股指時間序列的分形插值模型與R／S分析

王宏勇，張青格

（南京財經(jīng)大學 應(yīng)用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046）

股指時間序列的分形插值模型與R／S分析

王宏勇，張青格

（南京財經(jīng)大學 應(yīng)用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046）

運用分形插值模型和R／S分析法研究股指時間序列的變化規(guī)律和結(jié)構(gòu)特征，通過建立分形插值模型刻畫上證綜合指數(shù)在一定時間內(nèi)的變化規(guī)律，并預測其在短期內(nèi)的指數(shù)走勢。使用R／S分析法和Hurst指數(shù)，分析了上證綜指的結(jié)構(gòu)特征，指出市場具有狀態(tài)持續(xù)性和分形分布等統(tǒng)計特征。

分形插值；股指時間序列；R／S分析

一、引 言

股票價格的變化是極其復雜的，分形學的創(chuàng)始人Mandelbrot對股價的變化做了深入的研究，發(fā)現(xiàn)股票價格的變化曲線具有分形特征。Peters將混沌和分形統(tǒng)計的概念引入資本市場研究中，提出了分形市場假說，它突破了有效市場理論的獨立、正態(tài)和線性等假設(shè)，為重新認識金融市場復雜的非線性本質(zhì)特征提供了一個新的范式［1］39－85。分形 R／S分析法對揭示金融市場的長期記憶性、分形統(tǒng)計結(jié)構(gòu)等特征提供了一個穩(wěn)健的分析技術(shù)。黃詒蓉利用R／S分析法研究中國股票市場收益率序列的狀態(tài)持續(xù)性［2］58－79。周洪濤等對上海股市的月、周、日收益率序列進行了研究，說明上海股市具有非線性特征［3］。申富饒等運用分形插值方法對股票的價格進行了分析和預測［4］。為了建立合理的分形插值模型對金融時間序列進行分析，本文在Mazel和Hayes研究的基礎(chǔ)上提出了一種新的計算迭代函數(shù)系縱向尺度因子的方法，以此建立了一種仿射分形插值模型［5］。以上證綜合指數(shù)為例，利用仿射分形插值模型模擬了股指序列的變化規(guī)律，預測了股指在短期內(nèi)的變化趨勢。最后運用R／S分析法和Hurst指數(shù)，分析了上證綜合指數(shù)的分形結(jié)構(gòu)特征。

二、分形插值模型的建立

設(shè)｛（x i，y i）∈R2：i＝0，1，…，N｝是一個給定的數(shù)據(jù)集，其中x0＜x1＜…＜x N。一個分形插值函數(shù)f：［x0，x N］→R是經(jīng)過這個數(shù)據(jù)集的一個連續(xù)函數(shù)，其圖像是某個迭代函數(shù)系的吸引子。由于在實際應(yīng)用中使用最為廣泛的是所謂的仿射分形插值函數(shù)，它是由仿射迭代函數(shù)系生成的。因此，本文主要考慮下列形式的迭代函數(shù)系｛R2：w i，i＝ 1，2，…，N｝，其中w i：［x0，x N］×R→R，i＝1，2，…，N為如下形式的仿射變換：

在式（1）中d i（i＝1，2，…，N）為自由參量，稱為迭代函數(shù)系｛R2；w i，i＝1，2，…，N｝的縱向尺度因子，滿足｜d i｜＜1。由式（1）和（2）可得：

滿足條件（1）和（2）的迭代函數(shù)系｛R2；w i，i＝1，2，…，N｝稱為仿射迭代函數(shù)系。由分形插值理論可知，該迭代函數(shù)系的吸引子是一個仿射分形插值函數(shù)f：［x0，x N］→R的圖像［6］。

