng)力荷載作用下,隧道拱頂發(fā)生極小的振動(dòng),豎向位移最大振幅約1.4×10-6mm,第一主應(yīng)力無振動(dòng),此可視為數(shù)值計(jì)算誤差,可以忽略不計(jì)。據(jù)此可以推斷動(dòng)力分析初始時(shí)刻模型處于很好的平衡狀態(tài),從而說明其人工邊界轉(zhuǎn)換更為合理。

    圖9 拱頂動(dòng)力響應(yīng)Fig.9 Calculated dynamic response at the vault crown

    5 結(jié)論

    本文通過將粘彈性人工邊界應(yīng)用于同時(shí)考慮靜力效應(yīng)和動(dòng)力效應(yīng)的地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析,推薦了一種較為合理的地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析的人工邊界轉(zhuǎn)換方法,并得到以下結(jié)論:

    (1)靜-動(dòng)力分析人工邊界轉(zhuǎn)換時(shí)須保證模型動(dòng)力分析在零時(shí)刻為靜力平衡體;靜-動(dòng)力人工邊界轉(zhuǎn)換方法準(zhǔn)確性,可以通過在動(dòng)力分析中施加零動(dòng)力荷載來進(jìn)行檢驗(yàn)。

    (2)在分析過程中均采用粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界時(shí),該靜-動(dòng)力分析從靜力狀態(tài)到動(dòng)力分析的過渡是合理的。但該邊界在半無限體有限元模型的靜力計(jì)算中誤差較大,因此,該人工邊界在地下結(jié)構(gòu)靜-動(dòng)力分析中應(yīng)謹(jǐn)慎使用。

    [1]劉晶波,李 彬.三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界[J].中國科學(xué)(E輯),2005,35(9):966-980

    [2]王后裕,陳上明,言志信,等.考慮動(dòng)力相互作用的地下平面鋼框架地震反應(yīng)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2005,24(1):99-103.

    [3]陳萬祥,郭志昆.粘彈性邊界梁在低速?zèng)_擊下的動(dòng)力響應(yīng)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2008,27(12):69-72,78,108.

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