秦九韶“歷家雖用，用而不知”解

朱一文

(中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

0 前言

宋淳祐七年(1247年)，秦九韶在他的傳世之作《數(shù)書九章》①《數(shù)書九章》原名《數(shù)術(shù)》或《數(shù)術(shù)大略》，《永樂大典》、《文淵閣書目》、《四庫全書》作《數(shù)學(xué)九章》，《宜稼堂叢書》作《數(shù)書九章》，為今通用名。本文凡引《數(shù)書九章》均以趙鈔本為底本，并與《宜稼堂叢書》本、《四庫全書》本參互校讎。中提出的大衍總數(shù)術(shù)是一項(xiàng)世界級(jí)的數(shù)學(xué)成就［1—4］②李倍始(U.Libbrecht)認(rèn)為秦九韶系統(tǒng)解決了一次同余方程式組解法，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大師歐拉(Euler，1707—1783)、高斯(Gauss，1777—1855)才達(dá)到或超過他的水平。見參考文獻(xiàn)［1］。。遺憾的是，因?yàn)槭妨系娜笔?，我們無法確切知道秦九韶之前大衍總數(shù)術(shù)的發(fā)展情況。以現(xiàn)今的數(shù)學(xué)眼光看，《孫子筭經(jīng)》之“物不知數(shù)”題是有文獻(xiàn)記載的最早的一次同余方程式組問題。元代之前中國歷法中上元積年的推算，也相當(dāng)于求解一次同余方程式組。因此，錢寶琮認(rèn)為:“《孫子算經(jīng)》里‘物不知數(shù)’問題解法不是作者的向壁虛造而很可能是依據(jù)當(dāng)代天文學(xué)家的上元積年算法寫出來的?！保?］李文林、袁向東進(jìn)而認(rèn)為:“我國古代關(guān)于一次同余論的研究，肇源于漢代歷算家關(guān)于上元積年的計(jì)算，是在漢代歷算家探討的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的?！保?］這些看法基本成為了學(xué)術(shù)界的共識(shí)。

然而，必須注意到的一點(diǎn)是:《孫子筭經(jīng)》“物不知數(shù)”題，缺少了求乘率的關(guān)鍵算法。這個(gè)算法即是秦九韶的大衍求一術(shù)，是大衍總數(shù)術(shù)的關(guān)鍵一步。李繼閔通過對(duì)《數(shù)書九章》“古歷會(huì)積”、“治歷演紀(jì)”題的分析，指出:對(duì)于上元積年的推算很可能用的是“演紀(jì)術(shù)”(即相當(dāng)于代入法求解一次同余方程式組)而非“大衍總數(shù)術(shù)”(即相當(dāng)于孫子剩余定理)［7］。以上事實(shí)提醒我們意識(shí)到歷史的復(fù)雜性①筆者認(rèn)為這實(shí)際上是在暗示:“物不知數(shù)”問題和“上元積年”問題在古人看來可能并不是同一類的問題，因此兩者有各自、不同之發(fā)展脈絡(luò)。盡管以現(xiàn)今數(shù)學(xué)眼光看，它們都屬于一次同余方程式組問題。。

秦九韶在《數(shù)書九章》自序中提到他曾“訪習(xí)于太史”，說明他曾向歷家學(xué)習(xí)。又云:“獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也”，又云:“歷家雖用，用而不知”(［4］，序2a—3a)。很明顯，秦九韶認(rèn)為歷家誤把“大衍法”當(dāng)作“方程”。嚴(yán)敦杰首先注意到，這里的“方程”只是“借名”，而不是《九章算術(shù)》的“方程”，他指出“大概是布算時(shí)列出等式多行，‘乘除消減’，‘約而齊之’，與《九章算術(shù)》內(nèi)解一次聯(lián)立方程組相類，故借名為‘方程’”［8］。近年來，王翼勛給出了這種“方程”的一種推測(cè)，具有試算的性質(zhì)［9］，后來他又將它改進(jìn)［10］。王榮彬、徐澤林也給出了歷家所用“方程”的一種推測(cè)［11］。這兩種方程都不是《九章筭術(shù)》的方程②王翼勛給出方程之形式為王榮彬、徐澤林給出方程之形式為按中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)或《九章筭術(shù)》之方程，其必是N×(N+1)或2×3之形式。因此上兩方程都不是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。?？傊瑢W(xué)者們普遍認(rèn)為歷家方程有“方程”之名，而無“方程”之實(shí)。

亦有學(xué)者認(rèn)為大衍求一術(shù)來源于更相減損術(shù)［12］。這種看法確能解釋大衍求一術(shù)之兩數(shù)“遞互除之”，但是卻無法解釋“所得商數(shù)隨即遞互累乘歸左行上下”(［4］，卷1，3b)。筆者認(rèn)為歷家之方程事關(guān)重大，有進(jìn)一步討論之必要。在前人研究之基礎(chǔ)上，本文認(rèn)為歷家之方程即中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)或《九章筭術(shù)》之方程，只是運(yùn)算目的不同。

1 歷家之方程

《數(shù)書九章》卷三“治歷演紀(jì)”題中的一段話是討論歷家方程之關(guān)鍵。秦九韶說:

今人相乘演積年，其術(shù)如調(diào)日法，求朔余、朔率。立斗分、歲余，求氣骨、朔骨、閏骨，及衍等數(shù)、約率、因率、蔀率，求入元?dú)q、歲閏、入閏、元率、元閏，已上皆同此術(shù)。但其所以求朔積年之術(shù)，乃以閏骨減入閏，余謂之閏贏，卻與閏縮、元閏③“卻與閏縮、元閏、朔率”，趙鈔本、《四庫全書》本、《宜稼堂叢書》本均作“卻與閏縮、朔率”。從秦九韶筭圖可見，元閏乃求元數(shù)之必須。依筭圖補(bǔ)正。、朔率，列號(hào)甲乙丙丁四位，除乘消減，謂之方程。乃求得元數(shù)，以乘元率，所得謂之朔積年，加入元?dú)q，共為演紀(jì)歲積年。所謂方程，正是大衍術(shù)今人少知。非特置筭繁多①“置筭繁多”，趙鈔本作“置筭繁名”，《四庫全書》本作“置筭繁多”，《宜稼堂叢書》本作“置算繁名”。“算”應(yīng)作“筭”，意為“筭籌”。依《四庫全書》本改正。，初無定法可傳，甚是惑悮后學(xué)，易失古人之術(shù)意?！?［4］，卷3，6b－7a)

