論行星運(yùn)動(dòng)時(shí)其向心力與萬(wàn)有引力間的關(guān)系

葉玉琴

(安慶市第二中學(xué) 安徽 安慶 246000)

1 問(wèn)題的由來(lái)

偶聽(tīng)一次我校高一物理公開課“太陽(yáng)與行星間的引力”，在“思考與討論”環(huán)節(jié)中有這樣一道題.

【題目】 地球等行星的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為橢圓，如圖1所示.那么在近日點(diǎn)A，行星所受太陽(yáng)的引力比它轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所需的向心力大還是?。吭谶h(yuǎn)日點(diǎn)B呢？

授課教師是這樣分析的：考慮近日點(diǎn)A時(shí)，作出過(guò)A點(diǎn)的繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的圓軌道，如圖虛線圓1.與圓軌道1相比，地球的橢圓運(yùn)動(dòng)是離心運(yùn)動(dòng)，即在A點(diǎn)，地球的萬(wàn)有引力小于它的向心力；同理，在遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)，作出過(guò)B點(diǎn)的繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的圓軌道，如圖虛線圓2.與圓軌道2相比，地球的橢圓運(yùn)動(dòng)是近心運(yùn)動(dòng)，即在B點(diǎn)，地球的萬(wàn)有引力大于它的向心力.

圖1

此分析得到了大部分教師的支持，但筆者和部分教師對(duì)此分析提出質(zhì)疑，認(rèn)為行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的向心力均等于它受到的萬(wàn)有引力；因而引發(fā)了一場(chǎng)爭(zhēng)論.

2 爭(zhēng)論的焦點(diǎn)

繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的行星“在近日點(diǎn)A的向心力大于萬(wàn)有引力、在遠(yuǎn)日點(diǎn)B的向心力小于萬(wàn)有引力”還是“行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的向心力均等于它受到的萬(wàn)有引力”？

作為“前者觀點(diǎn)”的反方代表，筆者深入地思考了這個(gè)問(wèn)題，并從以下幾個(gè)方面詳盡地論證了行星運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力與萬(wàn)有引力間的關(guān)系.

3 歸謬論證

假定“繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的行星在近日點(diǎn)A萬(wàn)有引力小于向心力、在遠(yuǎn)日點(diǎn)B萬(wàn)有引力大于向心力”這個(gè)觀點(diǎn)正確.令太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為r1，遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為r2，同時(shí)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的軌道曲率半徑相等，用r表示，行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v1，v2，則有

(1)

(2)

由(1)、(2)式必得出

r1v1>r2v2

顯然這個(gè)結(jié)論與開普勒第二定律相矛盾，也即說(shuō)明假定是不成立的.

反之，若“行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的向心力均等于它受到的萬(wàn)有引力”這個(gè)觀點(diǎn)正確，那么就有

(3)

(4)

由(3)、(4)式可以得出

r1v1=r2v2

這與開普勒第二定律在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的特殊表達(dá)式相符合，說(shuō)明“行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的向心力均等于它受到的萬(wàn)有引力”這個(gè)觀點(diǎn)可能是正確的.

4 引用論證

引用1：如圖2所示，做圓周運(yùn)動(dòng)的沙袋正在加速的情況，F(xiàn)是繩對(duì)沙袋的拉力.根據(jù)F產(chǎn)生的效果，可以把F分解為兩個(gè)相互垂直的分力:跟圓周相切的分力Ft和指向圓心的分力Fn.Ft產(chǎn)生圓周切線方向的加速度，簡(jiǎn)稱為切向加速度.切向加速度是與物體的速度方向一致的，它改變了物體速度的大小.Fn產(chǎn)生指向圓心的加速度，這就是向心加速度，它始終與速度方向垂直，其表現(xiàn)就是改變了速度的方向.

圖2

運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線，也不是圓周的曲線運(yùn)動(dòng)，可以稱為一般曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3所示.盡管這時(shí)曲線各個(gè)地方的彎曲程度不一樣，但在研究時(shí)，可以把這條曲線分割為許多極短的小段，每一段都可以看作一小段圓弧.這些圓弧的彎曲程度不一樣，表明它們具有不同的半徑.注意到這點(diǎn)之后，在分析質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)曲線上某位置的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法進(jìn)行處理了[1].

這段引用材料清楚地表明：一般曲線運(yùn)動(dòng)(自然包含橢圓運(yùn)動(dòng))中，合外力在指向圓心方向的分力即始終與速度方向垂直的Fn就是向心力.在地球繞太陽(yáng)的橢圓運(yùn)動(dòng)中，其中近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，地球受到太陽(yáng)的萬(wàn)有引力恰好垂直速度方向且指向太陽(yáng)，即此時(shí)萬(wàn)有引力的切線分力為零，也就是說(shuō)萬(wàn)有引力既是合外力又是向心力[1].