在仿射迭代函數(shù)系式（1）中，縱向尺度因子d i對分形插值函數(shù)的形態(tài)、性質(zhì)等有著決定性的影響。如何合理地確定d i的值是建立仿射分形插值模型的關(guān)鍵。在利用仿射分形插值函數(shù)擬合實驗數(shù)據(jù)或曲線的過程中，任給d i的值是沒有意義的，這是因為使用任給的d i迭代產(chǎn)生出來的分形插值曲線很難較準確地擬合給定的d i數(shù)據(jù)或逼近給定的曲線。根據(jù)仿射變換式（1）和（3）可知，由給定數(shù)據(jù)點｛（x i，y i）：i＝1，2，…，N｝的信息，來確定d i的值是確定仿射迭代函數(shù)系的關(guān)鍵。對于離散數(shù)據(jù)集，Mazel和Hayes提出了計算d i的兩種方法：幾何法和解析法［5］。在幾何法中，為了求得d i，必須先求出分形插值曲線到數(shù)據(jù)集兩端點所成直線的最大縱向距離的點S（xs，ys）。由于S（x s，y s）僅為插值曲線上的點，未必是插值點，其位置通常難以確定。李國璋等利用三次B－樣條分形插值曲線，給出了求S（x s，ys）的代數(shù)解法［7］。然而此法在實用上很不方便，下面基于Mazel和Hayes的幾何法，提出一種在實用上非常方便的求取d i的幾何方法。它無需計算插值曲線上的最大值點S（x s，y s），也不用借助其它的解析工具，僅僅利用離散數(shù)據(jù)自身的信息，就可確定d i的值。

設(shè)有時間序列｛Y t，t＝0，1，…，M｝，按下列方式將其等分成長度為n＋1的N個連續(xù)的子序列I i，i＝1，2，…，N。記子序列Ii中的每個元素為Y k，i（0≤k≤n），且有Y n，i＝Y(jié)0，i＋1（i＝1，2，…，N－1）（亦即每個子序列的最后一個元素的值等于相鄰的下一個子序列的第一個元素的值），則有M＝n·N。取所有子序列Ii，i＝1，2，…，N的第一個元素的集｛Y0，1，Y0，2，…，Y0，N｝與第N個子序列I N的最后一個元素Y n，N（或者所有子序列Ii，i＝1，2，…，N的最后一個元素｛Y n，1，Y n，2，…，Y n，N｝的集與第一個子序列I1的第一個元素Y0，1）所構(gòu)成的元素集｛Y0，1，Y0，2，…，Y0，N，Y n，N｝作 為 時 間 序 列 ｛Y t，t＝ 0，1，2，…，M｝的抽樣數(shù)據(jù)，共有N＋1個數(shù)據(jù)。為方便起見，將｛Y0，1，Y0，2，…，Y0，N，Y n，N｝簡記為｛y0，y1，…，y N｝與其相對應(yīng)的時間值設(shè)為｛x0，x1，…，x N｝。于是（x0，y0），（x1，y1），…，（x N，y N）構(gòu)成時間序列曲線上的一組插值點集。

設(shè)子序列Ii的每個元素Y k，i所對應(yīng)的時間值為X k，i，0≤k≤n，則相應(yīng)于Ii的兩個端點數(shù)據(jù)為

這樣對于給定的時間序列｛Y t，t＝0，1，…，M｝，通過適當?shù)某闃?，選定了N＋1個插值點（x0，y0），（x1，y1），…，（x N，y N）。再由上面提出的方法就可確定N個縱向尺度因子d i，i＝1，2，…，N的值。

在利用分形插值對股指時間序列進行擬合時，假設(shè)股指數(shù)據(jù)有n×N＋1個，按照上面的方法，抽樣選取的股指序列為｛y0，y1，…，y N｝，相應(yīng)的時間序列為 ｛x0，x1，…，x N｝，這 樣 得 到 插 值 點 集 ｛（x i，y i）：i＝0，1，2，…，N｝。由式（4）確定d i，i＝1，2，…，N，再根據(jù)式（1）、（3）就確定了一個能生成仿射分形 插 值 函 數(shù) 的 迭 代 函 數(shù) 系 ｛R2；w i，i＝ 1，2，…，N｝。

利用已知的股價來預測未來的股價走勢是令人感興趣的問題，然而這也是極其困難的問題。因為股價的走勢受到多種因素的影響，目前并無好的方法來預測股價的走勢。筆者嘗試利用分形插值的外推功能來預測股價在未來時間［x N，x N＋1］上的變化趨勢。將定義在［x0，x N］上的分形插值函數(shù)f（x）的定義域推廣到［x0，x N＋1］（x N＋1＞x N）上，以預測f（x）在［x N，x N＋1］上的值。設(shè)y N＋1是對應(yīng)于時間x N＋1時的股價，它的值可根據(jù)股票價格的擬周期性以及統(tǒng)計自相似性給出一個經(jīng)驗估計。為此在［x N，x N＋1］×R上 定 義 一 個 仿 射 變 換w N＋1（x，y）＝（L N＋1（x），F(xiàn) N＋1（x，y）），使得：