這段話各家多有引用，仍有進(jìn)一步推敲的必要。此處秦九韶兩次用到了大衍術(shù)，也兩次對(duì)大衍術(shù)和歷家之方程進(jìn)行了比較。首先是用大衍術(shù)求等數(shù)、因率、蔀率，秦九韶說“已上皆同此術(shù)”，即他的做法和歷家一樣，此處歷家之方程基本等于大衍術(shù)。而后，為了求得元數(shù)，歷家的方法是:閏贏、閏縮、元閏、朔率“列號(hào)甲乙丙丁四位”，用方程求解;秦九韶則是用大衍術(shù)求解。顯然，此處歷家之方程和大衍術(shù)有較大的區(qū)別。歷家的方程“非特置筭繁多，初無定法可傳”，即沒有一個(gè)普遍的確定的方法。

為了作進(jìn)一步的分析，先依據(jù)《數(shù)書九章》的算草，給出秦九韶兩處大衍術(shù)的算法②秦九韶是用筭圖運(yùn)筭，而傳統(tǒng)歷算家是用筭籌運(yùn)算，兩者差別甚大。此處為了節(jié)省篇幅，在不影響討論的情況下，把秦氏之筭圖轉(zhuǎn)化成今圖。并且用“0”表零，不失秦氏之本意(秦氏筭圖用“○”表零，籌筭布筭則須用空位表零)。。首先是用斗定分(4108)與日法(16900)求等數(shù)、因率、蔀率:

由此得等數(shù)52、因率144、蔀率325③按之前算法，算草最后一步應(yīng)得。秦九韶違反之前的規(guī)律，這樣做是因?yàn)榻忸}必須用到因率和蔀率，體現(xiàn)了他對(duì)大衍術(shù)的理解和認(rèn)識(shí)。。

其次，給出用元閏(377873)與朔率(499067)求等數(shù)、因率、蔀率:

用現(xiàn)今數(shù)學(xué)語言來說，如果設(shè)x為元數(shù)，y為朔數(shù)，且有閏縮(188578)、閏贏(310489)，這是在求解:377873x－499067y=188578或377873x－499067(y+1)=－310489［9—10］。秦九韶接著用等數(shù)1約閏縮188578得188578，與因率457999相乘得86368535422，滿蔀率499067去之，得402為元數(shù)①實(shí)際上相當(dāng)于秦九韶在求解 ax－ by=c或 ax≡c(mod b)，當(dāng) a、b、c有等數(shù) d，即 a=a0 d、b=b0 d、c=c0 d 時(shí)，利用大衍術(shù)求得因率k，和蔀率b0，則 ak≡d(mod b)或 a0 k≡1(mod b0)。又有 a0 x≡c0(mod b0)，于是 x≡c0 k(mod b0)，即相當(dāng)于:以等數(shù)約閏縮與因率相乘，滿蔀率去之，不滿在限下為可用元數(shù)。。顯而易見，這里秦九韶之大衍術(shù)既非大衍總數(shù)術(shù)，也非大衍求一術(shù)。合理的名稱應(yīng)該是“大衍求等術(shù)”。這種“大衍求等術(shù)”和歷家之方程關(guān)系密切。歷家之方程“列號(hào)甲乙丙丁四位”，在秦九韶看來“非特置筭繁多”，即動(dòng)用筭籌太多;“初無定法可傳”是講歷家忽視了用元數(shù)約化的問題。

前文提到王翼勛、王榮彬、徐澤林復(fù)原之方程，并非《九章筭術(shù)》之方程。王翼勛之復(fù)原，其算法與方程相去甚遠(yuǎn)。王榮彬、徐澤林主要基于兩點(diǎn):其一，與秦氏大衍求一術(shù)相似;其二，列號(hào)甲乙丙丁四位，故列成兩行兩列。故其方程形式為實(shí)是似是而非。因?yàn)槲覀冎涝诨I筭體系下，是用空置一位來表達(dá)零的。換言之，王、徐二位之復(fù)原，若以籌筭御之，則只是列號(hào)a、b、c三位②此段之疑問由嚴(yán)格認(rèn)真的匿名審稿專家提出，在此感謝。在籌筭體系下，王、徐二位之復(fù)原，有一空位用以表示零，故只可列號(hào)三位，反而欲求列號(hào)四位而不得了。王翼勛之復(fù)原，雖列號(hào)四位，但算法及其形式與方程相去更遠(yuǎn)。。

其實(shí)，盡管我們看不到歷家之方程算法的精確史料，卻可以看到許多描述性史料。陳元靚《事林廣記》儒教類引九數(shù)釋文引方程條說:

方程。以御錯(cuò)糅正負(fù)。今作歷者用此法。謂如筭錢，逐件除下零細(xì)底，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭。如一年十二月有月大者小者，日子不齊，便將閏月來補(bǔ)湊，每月作三十日。又如日月星辰之行不同，卻要筭個(gè)行之會(huì)，都相合［13］。

