高斯迷向凸體

王 雷， 何斌吾

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

若在n維歐氏空間Rn中，體積(Lebesgue測(cè)度)為1、質(zhì)心在原點(diǎn)的凸體K，對(duì)任意轉(zhuǎn)軸都有相同的慣量矩，即對(duì)任意的單位向量θ，存在常數(shù)LK＞0，使得

成立，則稱凸體K處于迷向位置，常數(shù)LK稱為凸體K在Lebesgue意義下的迷向常數(shù)［1］.近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)迷向凸體做了大量的研究工作［2-9］.一個(gè)很自然的問(wèn)題是：若把式(1)左端積分換為高斯測(cè)度，情況又會(huì)怎么樣呢?基于此，本工作給出高斯測(cè)度下迷向凸體的定義，并討論其迷向條件的等價(jià)性以及球體和方體的迷向常數(shù)隨維數(shù)變化的規(guī)律.

Rn中凸體K的標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度定義為

定義1 設(shè)K是Rn中的一個(gè)體積(Lebesgue測(cè)度)為1、質(zhì)心在原點(diǎn)的凸體，令

如果K1滿足

則稱凸體K1為高斯迷向體.再令

常數(shù)GK稱為凸體K的高斯迷向常數(shù).

本工作首先利用正定算子具有正方根的事實(shí)，證明高斯迷向體的存在性和正交不變性;其次，利用與Lebesgue等價(jià)性類似的方法證明高斯迷向體迷向條件的等價(jià)性;最后，計(jì)算超球體和超立方體的高斯迷向常數(shù)，并揭示高斯迷向常數(shù)與Lebesgue迷向常數(shù)不一樣的性質(zhì).

1 高斯迷向體的存在性與正交不變性

定理1 設(shè)K是Rn中的一個(gè)體積(Lebesgue測(cè)度)為1、質(zhì)心在原點(diǎn)的凸體，則存在T∈SL(n)，使得T(K)是高斯迷向的，并且這種高斯迷向體在正交變換下是不變的，即若K1是K的高斯迷向體，則K2是K1經(jīng)正交變換T∈O(n)所得凸體，K2也是K的高斯迷向體.

式(2)中的上確界是對(duì)T∈SL(n)取的，又因SL(n)是保體積變換的集合，它在矩陣范數(shù)下為一個(gè)緊集，從而此積分的上確界是可以達(dá)到的，因此，存在T0，滿足

下面證明高斯迷向體的正交不變性.設(shè)K1是K的高斯迷向體，K2是K1經(jīng)正交變換所得的凸體，即K2=TK1，T∈O(n)，可推理如下：

又因T為正交變換，所以，TTT=I(單位矩陣)，因此，正交變換條件下高斯迷向凸體具有正交不變性.定理得證.

2 高斯迷向條件的等價(jià)性

傳統(tǒng)意義的Lebesgue迷向條件具有等價(jià)性.定義高斯迷向凸體后，一個(gè)很顯然的問(wèn)題是：高斯迷向條件是否存在類似Lebesgue迷向條件的等價(jià)性?依據(jù)上述猜測(cè)，下面給出高斯迷向條件的等價(jià)性證明.

定理2 Rn中體積(Lebesgue測(cè)度)為1、質(zhì)心在原點(diǎn)的高斯迷向凸體K滿足下列條件，對(duì)于任意θ∈Sn-1，有

高斯迷向凸體K滿足的條件式(3)等價(jià)于如下3個(gè)等式：

(i)對(duì)任意y∈Rn，有

(ii)對(duì)任意i，j=1，2，…，n，有

式中，x1，x2，…，xn是x對(duì)應(yīng)于某組標(biāo)準(zhǔn)正交基的坐標(biāo)，δij是Kronecker符號(hào);

(iii)對(duì)任意T∈L(Rn)，有

式中，trT是線性變換T的跡.

證明 首先論證(i)和式(3)的等價(jià)性.對(duì)任意y∈Rn，y≠0，令y=|y|θy，顯然有

因?yàn)閨y|2≠0，所以，∫K〈x，θy〉2dγn(x)=考慮到y(tǒng)是任意的，必要性(i)得證.充分性的證明相對(duì)簡(jiǎn)單，故略去.

