基于PASCO系統(tǒng)的混沌擺實驗

韓曉茹，傅筱瑩，彭可鑫，向 勇，陳建育，金 立

（浙江理工大學 理學院，浙江 杭州310018）

1 引 言

混沌現(xiàn)象亦稱“蝴蝶效應”［1－3］，這種現(xiàn)象普遍存在于物理學、化學、電子學、生物學和社會學等科學領域．近年來許多學者通過非線性電路對混沌行為進行了廣泛地研究，其中最典型的是由美國Berkeley大學的Leon O Chua提出的蔡氏電路 （Chua’s circuit），它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路［4］．但是，采用力學裝置呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象的實踐在國內(nèi)外都相對少見［5］．如果借助原理淺顯、結(jié)構(gòu)簡單的實驗裝置來呈現(xiàn)混沌的特性，可以使學生較好地理解和掌握混沌知識［6］．本文主要完成了基于PASCO系統(tǒng)的混沌擺實驗儀的研制，利用PASCO系統(tǒng)高性能的傳感器采集信號，在計算機科學工作室軟件DataStudio上進行實驗，呈現(xiàn)了混沌的基本特征，并對該過程實現(xiàn)了Matlab數(shù)值模擬．

2 實驗原理與方法

2．1 PASCO系統(tǒng)簡介

PASCO系統(tǒng)是采用傳感器和數(shù)據(jù)采集接口，利用電腦進行控制和數(shù)據(jù)采集的物理實驗系統(tǒng)，主要包括3部分：

1）傳感器．現(xiàn)有傳感器60余種．

2）數(shù)據(jù)采集接口．將傳感器的數(shù)據(jù)通過科學工作室輸入計算機，最高采樣頻率為250 k Hz．

3）數(shù)據(jù)采集軟件．包括240個預設的物理實驗，可進行多種實驗數(shù)據(jù)的顯示形式和處理功能．

2．2 實驗儀構(gòu)建

所需儀器主要由下面幾部分組成：PASCO系統(tǒng)750接口、0～30 V直流穩(wěn)壓電源、圓盤、機械震蕩驅(qū)動器、轉(zhuǎn)動傳感器、偏心銅圓柱、120 cm長鋼桿（2根）、45 cm 長鋼桿（1根）、底座（1個）、細線和彈簧．電源用于輸出驅(qū)動電壓，萬用表可測量對應電壓的實際值．該裝置實物圖見圖1．

圖1 PASCO系統(tǒng)混沌擺實驗儀實物圖

使用DataStudio程序：啟動科學工作室，選擇轉(zhuǎn)動傳感器并連接到模擬通道A，選擇轉(zhuǎn)動傳感器并連接到數(shù)字通道1和2．利用轉(zhuǎn)動傳感器來記錄驅(qū)動力的角頻率和鋁盤的旋轉(zhuǎn)角頻率．選取平滑函數(shù)“Smooth（n，x）”，設置圖表中的橫坐標為角度（rad），縱坐標為角速度（rad／s）．

通過電機的驅(qū)動使曲柄連桿做周期性圓周運動引起圓盤在外力的作用下做混沌擺運動，轉(zhuǎn)動傳感器記錄它的運動并傳輸?shù)接嬎銠C進行處理，描繪出圖像．

2．3 實驗原理

混沌擺的動力學方程［7］為

其中磁阻尼系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，θ表示轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)角；ΔL0是初始位置時彈簧伸長，Lc0和Lc分別為初始時刻和t時刻外部策動振幅，

式中φ0為初始相角，ω為策動力角速度，Ac為策動振幅，La和Lb表示外部策動力與轉(zhuǎn)輪的距離．為方便討論動力學性質(zhì)，式（1）可改寫為如下的標準一階微分方程形式：