“以御錯(cuò)糅正負(fù)”出自《九章筭術(shù)》劉徽注。無疑，此處談到之方程即是《九章筭術(shù)》之方程。卻又明確說“作歷者用此法”，這就是說歷家之方程等于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。北宋高承《事物紀(jì)原》卷一九章條亦說:“八方程，如筭錢，逐漸除下零細(xì)的，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭。［14］③兩處“筭”，點(diǎn)校本均作“算”，今改正?！薄端问贰ぢ蓺v志》載周琮明天歷(1065—1067年施行)說:“以方程約而齊之。今須積歲七十一萬一千七百六十一。［15］”開禧歷作者鮑澣之，批評(píng)楊忠輔統(tǒng)天歷(1199年施行):“無復(fù)強(qiáng)弱之法，盡廢方程之舊。(［15］，1945頁)”

根據(jù)以上這些描述性史料判斷，筆者認(rèn)為歷家之方程就是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之方程。不太可能同樣都是叫做方程，歷算家和數(shù)學(xué)家的意義會(huì)不一樣，更何況歷算家往往就是數(shù)學(xué)家。秦九韶認(rèn)為數(shù)學(xué)分為內(nèi)算和外算。天象歷度、太乙壬甲，皆曰內(nèi)筭?！毒耪鹿g術(shù)》所載，皆曰外筭。內(nèi)外相通，不可歧二，而唯獨(dú)內(nèi)筭之大衍術(shù)不載《九章》④原文如下:“今數(shù)術(shù)之書尚三十余家。天象、歷度謂之綴術(shù)，太乙、壬、甲謂之三式，皆曰內(nèi)筭。言其秘也?！毒耪隆匪d即周官九數(shù)，系于方圓者為叀術(shù)，皆曰外筭。對(duì)內(nèi)而言也。其用相通不可岐二。獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也?！?［4］，序，2a－2b)。。秦九韶的看法來源于跟隨太史和隱君子學(xué)習(xí)的經(jīng)歷。同時(shí)，因?yàn)椴粷M意王翼勛、王榮彬、徐澤林的復(fù)原，所以筆者提出一種新的復(fù)原，其形式與算法都和《九章筭術(shù)》方程一致(只是目的不同)，并且既可符合上述史料的描述，在算法上亦可以達(dá)到大衍求一(或求等)術(shù)的效果。這種方程布筭具有下述形式:

2×3規(guī)格布筭，其中a、b、c、d即所謂“列號(hào)甲乙丙丁四位”。其算法、意義則與《九章筭術(shù)》方程一致。現(xiàn)以此方程說明以上兩例。與秦九韶運(yùn)用筭圖不同的是，歷家用筭籌解決問題。在不影響討論的前提下，用現(xiàn)今數(shù)碼代替古代筭籌，用空位表零，不失籌筭本意。

其一，用斗定分(4108)與日法(16900)求等數(shù)、因率、蔀率:

于是等數(shù)52，因率144，蔀率325。這里歷家之方程與秦九韶大衍術(shù)基本一致。其二，用閏贏、閏縮、元閏、朔率列號(hào)甲乙丙丁，求元閏:

然后用86388535422滿蔀率499067去之，得元數(shù)402。這里歷家之方程比秦九韶大衍術(shù)麻煩得多。

上述運(yùn)算每一步都用《九章筭術(shù)》方程之直除法，只是其算法目的不同。其算理從方程角度來看則意義明了。下行更相減損之后，最下行必得等數(shù)。而左中行必得乘率。以現(xiàn)代數(shù)學(xué)證明之，即是說相當(dāng)于，經(jīng)運(yùn)算最后得相當(dāng)于即于是等數(shù)52，因率144，蔀率325。又相當(dāng)于，經(jīng)運(yùn)算最后得，便是。亦即是:

86368535422×377873－345778×499067×188578=188578。于是得等數(shù)1，用86388535422滿蔀率499067去之，得元數(shù)402。但如果等數(shù)與188578沒有公約數(shù)時(shí)，則無解。

上述方程亦能符合史料中描述性語言?！胺匠碳s而齊之”是指:方程兩“下實(shí)”更相減損即不斷相約最后得到等數(shù);“如筭錢逐件除下零細(xì)底，絕長補(bǔ)短，湊得齊整，便好筭”，則是指:方程運(yùn)算中“下實(shí)”逐漸減小，“上法”逐漸增大，如“絕長補(bǔ)短”;最后求得等數(shù)如“湊得齊整”。如果筆者推測(cè)不誤，那么由此方程不僅可見大衍術(shù)之演進(jìn)，而且可以看出秦九韶之貢獻(xiàn)。

《九章筭術(shù)》之方程術(shù)，其法用直除法。劉徽認(rèn)識(shí)到方程每一行是率，即“令每行為率”［16］，那么方程通過直除運(yùn)算便可以得到一系列的率①此即劉徽的方程新術(shù)。又，秦九韶大衍求一術(shù)的“乘率”之名，應(yīng)該由此而來。。另一方面，因?yàn)樯显e年的推算使得在漢代就有求解一個(gè)一次不定方程或一個(gè)一次同余方程的需求［6］。《九章筭術(shù)》有更相減損術(shù)，用以求兩術(shù)的最大公約數(shù)。如果將更相減損術(shù)，運(yùn)用于方程術(shù)，以求解此類問題，這便是歷家之方程。

李繼閔證明:“無論就可行性、簡便性、適應(yīng)性來講，總數(shù)術(shù)都遠(yuǎn)不如演紀(jì)術(shù)。古人用算必?fù)裆普叨鴱闹?。剩余定理是一個(gè)精致的構(gòu)造，用它來編制的數(shù)學(xué)游戲——秦王暗點(diǎn)兵也是饒有興趣的。但是，對(duì)于應(yīng)用來說，它是華而不實(shí)的?！?［7］，30頁)筆者進(jìn)而認(rèn)為，歷算家用筭籌解決歷法計(jì)算，必須考慮用筭的實(shí)用性、經(jīng)濟(jì)性。劉徽即說過筭家應(yīng)追求“雖布筭不多，然足以算多”(［16］，367頁)的做法。因此，從這個(gè)角度看，雖然演紀(jì)法在算法的優(yōu)美程度上不及大衍總數(shù)術(shù)，但在實(shí)用性上卻更勝一籌。歷算家采用動(dòng)用筭籌更少、算法更簡潔的演紀(jì)法求解上元積年是勢(shì)在必行。而其中求乘率之關(guān)鍵程序，則用方程解決②盡管歷家已經(jīng)采用了較為優(yōu)化的演紀(jì)術(shù)，然而，在運(yùn)用筭圖的秦九韶看來，仍然是“置筭繁多”。。