其次，論證(i)和(ii)的等價(jià)性.不妨先證明高斯迷向凸體所滿足式(3)和(ii)等價(jià).

設(shè)e1，e2，…，en為Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，δij是Kronecker符號(hào).取θ=ei(i=1，2，…，n)，則

對(duì)任意i，j=1，2，…，n，i≠j，λμ≠0，且λ2+μ2=1，取θ=λei+μej，代入上式得

結(jié)合(i)，則有∫Kxixjdγn(x)=0，i≠j，i，j=1，2，…，n.比較等式兩邊，充分性得證.

對(duì)任意的θ∈Sn-1，令θ=λ1e1+…+λnen++…+=1，則有

必要性得證.

證得式(3)和(ii)等價(jià)，依據(jù)等價(jià)條件具有傳遞性，證得(i)和(ii)具有等價(jià)性.

最后，論證(ii)和(iii)的等價(jià)性.

設(shè)T∈L(Rn)，其對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正交基e1，e2，…，en的矩陣為 T=(tij)n×n，從而 Tx的矩陣為 T(x1，x2，…，xn)T，因此，

由式(2)可得

充分性得證.

同樣，對(duì)于T∈L(Rn)，存在等式

取Ti∈L(Rn)，使Ti在基e1，e2，…，en的矩陣為Eii，其中Eij表示i行j列上的元素為1、其余的元素為0的n階方陣.

易知，Tix=xiei，trTi=1，i=1，2，…，n，

取Tij∈L(Rn)，使Tij在基e1，e2，…，en的矩陣為Eij+ Eji，i≠j(i，j=1，2，…，n)，其中Eij的表示同上.

對(duì)于 x=x1e1+… +xnen，有 Tijx=xiej+xjei，trTij=0，i≠j，

因此，∫Kxixjdγn(x)=0，必要性得證.

綜上，定理2得證.

3 兩類凸體的高斯迷向常數(shù)

根據(jù)高斯迷向凸體的迷向常數(shù)的定義，對(duì)n維空間中的球體和方體的高斯迷向常數(shù)進(jìn)行計(jì)算.先計(jì)算球體的高斯迷向常數(shù)，

考慮到|rn|=1，而且

式中

下面對(duì)單位體積的球體和方體的高斯迷向常數(shù)進(jìn)行數(shù)值比較：

通過(guò)數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，在n≥25時(shí)，單位球體的迷向常數(shù)大于單位方體的迷向常數(shù)，這與Lebesgue測(cè)度下的情況恰恰相反.

［1］ MILMANV D，PAJORA.Isotropic position and inertia ellipsoilds and zonoids of the unit ball of a nomed ndimensionalspace［C］∥ Geometric Aspects of Functional Analysis(1987—1988)，Lecture Notes in Math 1376.Berlin：Springer，1989：64-104.

［2］ LUTWAKE，YANGD，ZHANGG Y.A new ellipsoid associated with convex bodies［J］.Duke Math J，2000，104(3)：375-390.

［3］ GIANNOPOULOSA.Notes on isotropic convex bodies［D］. Warsaw： Institute ofMathematics， Polish Academy of Sciences，2003：10-15.

［4］ SCHMUCKENSCHLAGERM.Volume of intersection and sections of the unit ball of［J］.Proc Amer Math Soc，1998，126：1527-1530.

［5］ GAOP.A note on the volume of section of［J］.Math Anal Appl，2007，326：632-640.

［6］ ALZERH.Inequalities for the volume of the unit ball in Rn［J］.Math Anal Appl，2000，136：353-363.

［7］ 何斌吾，冷崗松.迷向體與Bourgain問(wèn)題［J］.中國(guó)科學(xué)：A輯，2005，35：450-462.

［8］ 吳力榮，何斌吾.幾類特殊幾何體的迷向常數(shù)［J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，13(1)：41-46.

［9］ 陳巧云，何斌吾.凸體迷向條件的等價(jià)性［J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，12(5)：481-483.