巖石滯后非線性彈性響應的物理模型①

任 雋，陳東柏，戴王強，陳運平，潘紀順

（1.長安大學，陜西 西安 710064；2.陜西省地震局，陜西 西安 710068；3.中南大學地學與環(huán)境工程學院計算地球科學研究中心，湖南 長沙 410083；4.華北水利水電學院資源與環(huán)境學院，河南 鄭州 450011）

0 引言

地殼巖石的非線性響應是一個十分豐富的話題，可廣泛應用于地震工程、無損檢測和材料科學。地殼巖石實際上是一種高度多組分、非均勻的材料，它的宏觀彈性特性比組成它的材料要復雜得多。組成巖石的礦物顆粒本身是非常堅硬的，巖石中還包含顆粒間的接觸、微裂紋、孔洞等，它們之間由粘結介質等聯(lián)接在一起形成彈性體。顆粒的剛度較大，受到載荷作用時變形較??；粘結介質的剛度較小，受到載荷作用時變形較大；裂紋受到載荷作用時會滑動、閉合或者擴展。這樣巖石由硬軟兩部分組成：堅硬部分為巖石顆粒，軟弱部分為膠結物、位錯、微裂紋和孔洞等粘結系統(tǒng)。巖石顆粒在體積上比粘結系統(tǒng)要大得多，它們的力學性質也相差很大，巖石強烈的非線性是與其硬軟兩部分的存在相關的。粘結系統(tǒng)只占了巖石相當小的體積，但是受到載荷作用時變形較大，對巖石的力學性質的影響最大，幾乎可以說是它們決定了巖石的力學性質［1］。巖石內部結構復雜，受到載荷作用時，表現(xiàn)出的不是線彈性，而是非線性，由于巖石特殊的細觀結構，這種非線性不同于一般的非線性彈性材料，包括滯后［2－9］和弛豫（慢動力）［10－12］。對于周期性荷載的巖石來說，其表現(xiàn)出來的非線性彈性關系體現(xiàn)在應變與應力之間的相位滯后［6－7］。現(xiàn)在也逐漸清楚，粘結系統(tǒng)中的流體對非線性響應的貢獻特別顯著，但是，粘結系統(tǒng)和和孔隙流體究竟是如何影響非線性響應的，目前還沒有搞清楚。

導致這些不尋常行為的物理機制到目前還沒有揭開。巖石是固結材料，因而石英晶體的彈性響應與石英砂巖的彈性響應之間幾乎沒有什么關聯(lián)。巖石的彈性性質主要是顆粒間的粘結自然屬性的結果，而不是這些顆粒本身。巖石內部的粘結系統(tǒng)對溫度、孔隙流體的屬性和應力是十分敏感的。因此，正是巖石的粘結系統(tǒng)的響應使其具有非線性和滯后性。

巖石適當?shù)奈锢砟Ｐ捅仨毰c它們復雜的結構相聯(lián)系。本文將介紹幾個簡單的物理模型，以探討巖石非線性響應的微觀機理。

在傳統(tǒng)的彈性理論中，介質非線性的理論模型是基于應變能方程的展開或者保留低階（二階和三階）非線性項的應力－應變狀態(tài)方程。對于傳統(tǒng)的能量展開，應力－應變關系可以寫成

其中M是彈性模量；β和δ是非線性系數(shù)。但是對于具有滯后和弛豫特性的地球材料來說，本構關系式可能會顯得復雜而多樣。經常見到的例子是振幅相關的摩擦：當介質受到相當大的震蕩作用時，可觀察到異常高的能量損失；楊氏模量會隨著應變振幅的變化而變化。在某種程度上，這樣的材料顯示了滯后行為，這種滯后行為與機械缺陷的不可回復運動（也就是微塑性變形）有關。振幅相關的摩擦效應在很大的頻率（1～106Hz）、溫度（300～3 800K）、和變形振幅（ε～10－6～10－2）范圍內受到關注。為了解釋這些事實，必須尋找?guī)r石靜態(tài)和動態(tài)行為的更普遍的模型。