式中轉(zhuǎn)輪的內(nèi)外半徑分別為r，R，質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)輪圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I＝MR2／2，Ic為偏心銅圓柱的轉(zhuǎn)動慣量，ΔL＝Lc－Lc0＋ΔL0，Ac，ω和θ的初始值作為系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)參量．為簡單起見，對系統(tǒng)動力學性質(zhì)沒有影響的彈簧初始伸長和外部策動力的初相位分別取ΔL0＝0，φ0＝11π／18．

當無外部策動力（ΔL＝0）和磁阻尼系數(shù)（μ＝0）時，該裝置構(gòu)成保守動力學系統(tǒng)．式（4）簡化為

系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌時，系統(tǒng)對初始值不敏感．

當有外部策動力和阻尼存在時，該系統(tǒng)成為耗散動力學體系，表現(xiàn)出許多復雜的動力學性質(zhì)，這些性質(zhì)依賴于驅(qū)動振幅Ac、振動頻率ω和轉(zhuǎn)動初始角θ等可調(diào)節(jié)實驗參量．具備了產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的基本條件［8］：方程右側(cè)至少有1個非線性項；至少有3個變量．

為方便理解混沌現(xiàn)象，對上述動力學方程應用Matlab作了數(shù)值模擬，定義pi表示圓周率π．當無外部策動力（ΔL＝0）時，系統(tǒng)在不同的初始角度θ＝pi／6，pi／4，pi／2下的數(shù)值模擬圖像如圖2所示．由圖可知，當系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌時，系統(tǒng)對初始值不敏感．外部策動力條件下，不同條件下的系統(tǒng)相圖如圖3所示．同理，在實驗中通過改變參量出現(xiàn)的雙周期、三周期、多周期這些特殊的圖像通過數(shù)值模擬也能實現(xiàn)，如圖4所示．

圖2 無外部策動力時的系統(tǒng)相圖

圖3 有外部策動力時的系統(tǒng)相圖

圖4 不同條件下的特殊相圖

從數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)動力學性質(zhì)依賴于驅(qū)動振幅Ac和振動頻率ω．對于一個非線性系統(tǒng)，依次改變系統(tǒng)的參量，可以出現(xiàn)從無序向有序的轉(zhuǎn)變，有序程度不斷增加的轉(zhuǎn)變，最后出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．

3 PASCO系統(tǒng)混沌狀態(tài)測試

已測參量：轉(zhuǎn)輪外半徑R＝0．048 m，內(nèi)半徑r＝0．024 m，質(zhì)量M＝0．118 2 kg，偏心銅圓柱質(zhì)量m＝0．014 5 kg，L＝0．048 m，彈簧勁度系數(shù)k1＝k2＝2．4 N·m－1，La＝0．05 m，Lb＝0．16 m．

從混沌擺的相軌跡（PASCO儀器上呈現(xiàn)的相圖）很容易判斷是否為混沌運動，為方便比較混沌現(xiàn)象，特定幾個特殊的初始相位，即φ0．

3．1 無驅(qū)動情況

改變擺角初始值，為θ＝0°，20°，40°．實驗結(jié)果如圖5所示．從相位圖表現(xiàn)可知在無驅(qū)動時混沌擺作振幅衰減運動，當系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌時，系統(tǒng)對初始值不敏感．

圖5 無驅(qū)動狀態(tài)混沌現(xiàn)象

3．2 有源驅(qū)動情況

3．2．1 固定驅(qū)動電壓

驅(qū)動一定（V＝5．2 V）的情況下，改變擺角初始值分別為θ＝100°，135°，150°．實驗結(jié)果如圖6所示．相位圖表現(xiàn)為混沌現(xiàn)象，并且各個初值對應的相位圖差異很大．比較圖6發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)從雙吸引子逐漸向單吸引子改變，當系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時，系統(tǒng)對初始值很敏感．