2 秦九韶之大衍

秦九韶之大衍總數(shù)術(shù)是其最高之?dāng)?shù)學(xué)成就，歷來備受稱贊。大衍總數(shù)術(shù)，主要分成三部分:其一是元數(shù)約化法則(即化不互素之元數(shù)為互素)，其二，大衍求一術(shù)(求解關(guān)鍵之乘率)，其三，程序性之算法求答數(shù)(即相當(dāng)于《孫子筭經(jīng)》物不知數(shù)之程序)。筆者再詳論之。

歷家之方程從傳統(tǒng)之方程演變而來，其算理相同，只是目的不同。對(duì)比上文歷家之方程和秦九韶的草圖，容易發(fā)現(xiàn):歷家之方程最后旨在得到乘率和蔀率，這也就是說方程三橫行布筭最上面一行的計(jì)算是多余的，如果把最上面一橫行刪去，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除(兩者相通)③此處輾轉(zhuǎn)相除和直除之變化，系匿名審稿專家指出，在此感謝。實(shí)際上，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，就是用互乘相消替代直除。雖然從算理上看兩者相通，但是在實(shí)際籌筭過程中，離不開筭圖的幫助。見筆者對(duì)秦九韶筭圖與方程互動(dòng)之詳盡分析。，把左下角和右上角兩數(shù)位置調(diào)換，并把運(yùn)算之負(fù)數(shù)全改為正數(shù)(這不影響結(jié)果)，那么它就是秦九韶《數(shù)書九章》治歷演紀(jì)題中記載的大衍求等術(shù)。而如果再把兩數(shù)做約化處理，那么它的形式和算法就和秦九韶的大衍求一術(shù)完全一樣。秦九韶跟太史和隱君子學(xué)過數(shù)學(xué)，他對(duì)歷家之方程作了優(yōu)化處理，提出大衍總數(shù)術(shù)算法之關(guān)鍵程序——大衍求一術(shù)。

秦九韶大衍求一術(shù)的算理并不顯而易見，但用歷家方程觀之，則其理顯然。假設(shè)(a，b)=1，a ＜ b，則即相當(dāng)于x=a，y=b)，通過a、b兩數(shù)遞互除之，所得商數(shù)遞互累乘隨加，最后得到，即相當(dāng)于kx－jy=1或kx≡1(mody)，則有ka≡1(modb)，如此k便為乘率。至此，我們方可以理解秦九韶“歷家雖用，用而不知”的真意。

同時(shí)，秦九韶亦著手處理元數(shù)兩兩不互素的問題。他提出了著名的元數(shù)約化法則。諸家多有所論，而對(duì)其核心算法“約奇弗約偶”的解讀上爭議頗多，眾說紛紜。錢寶琮認(rèn)為此奇偶不是單雙之意，各家都從之，幾成定論［17］。侯剛博士學(xué)位論文，詳考各家說法。分為三類，其一“約奇弗約偶”只是一種原則，未給實(shí)質(zhì)分析，包括李儼、錢寶琮、李文林、袁向東諸家;其二認(rèn)為奇偶是指定數(shù)或等數(shù)之單雙，包括四庫館臣、梅榮照、錢克仁、王翼勛、沈康身、王守義、王渝生諸家;其三認(rèn)為奇偶指奇位、偶位，有李繼閔、莫紹揆、李兆華、沈康身、孔國平諸家。侯剛自己則認(rèn)為奇偶指等數(shù)個(gè)數(shù)的單雙，而非指元數(shù)之單雙［18］。但是，《數(shù)書九章》行文多次出現(xiàn)“奇”、“偶”，他處都是指數(shù)之單雙，為何僅此處意義獨(dú)特?這似乎很難理解。從原始文獻(xiàn)入手，秦九韶把問數(shù)分為四類:元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)、復(fù)數(shù)。每類有不同算法:

元數(shù)者。先以兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶或約得五而彼有十，乃約偶而弗約奇?；蛟獢?shù)俱偶，約畢可存一位見偶?；蚪约s而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之?；蛑T數(shù)①“諸數(shù)”，趙鈔本作“請(qǐng)數(shù)”，依《四庫全書》本、《宜稼堂叢書》本改正。皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。

收數(shù)者。乃命尾位分厘作單零以進(jìn)所問之?dāng)?shù)。定位訖，用元數(shù)格入之或如意立數(shù)為母收進(jìn)分厘以從所問，用通數(shù)格入之。

通數(shù)者。置問數(shù)通分內(nèi)子互乘之，皆曰通數(shù)。求總等，不約一位約眾位得各元法數(shù)②本段兩處“元法數(shù)”，《四庫全書》本均作“原法數(shù)”，趙鈔本、《宜稼堂叢書》本作“元法數(shù)”，從之。。用元數(shù)格入之?；蛑T母數(shù)繁，就分從省通之者，皆不用元各母。仍求總等存一位約眾位亦各得元法數(shù)，亦用元法數(shù)格入之。

復(fù)數(shù)者。問數(shù)尾位見十以上者。以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)。兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶，復(fù)乘偶。或約偶或約奇，復(fù)乘奇?；虮舜丝杉s而猶有類數(shù)存者，又相減以求續(xù)等。以續(xù)等約彼，則必復(fù)乘此，乃得定數(shù)。所有元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)三格，皆有復(fù)乘求定之理悉可入之。(［4］，卷1，2b－3a)