1 顆粒接觸模型

最早用來解釋巖石非線性的模型是赫茲顆粒接觸模型，它是把巖石作為干燥的接觸顆粒的系統(tǒng)看待的（圖1）。這些接觸比基質材料－顆粒本身要軟得多，因此在介質的非線性彈性響應中起到主要的作用。在這個模型中，兩個半徑為R的顆粒發(fā)生了接觸，在受到正壓力F的作用下，兩個顆粒在接觸點上發(fā)生了彈性變形。分離距離（即顆粒中心連線之間的距離）的改變量Δ為［13］

式中：E為材料的楊氏模量；ν為泊松比；R是顆粒半徑。

圖1 赫茲接觸模型示意圖Fig.1 Sketch of the Hertz contact model.

巖石力學實驗中，巖石受到靜態(tài)壓力引起一個固定的預應變ε0。在地殼巖石中，預應力可能來自地球上層的壓力，也可能來自巖石材料接觸點處堅硬的固結部分，或者兩者兼而有之。對于小的一維擾動，二次和三次非線性系數(shù)為

非線性參數(shù)（式3）不依賴于顆粒尺寸或它們的成分，而是依賴于預應變ε0，也就是依賴于靜態(tài)壓力，這意味著超壓越大，材料的非線性越小。

上世紀六七十年代就開始研究巖石中地震波的非線性衰減現(xiàn)象了，這涉及到了巖石滯后的物理微觀機制問題。經典的解釋是顆粒接觸面和顆粒邊界之間的滯后摩擦滑動［14－16］。1971年Johnson等人在赫茲接觸模型的基礎上發(fā)展了粘合力學模型——JKR模型［17］。JKR模型把表面能γ考慮進去，力f和位移δ之間的關系由參數(shù)的形式給出［17］

其中b為微接觸面半徑；f0和δ0為歸一化常數(shù)，f0＝πrγ，δ0＝ （3πγ（1－ν2）／（2E）。

圖2為JKR模型的力學描述，其力－位移關系考慮了微觀粘合滯后。圖2中的作用力可以分為滯后力fH（純矩形框）和非滯后力fNH（純赫茲曲線）兩部分。當從大的負擾動值增加位移時，沒有接觸也沒有力。直到位移是零的時候，接觸突然出現(xiàn)，力為負值，那是粘著吸力。對于正擾動值，接觸依然存在，這時候遵循赫茲型接觸定律。反過來，當從大的正擾動值減小位移到小于0時，粘著吸力并沒有消失，直到某個臨界值時力才又回歸到0。滯后轉換的方向如箭頭所示，其力－位移曲線的典型行為是滯后的。

圖2 JKR接觸模型的本構關系Fig.2 The constitutive relation of JKR contact model.

上世紀90年代，Tutuncu等人指出傳統(tǒng)的理論在高圍壓下實驗結果和理論有明顯的偏離，用粘合滯后來解釋滯后和能量損失［18，8］。即使是接觸部分受到強烈的擠壓，顆粒間的摩擦仍然是很小的。

2 孔隙流體的作用

流體的存在極大地影響了巖石的線性特征（聲速、能量損失），這些效應在唯象Biot理論框架中要經常考慮到，Biot理論提供了最好的定量描述［19］。Khanzanehdari和Sothcott［20］通過聲學裝置測量了砂巖的動態(tài)體積模量和剪切模量，觀察到動態(tài)剪切模量隨流體飽和而引起的變化與飽和流體的類型和粘滯性、巖石的微結構和施加壓力有密切的關系，認為粘滯耦合、自由表面能的減少以及局部和全局流動引起的頻散是造成動態(tài)剪切模量隨流體飽和而變化的原因。

巖石的非線性彈性顯著地受到孔隙流體存在的影響［8，21－27］。下面簡單地討論一下基于濕赫茲接觸的非線性模型。最簡單的例子是顆粒間的空間100%充滿了流體（100%飽和），這時流體對顆粒接觸提供了額外的彈性效應，其狀態(tài)方程（忽略原子流體的非線性）具有以下的形式［22］

