Sine-Gordon方程的極限對(duì)稱及應(yīng)用

沈 青， 趙松林， 張大軍

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

本研究將討論sine-Gordon方程的一個(gè)新對(duì)稱.該對(duì)稱可以由已知的平方本征函數(shù)對(duì)稱通過(guò)一個(gè)極限過(guò)程得到，而且由相應(yīng)的對(duì)稱約束得到的新解是一個(gè)二重極點(diǎn)解［7-9］，可以看作是方程的極限解.另外，平方本征函數(shù)與孤立子方程的自相容源之間有著緊密關(guān)系［10-11］.新的極限對(duì)稱引出一個(gè)帶新自相容源的sine-Gordon方程，本研究將利用雙線性方法求解這個(gè)帶源的方程.

1 Sine-Gordon方程的一個(gè)極限對(duì)稱

Sine-Gordon方程為該方程最早來(lái)自于負(fù)常曲率曲面，可用于描述Josephson傳輸線中的磁通量子［12-13］、共振介質(zhì)中的超短脈沖傳播［14］等，具有豐富的物理與幾何背景.Sine-Gordon方程是可積的，其Lax對(duì)為

式中，λ為譜參數(shù).可以驗(yàn)證，當(dāng)φ1和φ2滿足式(2)和(3)時(shí)，有

式(4)為sine-Gordon方程的一個(gè)對(duì)稱，即滿足σxt= σcos u.利用對(duì)稱所滿足的線性方程的線性性質(zhì)，由式(4)以及方程的另一個(gè)對(duì)稱ux，可以得到方程的一個(gè)對(duì)稱約束為

式中，φij為L(zhǎng)ax對(duì)當(dāng)λ=λj時(shí)的解.由式(5)可以引出sine-Gordon方程的N-孤子解［15-16］.

引入

式中，φ1j和φ2j，ψ1j和ψ2j滿足如下關(guān)系：

2 相似約化

2.1 相似約化與精確解

考慮式(1)的對(duì)稱的組合

式中，φ1j，φ2j滿足式(7)和(8)，ψ1j，ψ2j滿足式(9)和(10).令σ^=0，有

這是一個(gè)新對(duì)稱約束.整個(gè)系統(tǒng)由式(1)，(7)～(10)，(13)組成，其中j=1，2，…，N.直接代入驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)φkj，ψkj(k=1，2)滿足式(7)～(10)時(shí)，由式(13)定義的u自動(dòng)滿足sine-Gordon方程.所以，此約束系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為

引入如下變換：

式中，i為虛數(shù)單位，“-”表示復(fù)共軛.將式(14)兩邊對(duì)x微分，利用式(20)和(21)，可以將式(14)～(19)寫(xiě)成如下雙線性形式：

為了方便，在式(22)～(26)中已將λj記為-kj，算子 D即為所熟悉的 Hirota雙線性算子［17］，定義為

為了精確地求解式(22)～(26)，將f，gj，hj分別按ε級(jí)數(shù)展開(kāi)，有

將式(27)代入式(22)～(26).當(dāng)N=1時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，式(22)～(26)的解可以由截?cái)嗟募?jí)數(shù)展開(kāi)式(27)給出，其中

式中，k1，eξ(0)1都為實(shí)參數(shù)，且

在式(27)中，取ε=1，由式(20)和(21)，可求得sine-Gordon方程的解為

或表示為

2.2 動(dòng)力學(xué)分析

為了更好地分析式(34)的動(dòng)力學(xué)特征，先來(lái)看sine-Gordon方程的2-孤子解，它可以寫(xiě)為［18-20］

眾所周知，sine-Gordon方程的單孤子解具有kink和反-kink兩種類型，因此，2-孤子的相互作用也自然較KdV方程更豐富.

式中，

圖1 Sine-Gordon方程的解(37)的圖像Fig.1 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(37)

在式(37)中，令k2→k1，并利用L’Hospital法則，可得

極限解(34)的圖像如圖2所示，其中k1=1，=0.

圖2 Sine-Gordon方程的解(34)的圖像Fig.2 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(34)

顯然，圖2(a)中的波形是對(duì)稱的，這正是2-孤子解(37)中k2→k1的體現(xiàn).為了更好地研究解(33)的漸進(jìn)性，將其放入如下移動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)(見(jiàn)圖2(b))：

通過(guò)漸進(jìn)分析發(fā)現(xiàn)，圖2(b)中4個(gè)拐點(diǎn)的軌跡可以用下述4條曲線來(lái)描述.

定理1 設(shè)式(34)中，k1＞0，則當(dāng)t→-∞時(shí)，有2條移動(dòng)的拐點(diǎn)軌跡，分別為

在拐點(diǎn)處，u的斜率分別為4k1和-4k1，u的值為u|XBR=u|XBL=-π.當(dāng)t→ +∞時(shí)，有2條移動(dòng)的拐點(diǎn)軌跡，分別為

在拐點(diǎn)處u的斜率分別為4k1和-4k1，u的值為u|XTL=u|XTR=π.

3 帶新自相容源的sine-Gordon方程

在文獻(xiàn)［21］中，帶自相容源的sine-Gordon方程定義為

類似地，引入如下帶極限源的sine-Gordon方程：

式中，{λj}互不相同，j=1，2，…，N.式(42)～ (44)為L(zhǎng)ax可積系，Lax對(duì)為

式中，

由式(45)的相容性條件，可導(dǎo)出式(42)，其中需利用如下關(guān)系：

式(42)～(44)能夠被精確求解.采用變換式(20)～(21)，則式(42)～(44)轉(zhuǎn)化為如下雙線性形式(λj=-kj)：

類似第2節(jié)中的求解過(guò)程，如式(27)，將f，gj，hj展開(kāi)，并代人到式(48)～(50)中.當(dāng)N=1時(shí)，可得

式中，

式中，k1，eξ(0)1為實(shí)參數(shù)，β1(z)為z的任意連續(xù)函數(shù).在式(27)中，若取ε=1，可得式(42)～(44)的一個(gè)解為

或?qū)憺?/p>

解(56)的圖像如圖3所示，其中k1=1，2，=0，β1(z)=3z2.

圖3 帶極限源的sine-Gordon方程的解(56)的圖像Fig.3 Plots for the solution of sine-Gordon equation with new self-consistent sources given by(56)

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究給出了與本征函數(shù)有關(guān)的sine-Gordon方程的新對(duì)稱，這個(gè)對(duì)稱與原有的平方本征函數(shù)對(duì)稱之間存在極限關(guān)系，因此，稱之為極限對(duì)稱.由該對(duì)稱引出的相似約化，可以得到sine-Gordon方程2-孤子解的極限解.本研究討論了這個(gè)解與 sine-Gordon方程2-孤子解之間的極限關(guān)系，并分析了解的動(dòng)力學(xué)特征.此外，本研究還利用極限對(duì)稱給出了一個(gè)新的帶源的sine-Gordon方程，該方程是Lax可積的，可以被雙線性化，并且得到的解具有極限解的特征.本研究所討論的極限對(duì)稱與相應(yīng)的方法可同樣應(yīng)用于其他可積方程.

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