彎曲共振法測(cè)量材料的楊氏模量實(shí)驗(yàn)改進(jìn)

徐嘉彬，袁海甘，吳鴻斌，歐超豪，周曉明

（華南理工大學(xué) 物理學(xué)院 物理系，廣東 廣州510640）

1 共振法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)原理

共振法測(cè)楊氏模量是以自由梁的振動(dòng)分析理論為基礎(chǔ)的，通過分析自由梁的固有頻率，導(dǎo)出楊氏模量的計(jì)算公式：

式中的l，d和m分別為圓截面試件的長(zhǎng)度、直徑和質(zhì)量，f為試件的基頻諧振頻率．由此，共振法測(cè)楊氏模量的關(guān)鍵是如何測(cè)量振動(dòng)體的基頻諧振頻率f．

基頻諧振頻率的測(cè)量裝置如圖1所示．

圖1 測(cè)量裝置原理圖

圓截面試件放在2個(gè)距離可調(diào)的刀口上，刀口間距離大致為試件2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離．

將音頻信號(hào)發(fā)生器輸出的等幅電信號(hào)加到電動(dòng)式激振器上，使電信號(hào)變?yōu)殡妱?dòng)式激振器的機(jī)械振動(dòng)，通過激振器刀口傳到試件上，激勵(lì)試件做受迫振動(dòng)．在自由梁的另一端設(shè)置電動(dòng)式拾振器，它可把試件的機(jī)械振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)．該信號(hào)經(jīng)放大后，傳輸?shù)绞静ㄆ鳎靡燥@示振動(dòng)波形和振動(dòng)信號(hào)的大?。妱?dòng)式激振器輸入電信號(hào)的頻率可在音頻信號(hào)發(fā)生器的數(shù)字頻率表上讀出．

試件的共振狀態(tài)是通過調(diào)節(jié)電動(dòng)激振器輸入電壓信號(hào)的頻率來實(shí)現(xiàn)的．當(dāng)音頻信號(hào)發(fā)生器的輸出信號(hào)頻率調(diào)到等于試件的固有頻率時(shí)，試件發(fā)生共振．在這種狀態(tài)下，示波器顯示的振動(dòng)波形幅度驟然增大，這時(shí)音頻信號(hào)發(fā)生器頻率計(jì)上顯示的頻率即為試件在該條件下的共振頻率f．

2 實(shí)驗(yàn)中存在的問題

在實(shí)驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)了以下幾點(diǎn)問題：

1）水平問題．共振法測(cè)楊氏模量是以自由梁的振動(dòng)分析理論為基礎(chǔ)的，被測(cè)試件水平與否會(huì)影響自由梁的狀態(tài)．實(shí)驗(yàn)中通過調(diào)節(jié)測(cè)量?jī)x底座上的水平調(diào)節(jié)螺釘達(dá)到水平，但難以判斷2個(gè)刀口是否水平．此外，工件的老化亦使兩刀口不一定處于同一水平面．

2）共振階數(shù)問題．實(shí)驗(yàn)中通過測(cè)量試件的一階共振頻率，再代入計(jì)算公式得到楊氏模量．然而在同一測(cè)量位置上可存在高階的共振，在調(diào)節(jié)音頻信號(hào)發(fā)生器輸出時(shí)，調(diào)節(jié)過快可能錯(cuò)過一階共振頻率，從而導(dǎo)致測(cè)量頻率非一階化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．在不知試件楊氏模量大小的情況下，難于判斷共振處于第幾階，因此需要方法辨別采樣信號(hào)是第幾階共振信號(hào)．

3）共振頻率點(diǎn)附近的振動(dòng)問題．實(shí)驗(yàn)中先將音頻信號(hào)發(fā)生器的輸出電壓調(diào)到最大，在粗調(diào)輸出頻率時(shí)，示波器顯示的振動(dòng)信號(hào)在一定的范圍會(huì)出現(xiàn)波形幅度增大或失真，本實(shí)驗(yàn)就是通過在此范圍中，減小音頻發(fā)生器輸出電壓，微調(diào)輸出頻率，從而測(cè)得共振頻率．在實(shí)驗(yàn)過程中，我們發(fā)現(xiàn)一階型的測(cè)量范圍較窄，在調(diào)節(jié)旋鈕過快時(shí)容易錯(cuò)過共振頻率點(diǎn)．