其中Kf和Ks分別是液相和固相的體積模量；φ是孔隙率。關系式（5）預測了在整個介質中非線性會降低，但是它只應用于接近100%流體飽和的情況。這是很自然的：水填充到孔隙中會使材料變硬［26－27］。但是，對于相對小的飽和度（比如小于30%），非線性反而會增加［26－27］，因為這時還要考慮毛細和偶極作用力對顆粒耦合的影響。為了描述這種效應，似乎有必要考慮由于顆粒之間的薄液膜而作用在顆粒上的力。Tutuncu和Sharma從熱力學的觀點出發(fā)，具體地考慮了這些力的作用，他們的預測與聲波速和衰減測量是相當符合的［23］。

席道瑛等［24］認為，巖石孔隙流體的粘滯性對滯后現(xiàn)象有影響。在循環(huán)外力作用下，存在于顆粒接觸面之間的孔隙流體將產生震蕩運動，而粘滯性大的流體不容易在孔隙巖石中流動，因而其滯后程度會大一些。Tutuncu等認為孔隙流體的化學特性對巖石內部的粘滑移動和顆粒接觸粘合滯后有明顯的影響［8］。基于流體－蒸汽平衡的理論，Van Den Abeele等［25］開展了流體對粘結系統(tǒng)作用的研究。對于小于微米級的孔隙尺度來說，流體的影響是很強烈的，并用PM空間滯后單元解釋了少量水的宏觀效應。

3 Granato—Lucke模型

在很多的滯后材料里，粘結系統(tǒng)是晶體的，這樣粘結系統(tǒng)的晶格內部的位錯能令人信服地產生非線性響應。早在1956年，Granato和Lucke（GL）就建議了一個基于金屬位錯的物理模型。為了描述彈性變形，他們在牽住了雜質原子的一段位錯線和細繩的運動之間做了模擬（圖3（a））。當應力增加時（通常是剪切應力），位錯象一條條細繩一樣產生變形，直到在某個臨界應變時它們從晶體結構節(jié)點之間的所有雜質原子中分離出來。結果物質變得更軟，從而導致了應力－應變有關的強烈的非線性（圖3（b）中的實線）。這個過程在原子尺度上是不可逆的：在減小的應力作用下，系統(tǒng)將沿著"軟"線回到平衡位置。然而，導致的平衡狀態(tài)在誘發(fā)位錯起作用的前后可以是相同的。這個模型也體現(xiàn)了慢動力現(xiàn)象，這是因為平衡狀態(tài)需要一些時間才能恢復。實際上，粘結點之間的長度是統(tǒng)計分布的，使得滯后回線變光滑（圖3（b）中的虛線）。GL模型的混合模型包括了其它方面的特征如頻率依賴性。盡管有一些不足，這個模型確實是滯后動力行為方面一個開拓性的微觀模型。

圖3 繩形位錯的Granato－Lucke模型Fig.3 Granato－Lucke model of string－like dislocations.

如果我們考慮一個三角形應力－應變曲線（圖3（b）），每個單元（細繩）具有給定的應變，那么在相關平面上幾乎是一個直角三角形回線。這與后面提到的PM空間很相似。確實，如果我們有這些元素的分布，就可以得到與PM空間模型相同的縮放比例（直角三角形而不是矩形）。這意味著PM空間模型中的HMU（滯后細觀單元）可以定性地類似于GL位錯，顆粒之間的接觸面具有切線變形。

對于巖石而言，位錯的作用還不是明顯的。對于一些含非晶質粘結材料如硅土，位錯并不存在。而對于像方解石之類的晶體材料，位錯還是存在的。從能量的角度來說，位錯機制的尺度正好是非線性響應機制的尺度。

4 PM模型——聯(lián)系微觀和宏觀的橋梁

在微觀物理機制和宏觀力學現(xiàn)象之間，往往缺乏一個溝通的中間環(huán)節(jié)，使得從微觀物理機制的假設中推導得到的結果與宏觀力學現(xiàn)象存在較大的偏離，有時甚至完全不能解釋一些宏觀力學現(xiàn)象。因此，在微觀和宏觀之間，有時需要細觀作為過渡和溝通的橋梁。