術(shù)文云:收數(shù)用通數(shù)格入之，通數(shù)用元數(shù)格入之。因此秦九韶求定數(shù)的核心算法就是元數(shù)格和復(fù)數(shù)格。錢寶琮在談到這個(gè)問題時(shí)，引復(fù)數(shù)格術(shù)文，繼而加以討論(［17］，70—71頁)。不知為何而忽略了元數(shù)格術(shù)文。元數(shù)格術(shù)文云:“或諸數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之”，即先用元數(shù)格，當(dāng)“諸數(shù)皆不可盡類”，方用復(fù)數(shù)格。而復(fù)數(shù)格術(shù)文又云:“以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)”，即此后用元數(shù)格入之?；蜓郧鼐派厍蠖〝?shù)方法，先判斷“諸數(shù)是否可盡類”，若否則“以諸數(shù)求總等存一位約眾位，始得元數(shù)”，繼用元數(shù)格入之;若是則直接用元數(shù)格入之。錢寶琮引復(fù)數(shù)格術(shù)文，而不引元數(shù)格，遺漏頗為重要的元數(shù)俱偶情況?；蚴窃斐珊笕苏`解之濫觴。

根據(jù)元數(shù)格術(shù)文，可知秦九韶將求定數(shù)方法分為四種情況。其一:兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶(或約得五而彼有十乃約偶而弗約奇);其二:或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶;其三:或皆約而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之;其四:或諸數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。

把上述算法作為整體來理解，則“約奇弗約偶”之奇偶，當(dāng)指元數(shù)之單雙無疑。這也就是說，秦九韶求定數(shù)的方法是分情況討論。當(dāng)兩個(gè)元數(shù)中有奇，用“約奇弗約偶”，目的是使得兩數(shù)互素，否則反約，即“或約得五而彼有十，乃約偶而弗約奇”。當(dāng)兩個(gè)元數(shù)皆為偶數(shù)，則“約畢可存一位見偶”，使得約化后只留一個(gè)偶數(shù)，也是要兩數(shù)互素。當(dāng)以上約化完畢之后“猶有類數(shù)存”，“則姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。當(dāng)“諸數(shù)皆不可盡類”，“則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之”。

下面每種情況各舉數(shù)例說明①筆者已驗(yàn)證《數(shù)書九章》所有題目均與以上說明符合。這里舉幾個(gè)例子說明。。卷一“蓍草發(fā)微”題。有2、4相約。此乃元數(shù)俱偶，當(dāng)約畢可存一位見偶。則只可約2為1。若約4為2，則約畢仍然兩數(shù)俱偶，不符合術(shù)文。卷一“推計(jì)土功”題。有24、54相約。24、54等數(shù)為6。此乃元數(shù)俱偶，當(dāng)約畢可存一位見偶。則只可約54為9。若約24為4，則4、54兩數(shù)俱偶，不符合術(shù)文。卷二“積尺尋源”題。有40、15相約。40、15等數(shù)為5。此乃兩數(shù)一奇一偶，用約奇弗約偶。將15約為3，且40、3互素。卷一“推計(jì)土功”題。又有25、120相約。25、120等數(shù)為5。此乃兩數(shù)一奇一偶，用約奇弗約偶。將25約為5。然5與120仍有等數(shù)，故“或約得五而彼有十乃約偶而弗約奇”。即約120為24。則25、24互素。“推計(jì)土功”又有3、9相約。此兩數(shù)中有奇，故可約任意一數(shù)，而務(wù)必使約后兩數(shù)無等。則約3為1。

總之，“約奇弗約偶”之奇偶就是指兩元數(shù)之單雙。當(dāng)兩元數(shù)中有奇則用“約奇弗約偶”，務(wù)必使約化后兩數(shù)無等。當(dāng)兩元數(shù)俱偶，則“約畢可存一位見偶”，即約化后只可存一位偶數(shù)。如以上約化之后，“猶有類數(shù)存”，則“姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。這樣解釋既符合《數(shù)書九章》原文，又不必篡改奇偶之本意。而且不必如前人一樣在某些情況下生硬地把偶數(shù)稱作“奇”②如“蓍草發(fā)微”題2、4相約，必約2，則學(xué)術(shù)界所有之解釋都稱此“2”為奇。。前人之誤解和爭論，殆由于忽視“或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶”一句所致。

《孫子筭經(jīng)》“物不知數(shù)”題，已有了大衍總數(shù)術(shù)的初步程序，但是其元數(shù)兩兩互素，并且缺了求乘率之大衍求一術(shù)。從秦九韶對(duì)歷家的評(píng)價(jià):“非特置筭繁多，初無定法可傳，甚是惑悮后學(xué)，易失古人之術(shù)意”，可以推知?dú)v家不知約化。因此提出元數(shù)約化法則應(yīng)是秦九韶之貢獻(xiàn)。利用筭圖是秦九韶能完成大衍總數(shù)術(shù)之關(guān)鍵。出于籌筭之實(shí)用性、經(jīng)濟(jì)性考慮，歷家往往采用演紀(jì)法求解上元積年。秦九韶說“立術(shù)具草，簡以圖發(fā)之。”筭圖運(yùn)用之后，此桎梏大為消解。利用筭圖，使得秦九韶可以順利地運(yùn)用方程之互乘相消法，即使得他可以用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，優(yōu)化方程。與秦九韶有過直接交流的陳振孫說:“秦博學(xué)多能，尤邃歷法，凡近世諸歷，皆傳于秦，所言得失亦悉著其語云。［19］”總而言之，秦九韶向太史和癮君子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提出約化定數(shù)的方法，又利用筭圖優(yōu)化歷家之方程，提出大衍求一術(shù)，結(jié)合《孫子筭經(jīng)》已有之算法程序，給出了大衍總數(shù)術(shù)。

3 再論“通其率”

李繼閔曾撰文認(rèn)為大衍求一術(shù)來源于通其率算法［20，21］，所謂“通其率”與本文論述之方程術(shù)算理是相通的。通其率的出處，在《漢書·律歷志》:

木，晨始見，去日半次。順，日行十一分度二，百二十一日，始留，二十五日而旋。逆，日行七分度一，八十四日，復(fù)留，二十四日三分而旋。復(fù)順，日行十一分度二，百一十一日有百八十二萬八千三百六十二分而伏。凡見三百六十五日有百八十二萬八千三百六十五分，除逆，定行星三十度百六十六萬一千二百八十六分。凡見一歲，行一次而后伏，日行不盈十一分度一，伏三十三日三百三十三萬四千七百三十七分，行星三度百六十七萬三千四百五十三分。一見，三百九十八日五百一十六萬三千一百二分，行星三十三度三百三十三萬四千七百三十七分。通其率，故曰:日行千七百二十八分度之百四十五。

土，晨始見，去日半次。順，日行十五分度一，八十七日，始留，三十四日而旋。逆，日行八十一分度五，百一日，復(fù)留，三十三日八十六萬二千四百五十五分而旋。復(fù)順，日行十五分度一，八十五日而伏。凡見三百四十日八十六萬二千四百五十五分，除逆，定行星五度四百四十七萬三千九百三十分。伏，日行不盈十五分度三，百三十七日千七百一十七萬一百七十分，行星七度八百七十三萬六千五百七十分。一見，三百七十七日千八百三萬二千百六十二五分，行星十二度千三百二十一萬五百分。通其率，故曰:日行四千三百二十分度之百四十五。

火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日，復(fù)留，十日而旋。復(fù)順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬千五分。通其率，故曰:日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。［22］

此處之“通其率”是何種算法?呂子方認(rèn)為通其率就是連分?jǐn)?shù)，此處之計(jì)算都是分?jǐn)?shù)的近似計(jì)算［23］。李繼閔質(zhì)疑呂子方看法［20］。他以對(duì)土星、木星、火星日行度的驗(yàn)算表明:在《三統(tǒng)歷》中按“五步”所載數(shù)據(jù)計(jì)算都是精確的。并認(rèn)為“呂子方由于采用十進(jìn)小數(shù)并保留小數(shù)點(diǎn)后六位數(shù)字，因而導(dǎo)致了近似計(jì)算”。

李繼閔自問“通其率術(shù)——是約分還是分?jǐn)?shù)近似法?”。他的自答是:兩者皆是［24］。他認(rèn)為“從詞語結(jié)構(gòu)看，‘通其率’與‘通分’同類，‘通’是動(dòng)詞，‘其率’是名詞(作賓語)”(［20］，28頁)。筆者亦撰文指出:對(duì)于“通分術(shù)”，學(xué)術(shù)界存在著不恰當(dāng)?shù)睦斫?。因?yàn)榛I筭實(shí)用性、經(jīng)濟(jì)性的原因，通分是化分?jǐn)?shù)為整數(shù)的算法，通分算法往往運(yùn)用于分?jǐn)?shù)除法。筆者認(rèn)為“通其率”既非約分，亦非漸近分?jǐn)?shù)算法，而是《晉書·律歷志》和《宋書·律歷志》中的“通分相約，終而率之”［25，26］。簡單地說，“通其率”等于《后漢書·律歷志》中的“通率”［27］。學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為《九章筭術(shù)》“其率術(shù)”中的“其”有推測(cè)、揣測(cè)之意。筆者認(rèn)為:“通其率”中之“其”，在此處作代詞用，指木星、火星、土星。對(duì)于中國古代數(shù)學(xué)“率”的研究，已有不少專論［28，29］?？偠灾?，“率”指一組數(shù)，這些數(shù)有正比例關(guān)系。最簡單的是兩個(gè)數(shù)的正比例關(guān)系①如果a:b=常數(shù)，則a、b分為二率。最明顯的例子是圓周率和圓徑率。有圓周率:圓徑率 =π。值得注意的是:一組率數(shù)往往要求是既約的:即若a、b為率，則a、b最大公約數(shù)(a，b)等于1。同理，若a、b、c為率，則要求(a，b，c)=1。。

在以上對(duì)“通”、“其”、“率”理解的基礎(chǔ)上，就可以解釋《漢書》之“通其率”?！巴ㄆ渎省敝荚谟?jì)算:。由于星行率、日行率都是分?jǐn)?shù)，計(jì)算分?jǐn)?shù)除法自然要用到通分，以便化除數(shù)、被除數(shù)為整數(shù)。但為何不稱為“通分”?因?yàn)橥ǚ种?，兩?shù)并不互素;為了化兩數(shù)為互素，得到既約之率，故稱為“通其率”。具體算法見表1。

表1 三統(tǒng)歷之通其率

可見，三統(tǒng)歷的“通其率”只是簡單的通分術(shù)運(yùn)用于“率”上的結(jié)果。

王榮彬、徐澤林的文章認(rèn)為中國數(shù)學(xué)史上是否有“通其率術(shù)”之名，值得考證［11］。其實(shí)，“通其率”不是某種算法的專用術(shù)語。劉徽為《九章筭術(shù)》作注，多次用到‘通某某之率“的句式，亦有直接用到“通其率”。

卷六均輸卷中人持金出關(guān)題注:

按:此術(shù)置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當(dāng)稅者也。減二斤，余即關(guān)取盈金，以盈除所償錢，即金直也。今術(shù)既以十二斤為所稅，則是以十為母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。于今有術(shù)，五千錢為所有數(shù)，十為所求率，八為所有率，而今有之，即得也。(［16］，250頁)此處“通其率”是要計(jì)算，通其率，是通分術(shù)在率上的簡單應(yīng)用。

卷六金棰題注:

按:此術(shù)五尺有四間者，有四差也。今本末相減，余即四差之凡數(shù)也。以四約之，即得每尺之差，以差數(shù)減本重，余即次尺之重也。為術(shù)所置，如是而已。今此率以四為母，故令母乘本為衰，通其率也。亦可置末重，以四間乘之，為上第一衰。以差重率加之，為次下衰也。(［16］，251—252頁)