圖3

這段引用材料的觀點(diǎn)與材料“引用1”的觀點(diǎn)完全相同，只不過(guò)表述方式有所不同；是通過(guò)在自然坐標(biāo)系中用矢量形式表達(dá)，并且還引入了曲率圓和曲率半徑的概念.

引用3：[例題][3]低速迫擊炮彈以發(fā)射角45°發(fā)射，其初速率v0=90 m/s，在與發(fā)射點(diǎn)同一水平面上落地，不計(jì)空氣阻力，求炮彈在最高點(diǎn)和落地點(diǎn)其運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率.

解:將炮彈視作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，炮彈作拋體運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線.如圖4所示.

圖4

在直角坐標(biāo)系xOy中，炮彈運(yùn)動(dòng)的速度與加速度為

v=v0cosαi+(v0sinα-gt)j

a=g=-gj

式中i，j分別為x，y方向的單位矢量.

(1)在最高點(diǎn)，vy=v0sinα-gt=0.所以

v=v0cosαi

以投射處為坐標(biāo)原點(diǎn)，按拋物線軌跡建立自然坐標(biāo)系，以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?在最高點(diǎn)，切向單位矢量τ與i方向一致，法向單位矢量n與j方向相反.故

v=v0cosααn=g

因?yàn)?/p>

所以

把已知數(shù)據(jù)v0=90 m/s,α=45°和g=9.8 m/s2代入可得

所以

將已知數(shù)據(jù)代入，得

在這段引用材料中，不難看出，它直接在使用材料“引用1”中所闡明的觀點(diǎn)：合外力在指向圓心方向的分力即始終與速度方向垂直的Fn就是向心力.在本例中的“最高點(diǎn)”時(shí)，重力與速度垂直，故題解中有αn=g.在“落地點(diǎn)”時(shí)，重力與速度夾45°，所以題解中有an=gcos(-45°).

以上三個(gè)引用材料都能說(shuō)明一個(gè)觀點(diǎn)，即在任意曲線運(yùn)動(dòng)(當(dāng)然包括橢圓運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng))中，物體受到的合外力在垂直速度方向上的分力就等于物體在該處的向心力，而行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)，合外力即萬(wàn)有引力恰好垂直速度方向，即無(wú)切向分力，也就是說(shuō)此時(shí)行星的合外力即萬(wàn)有引力全部充當(dāng)向心力.

5 推理論證

假設(shè)某質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，半焦距為c，證明此行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的向心力與太陽(yáng)對(duì)它的萬(wàn)有引力相等.設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，引力常量為G.

圖5

(1)求v1，v2.

根據(jù)機(jī)械能守恒定律及開普勒第二定律，可列式如下

(1)

(a-c)v1=(a+c)v2

(2)

由以上兩式可解得

(2) 求曲率半徑ρ.

(3)求向心力Fn.

將前面(1)問(wèn)中求得的近日點(diǎn)速度v1、遠(yuǎn)日點(diǎn)速度v2以及(2)問(wèn)中求得的近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)處的曲率半徑ρ代入向心力公式，即行星在近日點(diǎn)的向心力為

行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的向心力為

由橢圓的基本性質(zhì)知橢圓半長(zhǎng)軸a、半短軸b、半焦距c三者之間的關(guān)系為a2=b2+c2.

所以行星在近日點(diǎn)的向心力

即等于行星在近日點(diǎn)的萬(wàn)有引力

行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的向心力

即等于行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的萬(wàn)有引力

以上表明，繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的向心力均等于它受到的萬(wàn)有引力.但除此兩點(diǎn)之外的其它任一位置，它的向心力均不等于它受到的萬(wàn)有引力，而是等于它受到的萬(wàn)有引力在垂直于速度方向即法向上的分量.

更一般的結(jié)論是，作任意曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)任一位置時(shí)，它所受到的合外力在法向的分力即為該點(diǎn)的向心力.

6 檢驗(yàn)論證

將質(zhì)量為m的物體以初速度v0水平拋出，不計(jì)空氣阻力.以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、初速度v0的方向?yàn)閤軸正方向、豎直向下方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，則物體m的軌跡方程為

那么在拋出點(diǎn)的向心力

即物體m在拋出點(diǎn)的向心力等于它的重力mg.

在平拋運(yùn)動(dòng)的其它任意位置，同樣可得到重力在法向上的分量與該位置的向心力相等的結(jié)論，證明略.

這再一次表明：作任意曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)任一位置時(shí)，它所受到的合外力在法向的分力即為該點(diǎn)的向心力.

參考文獻(xiàn)

1 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理·必修2.北京：人民教育出版社，2004.54

2 倪致祥，朱永忠，袁廣宇，黃時(shí)中.大學(xué)物理學(xué)·上冊(cè).合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2007.21～22

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1986.43～44