3 改進(jìn)方法

3．1 水平問題的改進(jìn)

由于處于共振時(shí)刀口振幅較大，徹底消除水平問題難以辦到．對(duì)于工件老化引起的水平偏差，我們采取臺(tái)座水平可觀測(cè)的方式，在電動(dòng)式激振器和電動(dòng)式拾振器上加高度調(diào)節(jié)的機(jī)能，使高度能根據(jù)所放的位置進(jìn)行調(diào)節(jié)，如圖2所示．

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置水平調(diào)節(jié)改進(jìn)

先調(diào)整臺(tái)座水平，在臺(tái)座上導(dǎo)軌標(biāo)尺中央固定安裝水平儀，調(diào)整臺(tái)座三腳旋鈕使之水平．在刀口上放置被測(cè)量的銅棒需要達(dá)到受力平衡狀態(tài)以及處于水平狀態(tài)才能夠進(jìn)行測(cè)量．在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，儀器上的刀口是可以左右旋動(dòng)的，因此對(duì)銅棒的擺放會(huì)有影響．一般來說，如果激振器和拾振器的高度相同，那么銅棒會(huì)處于水平狀態(tài)，但是，憑肉眼很難判斷．因此，可以用水平儀來判斷激振器和拾振器的高度是否一致．對(duì)激振器和拾振器的刀口來說，可用長(zhǎng)100 mm或者150 mm的條式水平儀．考慮到刀口的受力面積較小，因此可在水平儀和刀口之間架一塊面積合適的水平的薄板，用于承載水平儀．

3．2 共振階數(shù)的判斷

可采取幾種方法判斷共振階數(shù)：

1）頻率比值法．均質(zhì)等截面兩端自由梁作橫向振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)方程為

用分離變量法，令y（x，t）＝Y(jié)（x）T（t），可解得

式中

式（3）對(duì)于任意形狀截面和不同邊界條件的試件都是成立的．如果放置試件的2個(gè)刀口處在試件的節(jié)點(diǎn)附近，則兩端自由梁的邊界條件為橫向作用力F和彎矩M 均為0，即

將通解代入邊界條件，可得

用數(shù)值解法可得本征值K和試件長(zhǎng)度l的乘積應(yīng)滿足

把相應(yīng)的值代入式（4）中，可得

則對(duì)于采樣的結(jié)果，可以根據(jù)上述比例進(jìn)行振動(dòng)級(jí)次的辨別．

2）估算鑒別法．可以預(yù)先根據(jù)楊氏模量值的大致范圍，按計(jì)算公式反推出共振頻率，在此頻率值附近尋找共振信號(hào)．一般來說，如果在可能的1個(gè)頻率范圍內(nèi)，只有1個(gè)共振峰，則多半就是所要找的共振信號(hào)．

3）聽診法．基頻和各次級(jí)諧振波振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和位置都不同，如果能夠確定節(jié)點(diǎn)的位置和數(shù)目，就可確定振動(dòng)的級(jí)次．但由于試樣振幅一般很小，無法用肉眼觀察，故需要用到間接法，這里采用了聽診法：用醫(yī)用聽診器接近試樣但不接觸試樣，從試樣的一端到另一端，一邊移動(dòng)一邊聽，在波峰處可以聽見最強(qiáng)的振動(dòng)聲，波節(jié)處聲音最弱，以此判斷節(jié)點(diǎn)數(shù)及位置．

3．3 頻率測(cè)量范圍的討論

由于一階型存在測(cè)量范圍窄的問題，在此查看二階的振動(dòng)情況，當(dāng)n＝2時(shí)，K2＝7．853，代入（4）式，可得

對(duì)于等圓截面棒狀的試件，

根據(jù)計(jì)算，當(dāng)n＝2時(shí)，節(jié)點(diǎn)位置在0．132l，0．500l和0．868l處．在二階振動(dòng)的情況中，選取了0．132l和0．868l兩處節(jié)點(diǎn)進(jìn)行和一階型相同的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其測(cè)量范圍相對(duì)較寬．