此處通其率指:差數(shù)=(本重－末重)/4，列衰為:本重、(本重－差數(shù))、(本重－2差數(shù))、(本重－3差數(shù))、(本重－4差數(shù))，由于差數(shù)為分?jǐn)?shù)，以4為母，所以必須用4乘本重，則差數(shù)可以化分?jǐn)?shù)為整數(shù)。亦是通分術(shù)在“率”上的簡單應(yīng)用。

唐代李淳風(fēng)為《九章筭術(shù)》作注，也有直接用到“通其率”。卷三衰分“牛、馬、羊食人苗”題注:

臣淳風(fēng)等謹(jǐn)按:此術(shù)問意，羊食半馬，馬食半牛，是謂四羊當(dāng)一牛，二羊當(dāng)一馬。今術(shù)置羊一、馬二、牛四者，通其率以為列衰。(［16］，106—107頁)

此處“通其率”為“通達(dá)其率”之意。因?yàn)?羊=1牛，2羊=1馬，則羊∶馬∶牛=1∶2∶4。由此可知，至少在劉徽和李淳風(fēng)心目中，“通其率”并非專用術(shù)語，它只是一個(gè)簡單的通分算法，這種理解和“通率”、“通分相約、終而率之”是一致的。

4 祖沖之圓周率和漸近分?jǐn)?shù)算法

中國古代有無漸近分?jǐn)?shù)算法，是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)疑案。因?yàn)榇罅康臐u近分?jǐn)?shù)出現(xiàn)在中國歷史上，卻沒有明確記載這些數(shù)據(jù)來源的文獻(xiàn)。各家基本持肯定的觀點(diǎn)，但具體看法又有不同。呂子方認(rèn)為是連分?jǐn)?shù)［23］，李繼閔認(rèn)為是通其率［20］，曲安京則認(rèn)為有一種閏周算法［30］，這三種算法在算理上是等價(jià)的。另外也有調(diào)日法的說法。其實(shí)，通其率只是通分(率之)。連分?jǐn)?shù)之說和閏周算法之說都具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形式，是它們的缺陷。對(duì)于古算來說，計(jì)算結(jié)果固然重要，更重要的是要符合籌筭之運(yùn)算過程。筆者認(rèn)為:在中國歷史上，漸進(jìn)分?jǐn)?shù)算法是存在的，但和《漢書》的通其率沒有關(guān)系，不是其求星日行度的方法。

實(shí)際上，歷家方程的一個(gè)妙用，就是它的計(jì)算過程中可以自然地得到一系列的漸近分?jǐn)?shù)。而這種算法既符合籌筭之形式，又根本無須用到比《九章筭術(shù)》更高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此筆者認(rèn)為利用方程求得一系列漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，可能更能符合古人的原意。

《隋書·律歷志》載:

古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法。以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。［31］

由于密率355/113是π的一個(gè)漸近分?jǐn)?shù)，這里實(shí)是一個(gè)求漸近分?jǐn)?shù)的問題。祖沖之如何得到約密二率，諸說紛紜。有連分?jǐn)?shù)說［32］，大衍術(shù)說［33］，調(diào)日法說(［5］，87—88頁)，通其率說［20］，閏周算法說［30］。下面用方程說明祖沖之如何得到他的約密二率①當(dāng)然下述過程這也可以同樣解釋歷史上出現(xiàn)的其他漸近分?jǐn)?shù)，例如調(diào)日法之強(qiáng)弱二率和，閏周、朔望月余數(shù)、近月點(diǎn)余數(shù)、平氣余數(shù)、交食周期之強(qiáng)、弱二率。。祖沖之先用劉徽割圓術(shù)中求圓周率的辦法得到圓周盈朒二限。假如祖沖之舍棄余分取周3141592、徑1000000，用方程術(shù)便可求得約率和密率(用現(xiàn)今數(shù)碼代替筭籌，空位表零，不失籌筭本意):

如此便得:約率22/7和密率355/113。筆者推測(cè)，這種方程運(yùn)算對(duì)祖沖之來說應(yīng)是再自然不過。

5 結(jié)論

綜上所述，本文結(jié)論如下:

其一，歷家之方程即《九章筭術(shù)》之方程。如果把此方程三橫行布筭的最上面一橫行刪去，用輾轉(zhuǎn)相除替代直除，把左下角和右上角兩數(shù)位置調(diào)換，并把運(yùn)算之負(fù)數(shù)全改為正數(shù)，那么它就是《數(shù)書九章》所載之大衍求等術(shù)。如果再把兩數(shù)做約化處理，那么它的形式與算法就和大衍求一術(shù)完全一樣。

其二，“約奇弗約偶”之奇偶即指兩元數(shù)之單雙。秦九韶對(duì)不同情況采用不同約化元數(shù)的方法。當(dāng)兩元數(shù)中有奇則用“約奇弗約偶”，務(wù)必使約化后兩數(shù)無等。當(dāng)兩元數(shù)俱偶，則“約畢可存一位見偶”，即約化后只可存一位偶數(shù)。如以上約化之后，“猶有類數(shù)存”，則“姑置之，俟與其他約徧而后乃與姑置者求等約之”。

其三，歷家之方程不知約化，用筭繁多。在此基礎(chǔ)上，秦九韶提出了約化定數(shù)的方法，利用筭圖，對(duì)方程進(jìn)行優(yōu)化，提出大衍求一術(shù)，結(jié)合《孫子筭經(jīng)》已有之算法程序，給出了相當(dāng)于求解一次同余方程式組的系統(tǒng)算法——大衍總數(shù)術(shù)。

