一個完全對稱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)Schur 凸性的簡單證明

梁賽男 ,孫明保 ,陳南博

(1.湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006;2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

0 引言

對x=(x1,x2,…,xn)?,完全對稱函數(shù)Cn(x,r)定義如下:

其中Cn(x,0)=1,r?,i1,i2,…,in是非負整數(shù).完全對稱函數(shù)是一類重要的對稱函數(shù),許多作者對此進行研究,并獲得了一些有趣的結(jié)果[1～8].Guan[1]討論了Cn(x,r)的Schur 凸性,建立了下面的命題1.

命題1[1]Cn(x,r)在上遞增且Schur 凸.

Chu 等[2]討論了Cn(x,r)的Schur 乘性凸性和Schur 調(diào)和凸性,證明了下面的命題2.

命題2[2]Cn(x,r)在上Schur 乘性凸和Schur 調(diào)和凸.

而Shi 等[3]進一步討論了Cn(x,r)在上的Schur 凸性,證得如下命題3.

命題3[3]若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Cn(x,r)在上遞減Schur 凸(遞增Schur 凹).

關(guān)于完全對稱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)Schur 凸性的研究可見文[3,9～13].對x=(x1,x2,…,xn)?[0,1)n∪(1,+∞)n,r?,孫明保等[13]研究了Cn(x,r)的如下復(fù)合函數(shù)

的Schur 凸性、Schur 乘性凸性和Schur 調(diào)和凸性(其中i1,i2,…,in是非負整數(shù)),利用Schur 凸函數(shù)、Schur乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的判定定理,分別證得了下面的定理1～3.

定理1[13]對于x?[0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

(1)函數(shù)Fn(x,r)在[0,1)n上Schur 凸;

(2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在 (1,+∞)n上Schur 凸(凹).

定理2[13]對于x?(0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

(1)函數(shù)Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 乘性凸;

(2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 乘性凸(凹).

定理3[13]對于x?(0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

(1)函數(shù)Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 調(diào)和凸;

(2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 調(diào)和凸(凹).

本文分別利用Schur 凸函數(shù)、Schur 乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),給出了上述3 個定理的簡單證明.

1 定義及引理

先引入如下定義和引理.

定義1[14,15]設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)?,將x,y的分量遞減重排得x[1]≥x[2]≥…≥x[n],y[1]≥y[2]≥…≥y[n].若x和y滿足:

則稱x被y所控制,記作x?y.

定義2[14,15]設(shè) ??,f:?→,若對任意的x,y?Ω,當(dāng)x?y時,有f(x)≤f(y),則稱f是Ω 上的Schur 凸函數(shù).若 -f是Ω 上的Schur 凸函數(shù),則稱f是Ω 上的Schur 凹函數(shù).

定義3[16,17]設(shè)E?,f:E→,若對任意的x,y?E,當(dāng)lnx?lny時,有f(x)≤f(y),則稱f是E上的Schur 乘性凸函數(shù).若 -f是E上的Schur 乘性凸函數(shù),則稱f是E上的Schur 乘性凹函數(shù).

定義4[18,19]設(shè)E?,f:E→,若對任意的x,y?E,當(dāng)時,有f(x)≤f(y),則稱f是E上的Schur 調(diào)和凸函數(shù).若 -f是E上的Schur 調(diào)和凸函數(shù),稱f是E上的Schur 調(diào)和凹函數(shù).

由定義3,下述命題顯然成立.

由定義4,下述命題顯然成立.

關(guān)于復(fù)合函數(shù)的Schur 凸性,有如下結(jié)論.

引理1[14]設(shè)區(qū)間 [a,b]?,φ:,f:[a,b]→,ψ(x1,x2,…,xn)=φ(f(x1),f(x2),…,f(xn)):[a,b]n→,

(1)若φ增且Schur 凸,f凸,則ψ是Schur 凸;

(2)若φ增且Schur 凹,f凹,則ψ是Schur 凹;

(3)若φ減且Schur 凸,f凹,則ψ是Schur 凸.

2 定理的證明

當(dāng)t≠1 時,求導(dǎo)得

由式(2)知,g(t) 在(0,1)上遞增且凸,在(1,+∞) 上遞增且凹.

(1)當(dāng)t?[0,1)時,g(t)?.由命題1 知,Cn(x,r)在上遞增且Schur 凸,而g(t)在(0,1)上遞增且凸,應(yīng)用引理1(1)到式(1)知Fn(x,r)在[0,1)n上Schur 凸.

(2)當(dāng)t?(1,+∞)時,g(t)?.由命題3 知,若r為偶數(shù),則Cn(x,r)在上遞減且Schur 凸,而g(t)在(1,+∞)上遞增且凹,應(yīng)用引理1(3)到式(1)知Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 凸.

由命題3 知,若r為奇數(shù),則Cn(x,r)在上遞增且Schur 凹,而g(t)在(1,+∞)上遞增且凹,應(yīng)用引理1(2)到式(1)知Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 凹.

定理2的證明考慮

定理3 的證明考慮

由式(6)知,k(t) 在(1,+∞)上遞減且凸,在(0,1)上遞減且凹.

3 結(jié)束語

文[13]是利用Schur 凸函數(shù)、Schur 乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的判定定理,分別證得了定理1～3.與文[13]的證明過程進行對比可知,本文利用Schur 凸函數(shù)的性質(zhì),即命題4、5 和引理1,給出了定理1～3的相對簡單的證明.