PM模型就是一個基于巖石細觀尺度的唯象模型。PM模型的主要思想是系統(tǒng)內存在大量的具有滯后性的小單元，這些小單元在性質上有一定的分布規(guī)律，其自身的變化過程共同影響系統(tǒng)并使系統(tǒng)產生非線性滯后效應。這就是滯后細觀單元（HMU），它實際上是巖石中存在的微裂隙、連接點、接觸面、顆粒邊界等復雜的結構特征的抽象簡化。每個個體的HMU的具有一對數(shù)值σ0和σc，分別代表打開和關閉應力。如圖4所示，對于某個給定的HMU，從給定的壓力數(shù)值σ＜σc開始，我們假定狀態(tài)變量r＝1，一直保持這種狀態(tài)，直到σ＝σc時r變?yōu)?；但是，當σ從大于σc的數(shù)值減少到σ0時，狀態(tài)變量r卻沿著另外的路線返回，即r一直保持為0，直到σ＝σ0時才又變?yōu)?。這樣，HMU是滯后的，對不同的打開和閉合應力產生響應，因此單元和作為整體的系統(tǒng)的彈性響應依賴巖石的應力歷史。

圖4 HMU的滯后示意圖Fig.4 Sketch of HMU hysteresis.

一個應力σc時閉合，σ0時打開的HMU位于PM 空間中的點（σc，σ0），設在某個應力σ作用下處于狀態(tài)變量r＝0的HMU占整個HMU數(shù)目的比例為n（E），則相應的應變?yōu)椋?6］

其中α為與細觀彈性材料有關的常數(shù)［6］，這就是具有滯后回線和離散記憶的應力－應變狀態(tài)方程。

巖石滯后非線性的物理機制的探究主要集中于巖石內部的粘結系統(tǒng)。PM模型可以把準靜態(tài)數(shù)據與聲速數(shù)據（動態(tài)應力－應變數(shù)據）聯(lián)系在一起，也就是說，從準靜態(tài)得到的模量可以用來預測動態(tài)模量［27］。通過巖石內部的粘結系統(tǒng)的統(tǒng)計描述，把準靜態(tài)與動態(tài)數(shù)據聯(lián)系了起來。粘結系統(tǒng)被模擬為具有復雜彈性特性的細觀彈性單元的系統(tǒng)，這種復雜彈性特性由實驗數(shù)據所確定，而細觀彈性單元與賦予巖石特性的物理機制之間的關系有待建立。

PM模型可以解釋巖石的滯后和離散記憶等傳統(tǒng)非線性理論難以解釋的現(xiàn)象。PM模型不僅能逼真地模擬各種形態(tài)的應力－應變曲線、“X”形切線模量和泊松比以及離散記憶特征［5］，描述巖石的靜態(tài)模量和動態(tài)模量之間的關系［29］，了解多孔巖石自適應調整的頻率和溫度效應［30］，而且可以用來解釋孔隙流體在波傳播中的影響［25］。在地震波的非線性彈性傳播研究中，PM模型已經成為描述孔隙介質的非線性現(xiàn)象的重要工具。同時它對理解巖石滯后非線性的機制和尺度是很重要的。

5 結語

上述細觀非線性模型可以作為描述巖石和其他固結顆粒材料的非線性聲學特性的基礎，給出了強非線性和非經典現(xiàn)象的解釋。赫茲接觸模型是具有多尺度和滯后特性的經典模型，它預測了巖石中強烈的非線性；軟的粘結系統(tǒng)幾乎決定了巖石的力學性質，粘結系統(tǒng)中的流體對非線性響應的貢獻特別顯著，但是目前還沒有搞清楚粘結系統(tǒng)和和孔隙流體究竟是如何影響非線性響應的；GL模型是一個基于金屬位錯的物理模型，這是滯后動力行為方面一個開拓性的微觀模型，但是在應用于巖石力學非線性行為的時候還需慎重，因為并非所有巖石的位錯作用都是明顯的；PM模型是一個基于巖石細觀尺度的唯象模型，它對理解巖石滯后非線性的機制和尺度是很重要的。此外，現(xiàn)實情況是非常復雜的，實際材料的細觀非線性的物理理論需要更深入的研究。

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