這里d N＋1的值可根據(jù)金融時間序列的長期相關(guān)性，取為：

將w N＋1與之前的w i，i＝1，2，…，N一起構(gòu)成一個新的迭代函數(shù)系｛R2；w i，i＝1，2，…，N＋1｝，便可預測時間段［x N，x N＋1］上的股價值。

三、實證分析

選取上海股票市場上證綜合指數(shù)每日的收盤指數(shù)作為研究對象，對股指時間序列從2006年5月11日至2010年9月15日的1 061個交易日股指數(shù)據(jù)進行分析和預測，圖1為原始數(shù)據(jù)圖。先對2006年5月11日至2010年6月30日的1 008個交易數(shù)據(jù)進行分形插值擬合，把這些數(shù)據(jù)按時間進行等距分割，使得x i＝53i＋1，i＝0，1，…，19，?。▁ i，y i），i＝0，1，…，19為插值點集，即為構(gòu)造仿射分形插值函數(shù)所需的插值點，選取的數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)式（4）求得縱向尺度因子d i分別為：d1＝0.034 5，d2＝－0.044 1，d3＝ －0.073 6，d4＝ 0.076 1，d5＝－0.108 5，d6＝－0.243 4，d7＝0.232 5，d8＝0.248 9，d9＝0.127 5，d10＝0.150 5，d11＝－0.086 8，d12＝－0.116 1，d13＝0.089 5，d14＝0.050 3，d15＝0.087 3，d16＝ －0.155 9，d17＝0.062 7，d18＝－0.076 8，d19＝－0.067 9。再由式（3）確定仿射迭代函數(shù)系的其它系數(shù)。這樣就唯一地確定了一個含有19個仿射變換的迭代函數(shù)系。利用確定性迭代算法，經(jīng)過3次迭代得到如圖2所示的分形插值擬合曲線。

比較圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，雖然在前1 008個數(shù)據(jù)的原始圖與分形插值擬合圖之間存在著一定的誤差，但是擬合圖與原始數(shù)據(jù)圖的變化趨勢是一致的。而且如果適當增加插值點的個數(shù)并增加迭代次數(shù)，將會更好地模擬原始數(shù)據(jù)圖，這也說明利用分形插值法來模擬股指的波動狀態(tài)是可行的。

表1 抽樣數(shù)據(jù)表

圖1 上證指數(shù)的原始數(shù)據(jù)圖

圖2 上證指數(shù)的分形插值擬合圖

下面利用分形插值外推法對上證綜指的變化趨勢進行預測。選取上證綜指從2010年7月1日至2010年9月15日的53個交易日的收盤指數(shù)作為預測對象。設(shè)x20＝53×20＋1。根據(jù)股票價格的擬周期性以及統(tǒng)計自相似性，經(jīng)驗估計y20的值為2 600。由式（7）得到d20＝0.009 8，再由式（5）、（6），得到w20＝ （0.05x＋1 007.95，0.18x＋0.009 8y＋2 382.816）。于是確定了一個新的迭代函數(shù)系｛R2；w i，i＝1，2，…，20｝，經(jīng)過三次迭代，得到了股指在2010年7月1日至2010年9月15日這一段時間內(nèi)的預測圖，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，利用分形插值得到的預測結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的基本趨勢是一致的，由此表明利用分形插值法來對股票指數(shù)進行預測是可取的。

圖3 上證指數(shù)的分形插值預測圖

為了刻畫上證綜指的結(jié)構(gòu)特征，使用R／S分析法和Hurst指數(shù)對其進行特征分析。R／S分析法即重標極差分析法（Rescaled Range Analysis），是Hurst在大量實證研究的基礎(chǔ)上提出的一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，該方法主要通過Hurst指數(shù)來刻畫時間序列的結(jié)構(gòu)特征。R／S分析法的表達式為：

其中（R／S）n表示時間序列｛Y t，t＝1，2，…，n｝的重標極差，C為常數(shù)，H為Hurst指數(shù)。對式（8）兩邊取對數(shù)得：

在重對數(shù)坐標系logn－log（R／S）n中，運用回歸分析法求出直線的斜率H即得Hurst指數(shù)。

在金融市場分析中，由于原始數(shù)據(jù)往往受到自相關(guān)性的影響，需要對原始數(shù)據(jù)消除或降低線性依賴性，通常以對數(shù)收益率作為研究對象。若以｛Y t｝表示原始數(shù)據(jù)構(gòu)成的時間序列，設(shè)對數(shù)收益率序列為｛St｝，則：