其四，《漢書》之通其率并非專門術(shù)語，亦非漸進(jìn)分?jǐn)?shù)算法，它只是對(duì)率通分，即“通率”、“通分相約、終而率之”。

其五，在歷家方程之運(yùn)算過程中可以自然得到一系列漸近分?jǐn)?shù)。這樣就可以自然地解釋中國歷史上出現(xiàn)的大量漸近分?jǐn)?shù)——既可符合籌筭之過程，又無需用到比《九章筭術(shù)》更高深的數(shù)學(xué)知識(shí)①筆者認(rèn)為古書中之相關(guān)記載，往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)籌筭過程。這即是說如果今人對(duì)于歷筭、數(shù)學(xué)之解釋，是不可用筭籌是操作的，那么往往是錯(cuò)誤的。。

秦九韶之大衍求一算理晦澀，然而以方程觀之，則其理自現(xiàn)?！傲⑻煸弧敝唬墙枰还g之意;“奇一而止”之一，則是等數(shù)一。即秦九韶所謂:“歷家雖用，用而不知”、“獨(dú)大衍法不載《九章》，未有能推之者。歷家演法頗用之，以為方程者，誤也”。至此，大致勾勒出秦九韶之前大衍求一術(shù)的發(fā)展情況:由更相減損術(shù)和方程術(shù)到歷家之方程，再到大衍求等術(shù)，最后到大衍求一術(shù)。利用筭圖，再提出約化元數(shù)的方法，秦九韶完成了大衍總數(shù)術(shù)。

1 (比利時(shí))U.Libbrecht(李倍始)，Chinese Mathematiques in the Thirteeth Century，The Shu-shu-chiu-chang of Chin Chiushao［M］.Cambridge，Massachustts and London，England:M.I.T.press，1973.

2 (南宋)秦九韶.數(shù)書九章(宜稼堂叢書本)［A］.郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷［Z］.第1冊(cè).鄭州:河南教育出版社，1993.

3 (南宋)秦九韶.數(shù)學(xué)九章［M］.景印文淵閣四庫全書［Z］.第797冊(cè).臺(tái)北:商務(wù)印書館，1985.

4 (南宋)秦九韶.數(shù)書九章［M］.北京中國國家圖書館藏明萬歷四十四年趙琦美鈔本.

5 錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史［M］.北京:科學(xué)出版社，1964.78—79.

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7 李繼閔.秦九韶關(guān)于上元積年推算的論述［A］.吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集(四)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1996.22—36.

8 嚴(yán)敦杰.宋金元?dú)v法中的數(shù)學(xué)知識(shí)［A］.錢寶琮.宋元數(shù)學(xué)史論文集［C］.北京:科學(xué)出版社，1966.210—224.

9 王翼勛.秦九韶演紀(jì)積年法初探［J］.自然科學(xué)史研究，1997，16(1):10—20.

10 王翼勛.開禧歷上元積年的計(jì)算［J］.天文學(xué)報(bào)，1997，48(1):94—105.

11 王榮彬，徐澤林.關(guān)于“大衍術(shù)”源流的算例分析［J］.自然科學(xué)史研究，1998，17(1):47—54.

12 沈康身.更相減損術(shù)源流［A］.吳文俊.《九章算術(shù)》與劉徽［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1987.210—227.

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14 (北宋)高承撰，(明)李果訂，金圓、許沛藻點(diǎn)校.事物紀(jì)原［A］.北京:中華書局，1989.15.

15 (元)脫脫.宋史·律歷志七［A］.北京:中華書局，1977.1689.

16 (西漢)張蒼、耿壽昌編定，(魏)劉徽注，(唐)李淳風(fēng)等注釋，郭書春匯校.《匯校九章筭術(shù)》增補(bǔ)版［M］.沈陽:遼寧教育出版社，臺(tái)北:臺(tái)灣九章出版社，2004.353.

17 錢寶琮.秦九韶《數(shù)書九章》研究［A］.吳文俊.秦九韶與《數(shù)書九章》［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1987.71.

18 侯鋼.兩宋易數(shù)及其與數(shù)學(xué)之關(guān)系初論［J］.北京:中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所博士學(xué)位論文，2006.75—80.

19 (南宋)陳振孫撰.直齋書錄解題［A］，徐小蠻，顧美華點(diǎn)校.上海:上海古籍出版社，1987.368—369.

20 李繼閔.“通其率”考釋［A］.吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集(一)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1985.

21 李繼閔.“大衍求一術(shù)”溯源［A］.吳文俊.秦九韶與《數(shù)書九章》［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1987.138—158.

22 (東漢)班固.漢書·律歷志下［A］.北京:中華書局，1964.998—1000.

23 呂子方.中國科學(xué)技術(shù)史論文集·上冊(cè)［M］.成都:四川人民出版社，1983.86—96.

24 李繼閔.中算家的分?jǐn)?shù)近似法探究——兼論數(shù)學(xué)史研究的方法問題［A］.吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集(三)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1987.31—33.

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26 (梁)沈約.宋書·律歷志中［A］.北京:中華書局，1974.248.

27 (晉)司馬彪.后漢書·律歷志下［A］.北京:中華書局，1965.3070—3073.

28 郭書春.《九章算術(shù)》和劉徽注中之率概念及其應(yīng)用試析［A］.科學(xué)文集刊編輯委員會(huì).科學(xué)史集刊(十一)［C］.北京:地質(zhì)出版社，1984.21—36.

29 李繼閔.《九章算術(shù)》中的比率理論［A］.吳文俊.《九章算術(shù)》與劉徽［C］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1982.229—245.

30 曲安京.祖沖之是如何得到圓周率π=355/113的?［J］.自然辯證法通訊，2002，139(3):72—77.

31 (唐)李淳風(fēng).隋書·律歷志上［A］.北京:中華書局，1973.387—388.

32 華羅庚.從祖沖之圓周率談起［M］.北京:人民教育出版社，1964.12—14.

33 錢寶琮.古算考源［M］.上海:商務(wù)印書館，1930.47.