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    巧用圓討論力的合成和分解問(wèn)題

    2011-01-24 02:43:14程柱建
    物理通報(bào) 2011年1期
    關(guān)鍵詞:定則分力畫圓

    程柱建

    (如皋中學(xué) 江蘇 如皋 226500)

    力的合成與分解遵循平行四邊形定則或三角形定則,有時(shí)巧用圓可以有效地討論有關(guān)力的合成和分解的解數(shù)、極值、大小和方向等問(wèn)題.

    1 求解數(shù)

    【例1】如圖1,已知合力F和一個(gè)分力F1的方向以及另一個(gè)分力F2的大小(F2的大小可根據(jù)解題需要自取),問(wèn)F可以分解為幾組分力?

    分析:以合力F的箭頭為圓心,以分力F2的大小為半徑畫圓.由于分力F1的方向確定,所以這個(gè)圓會(huì)與F1的作用線不相交、相切或相交三種情況,如圖2.根據(jù)三角形定則,F(xiàn)1、F2的交點(diǎn)指向合力,箭頭的有向線段表示分力F2.當(dāng)F2F時(shí)有一組解;當(dāng)Fsinθ

    圖1 圖2

    【例2】已知合力F和兩個(gè)不平行分力F1、F2的大小.三力的大小的關(guān)系滿足

    |F1-F2|

    問(wèn)F可以分解為幾組分力?

    圖3

    分析:如圖3,以F的始端、末端為圓心,分別以F1、F2的大小為半徑畫圓,兩圓有兩個(gè)交點(diǎn),這時(shí),F(xiàn)分解為F1、F2有兩組解.由于兩分力沒(méi)有被限制在紙平面內(nèi),現(xiàn)以F為轉(zhuǎn)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn),得到兩分力的方向有無(wú)數(shù)組解.

    2 找極值

    【例3】 (1)已知合力F和一個(gè)分力F1的方向,求另一個(gè)分力F2的最小值.

    (2)已知合力F的方向和一個(gè)分力F1,求另一個(gè)分力F2的最小值.

    分析:(1)此題情境同例1中圓與F1相切的情況,這時(shí)兩分力垂直,F(xiàn)2的最小值等于Fsinθ.

    (2)如圖4所示,以分力F1的箭頭為圓心畫與F作用線相切的圓,即F2與F垂直時(shí)F2最小,最小值為F1sinθ.

    圖4 圖5

    【例4】一個(gè)物體受到兩個(gè)共點(diǎn)力F1、F2的作用,兩個(gè)力間的夾角可以變化,其中F1=100 N,F(xiàn)2=200 N.當(dāng)兩個(gè)力的合力F與F2之間的夾角最大時(shí),合力F為多大?

    分析:如圖5所示,以F2的箭頭為圓心,F(xiàn)1的大小為半徑畫圓.根據(jù)三角形定則,連接F2始端、F1末端的有向線段表示合力F.旋轉(zhuǎn)F1,改變F1和F2的夾角,動(dòng)態(tài)地觀察合力F與F2之間的夾角變化情況.當(dāng)F與圓相切時(shí),F(xiàn)與F2之間的夾角最大.此時(shí)

    3 比大小

    【例5】?jī)蓚€(gè)分力F1、F2的大小不變,當(dāng)夾角從零增大到180°的過(guò)程中,求合力F大小的變化.

    分析:如圖6,保持F2不變,以F2的箭頭為圓心,以F1的大小為半徑畫圓,隨著兩分力夾角的增大,能清楚地看到合力F大小的變化情況,即θ增大,F(xiàn)減小.

    圖6

    【例6】若兩個(gè)力F1、F2的夾角為α(90°<α<180°),且α保持不變,則

    A.一個(gè)力增大,合力一定增大

    B.兩個(gè)力都增大,合力一定增大

    C.兩個(gè)力都增大,合力可能減小

    D.兩個(gè)力都增大,合力的大小可能不變

    分析:為了方便比較,以兩力作用點(diǎn)O為圓心,以原合力F的大小為半徑畫圓,從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出:當(dāng)F1增大到F1′,F(xiàn)2增大到F2′時(shí),合力F的大小可能減小、不變或增大,同理可知一個(gè)力增大時(shí)合力的變化也存在以上三種可能.

    選項(xiàng)C、D正確.

    圖7

    4 看方向

    【例7】橡皮條的一端固定在A點(diǎn),另一端同時(shí)作用兩個(gè)力,使橡皮條伸長(zhǎng)到O位置,這時(shí)兩個(gè)力F1、F2與OA夾角分別為α、β,如圖8所示(F1與F2間的夾角為銳角).現(xiàn)保持F2大小不變,β角減小一些,并仍保持橡皮條伸長(zhǎng)到O位置.下列說(shuō)法中可能發(fā)生的是

    圖8

    A.α減小,F(xiàn)1增大 B.α不變,F(xiàn)1增大

    C.α增大,F(xiàn)1增大 D.α增大,F(xiàn)1減小

    分析: 根據(jù)三力的平衡條件,F(xiàn)1、F2的合力F沿OA延長(zhǎng)線的方向,利用平行四邊形定則可以畫出F.三個(gè)力中,F(xiàn)2大小不變,合力F的大小、方向不變(因?yàn)橐3窒鹌l伸長(zhǎng)到O位置).

    如圖9,以O(shè)點(diǎn)為圓心,以F2的大小為半徑畫圓,初始F2的箭頭與圓交于B點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作初始F1的平行線,與圓交于C點(diǎn),C點(diǎn)是F1方向變化的臨界點(diǎn).當(dāng)F2的箭頭沿圓弧BC左移時(shí),α角比初始值??;F2指向C點(diǎn)時(shí),α角等于初始值;F2的箭頭沿圓弧從C點(diǎn)左移時(shí),α角比初始值大.連接F2箭頭和F箭頭的有向線段表示F1,可以看出在β角減小的過(guò)程中F1一直增大.

    選項(xiàng)A、B、C正確.

    圖9

    總之,在力大小不變,方向不確定時(shí),利用圓與平行四邊形定則或三角形定則,往往可以便捷地討論力的合成與分解問(wèn)題.本文對(duì)圓的使用技巧也可以遷移到其他矢量的合成與分解的應(yīng)用中;如“小船過(guò)河”問(wèn)題中,當(dāng)v船

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