圖6 固定驅(qū)動狀態(tài)混沌現(xiàn)象

3．2．2 可變驅(qū)動電壓

逐漸增大驅(qū)動電壓，從而增加驅(qū)動頻率下得到如圖7所示的相位變化圖．從實驗結(jié)果可知，在一定范圍內(nèi)當混沌擺的驅(qū)動電壓越大時驅(qū)動頻率越大，系統(tǒng)的運動越趨于復雜．當驅(qū)動電壓較小時，如1周期、2周期所示結(jié)果都是周期運動的相圖．當驅(qū)動電壓達到一定時就出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，如單吸引子與雙吸引子所示結(jié)果就是混沌現(xiàn)象的相圖．

圖7 可變驅(qū)動狀態(tài)混沌現(xiàn)象

由單吸引子與雙吸引子現(xiàn)象可知，當驅(qū)動頻率達到一定值時系統(tǒng)從周期運動逐漸出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．當角度初始值稍微改變時系統(tǒng)的運動情況卻變化很大，可以出現(xiàn)混沌運動，也可以出現(xiàn)周期運動，這就是混沌系統(tǒng)的初值敏感性的基本特征．

觀察奇異吸引子相圖，當相圖存在吸引子現(xiàn)象時，吸引子首先由外向內(nèi)繞若干圈，轉(zhuǎn)到圓心附近時將隨機跳躍，繼續(xù)向內(nèi)繞若干圈后再突然跳回原來的循環(huán)．對應于混沌擺的實際運動，則是銅圓柱時而做周期運動時而角度超過360°，有時可以一直不停旋轉(zhuǎn)多圈，然后再作周期運動．盡管無法預料軌跡將在何時從一邊跳到另一邊，但是相軌道總不會超出邊界，也絕不會自相重復．

通過上述實驗的手段，依次改變PASCO混沌擺系統(tǒng)的參量，系統(tǒng)由穩(wěn)定有序逐漸失穩(wěn)，開始分岔，系統(tǒng)由有序到無序．同時可以出現(xiàn)從無序向有序的轉(zhuǎn)變，隨著有序程度不斷地增加，最后會觀察到混沌現(xiàn)象，從而可得出結(jié)論：混沌是一種確定的系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的有序運動．

4 結(jié)束語

基于PASCO系統(tǒng)設計了受周期外力驅(qū)動的混沌擺，采用轉(zhuǎn)動傳感器采集數(shù)據(jù)，并用Matlab進行了數(shù)值模擬．基于PASCO系統(tǒng)開發(fā)傳統(tǒng)實驗，其實驗內(nèi)容融合了激光技術、傳感器技術、信息存儲和光電技術應用［9－10］等，可以培養(yǎng)學生的實驗能力、分析與研究能力，提高創(chuàng)新能力，并使學生在自主學習和訓練過程中可以檢驗自己的能力，展示個性才華，使綜合實驗能力得到提高．

［1］ Mccauley J L．Nonlinear dynamics and chaos theory［M］．Stockholm：Royal Swedish Academy of Sciences Press，1991：52－85．

［2］ 梁勇，溫吉華．將混沌引入大學物理教學的探討［J］．滁州學院學報，2005，7（4）：99－101．

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［4］ Chua L O，Wu Chaiwah，Huang Anshan，et al．A universal circuit for studying and generating chaos——part II：Strange attractors［J］．IEEE Transactions on Circurts and Systems，1993，40（10）：745－761．

［5］ 李明，于艷春，李冠成，等．混沌理論及現(xiàn)象實驗儀的研制［J］．實驗技術與管理，2005，22（1）：59－64．

［6］ 程敏熙，曾碧芬，劉惠娜，等．周期性外力驅(qū)動的混沌擺［J］．物理實驗，2009，29（1）：7－13．

［7］ 朱桂萍，王?。煦鐢[系統(tǒng)的動力學分析和數(shù)值模擬［J］．揚州大學學報（自然科學版），2008，11（3）：27－30．

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［9］ 朱海平．PASCO實驗在物理教學中的應用［J］．麗水學院學報，2007，29（2）：89－91．

［10］ 彭東青，劉志高，黃宏緯．基于PASCO系統(tǒng)的物質(zhì)折射率測量［J］．物理實驗，2008，28（2）：33－35．