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)量分析

采用南京慧波理工科教儀器研究所制作的DY－D99型多功能動(dòng)態(tài)楊氏模量測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)量，以YXY－2型音頻信號(hào)發(fā)生器作為信號(hào)輸出．

4．1 一階共振法測(cè)量楊氏模量

實(shí)驗(yàn)中測(cè)試樣品為一長(zhǎng)圓銅棒，棒長(zhǎng)為l＝（28．40±0．01）cm，直徑d＝（5．91±0．02）mm，質(zhì)量m＝（70．259±0．002）g，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1．

表1 圓銅棒基頻共振頻率（x＝0對(duì)應(yīng)0．224l）

由表1數(shù)據(jù)通過Matlab進(jìn)行線性擬合，得到刀口位置與共振頻率的關(guān)系曲線，在節(jié)點(diǎn)0．224l即x＝0處，得到基頻共振頻率，其對(duì)應(yīng)的頻率值為f＝230．93 Hz．把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入（1）式，得到楊氏模量E＝1．129×1011N／m2，利用不確定度傳遞公式可得，不確定度為ΔE＝0．02×1011N／m2．求出銅棒試樣楊氏模量測(cè)量為E＝（1．13±0．02）×1011N／m2．

4．2 二階共振法測(cè)量楊氏模量

受實(shí)驗(yàn)儀器的限制，在測(cè)量二階共振狀態(tài)時(shí)，選擇以步長(zhǎng)5 mm進(jìn)行測(cè)量．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2．

通過表2中數(shù)據(jù)通過Matlab軟件進(jìn)行線性擬合，得到二階時(shí)銅棒試樣的共振頻率為f＝646．32 Hz．

表2 圓銅棒二階共振頻率（x＝0對(duì)應(yīng)0．132l）

把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入（11）式，求出楊氏模量E＝1．164×1011N／m2，利用不確定度傳遞公式計(jì)算相對(duì)不確定度不確定度為ΔE＝0．01×1011N／m2．二階共振測(cè)量銅棒試樣楊氏模量為E＝（1．16±0．01）×1011N／m2．

從上面計(jì)算結(jié)果可以看出，一、二階共振測(cè)量結(jié)果均接近試樣實(shí)際值1．1×1011N／m2，二階測(cè)量方法不確定度較?。?/p>

4．3 測(cè)量范圍記錄

實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表3～4所示，比較可知，二階模式中振動(dòng)劇烈的范圍明顯擴(kuò)大，利于在較大范圍內(nèi)尋找到共振頻率點(diǎn)．

表3 一階模式中振動(dòng)劇烈的范圍（x＝0對(duì)應(yīng)0．224l）

表4 二階模式中振動(dòng)劇烈的范圍（x＝0對(duì)應(yīng)0．132l）

5 結(jié) 論

從測(cè)量范圍記錄看，二階測(cè)量范圍相對(duì)較寬，在測(cè)量時(shí)能在較大范圍內(nèi)出現(xiàn)示波器波形劇烈振動(dòng)，而一階測(cè)量范圍較窄，在測(cè)量過程中易被漏掉導(dǎo)致測(cè)錯(cuò)．多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果與上面分析相似，一、二階共振法測(cè)得的楊氏模量值均較為接近實(shí)際值，二階共振法由于測(cè)量所在頻段較高，不確定度均小于一階結(jié)果．因此在實(shí)驗(yàn)的操作性和數(shù)據(jù)獲取的準(zhǔn)確度上，選用共振二階型態(tài)測(cè)量楊氏模量較有優(yōu)勢(shì)．至于辨別共振階數(shù)，聽診法和比值法均能有效地辨別共振狀態(tài)所在的階數(shù)，而估算法能很好地對(duì)已知楊氏模量的試樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)和指導(dǎo)．

［1］ 李艷琴，趙紅艷，李學(xué)慧，等．動(dòng)力學(xué)共振法測(cè)量固體楊氏模量［J］．實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2009，28（10）：17－18．

［2］ 段卓琦．金屬楊氏模量的動(dòng)態(tài)法測(cè)量研究［Z］．大理：大理學(xué)院物理與電子信息學(xué)院．

［3］ 倪新蕾．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］．廣州：華南理工大學(xué)出版社，2007．