下面首先對上證綜指從2006年5月11日至2010年6月30日的1 008個股指序列計算其對數(shù)收益率，得到對數(shù)收益率序列｛St｝，其長度為1 007。其次對｛St｝作R／S分析，此時總數(shù)據(jù)個數(shù)T＝1 007，令T＝M×n，這樣就把｛St｝分成了每組有n個數(shù)據(jù)的M組子樣本。我們從第一個n＝10開始，對每一組的子樣本計算重標極差R和標準差S，從而得到M個R／S，進而可得到這M個R／S的平均值，記為（R／S）n。重復上述過程，直到n＝ ［T／2］＝503。最后由式（9）可估計出Hurst指數(shù)H。繪制log（R／S）n關(guān)于logn的重對數(shù)圖，如圖4所示，其中直線的斜率就是Hurst指數(shù)的估計值H＝0.669。由于0.5＜H＜1，表明上證綜指具有狀態(tài)持續(xù)性。由時間序列的分形維數(shù)D和Hurst指數(shù)H的關(guān)系可知，這段時間內(nèi)股指對數(shù)收益率序列的分形維數(shù)D＝1.331，表明序列具有分形統(tǒng)計結(jié)構(gòu)特征。

圖4 上證指數(shù)日收益率的R／S分析圖

四、結(jié)束語

本文基于Mazel和Hayes的幾何法，提出了一種新的計算迭代函數(shù)系縱向尺度因子的方法，據(jù)此建立了能夠用于分析和預測股指波動的仿射分形插值模型。以上海股票市場上證綜合指數(shù)的每日收盤指數(shù)為研究對象，選取2006年5月11日至2010年9月15日期間的1 061個交易日的收盤指數(shù)進行分析和預測。結(jié)果表明：基于分形插值理論對股票指數(shù)的模擬和預測是可行的，而且模擬和預測結(jié)果與實際情況較為吻合。文章同時運用R／S分析法和Hurst指數(shù)，分析了上證綜合指數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，說明上證綜指具有狀態(tài)持續(xù)性和分形統(tǒng)計結(jié)構(gòu)特征。

［1］ Peters E.Fractal Market Analysis：Applying Chaos Theory to Investment and Economics［M］.New York：John Wiley＆Son Inc.，1994.

［2］ 黃詒蓉.中國股市分形結(jié)構(gòu)：理論與實證［M］.廣州：中山大學出版社，2006.

［3］ 周洪濤，王宗軍.上海股市非線性特征：一個基于R／S方法的實證分析［J］.管理學報，2005，2（5）.

［4］ 申富饒，王嘉松.股票價格的一種線性分形預測方法［J］.南京大學學報：自然科學版，1999，35（4）.

［5］ Mazel D S，Hayes M H.Using Iterated Function Systems to Model Discrete Sequences［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，40（7）.

［6］ Barnsley M F.Fractal Functions and Interpolation［J］.Constr.Approx.，1986，2（4）.

［7］ 李國璋，黃建波，黃海英.基于B－樣條分形插值的垂直尺度因子的計算方法［J］.軍械工程學院學報，2006，18（2）.

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Fractal Interpolation Models and R／S Analysis on Stock Index Time Series

WANG Hong－yong，ZHANG Qing－ge

（School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance ＆Economics，Nanjing 210046，China）

The law of change and the structure feature of stock index time series are investigated by using fractal interpolation models and R／S analysis in this paper.We study the law of change of the Shanghai Composite Index during a certain time by establishing fractal interpolation models，and predict the tendency of change of the index in the short term.Using R／S analysis and Hurst exponent，we analyze the structure feature of the Shanghai Composite Index，and point out that the market has the persistence of state and the statistical properties of fractal distribution.

fractal interpolation；stock index time series；R／S analysis

（責任編輯：崔國平）

F224.9∶F830.9

A

1007－3116（2011）08－0023－05

2011－05－03

國家自然科學基金項目《Sobolev空間上Framelets理論及相關(guān)問題研究》（11071152）

王宏勇，男，江蘇揚州人，理學博士，教授，研究方向：分形理論及應(yīng)用；

張青格，女，河北邢臺人，碩士生，研究方向：分形與數(shù)理金融。

【統(tǒng)計理論與方法】