小波分析在系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用

許曉寧

（寧波第二高級技工學校，浙江 寧波 315000）

小波理論的出現(xiàn)吸引了許多領(lǐng)域的學者對之進行深入研究。小波變換被認為是Fourier 分析發(fā)展的新階段，具有許多其它時－頻域分析所不具備的優(yōu)良特性,如正交性、方向選擇性、可變的時頻域分辨率、可調(diào)整的局部支持以及分析數(shù)據(jù)量小等。這些良好的分析特性促使小波變換成為信號處理的一種強有力的新工具和手段。另外，小波變換的多尺度分解特性更加符合人類的視覺機制，與計算機視覺中由粗到細的認識過程十分相似，更加適合圖像信息的處理。

1 小波在系統(tǒng)辨識中經(jīng)常要利用的特點

1.1 可構(gòu)成函數(shù)基

小波變換類似于Fourier 變換，可將信號按函數(shù)基的形式展開。經(jīng)典的Fourier 變換把平穩(wěn)信號表示為具有不同頻率的正、余弦函數(shù)的線性迭加，能較好地刻畫平穩(wěn)信號的頻率特性。

連續(xù)小波是尺度參數(shù)a 和平移參數(shù)b 均連續(xù)取值的小波函數(shù)。一般在實際應(yīng)用中，對a 和b進行離散化處理，所得的離散小波可以構(gòu)成一個函數(shù)基。通過小波分解，可將信一號按小波基的形式展開。正交小波基可以沒有冗余地獲得信號的局部信息，意味著可以通過分解系數(shù)重構(gòu)原信號。它適用于數(shù)據(jù)壓縮、信噪分離、非線性系統(tǒng)辨識等領(lǐng)域。滿足框架性的非正交小波基由于提供了對函數(shù)的冗余表示，也能完全刻畫函數(shù)，并從函數(shù)的分解中重構(gòu)該函數(shù)。其優(yōu)點在于數(shù)值計算穩(wěn)定，計算誤差的影響小，對干擾的魯棒性好。非正交小波基常用在高維非線性函數(shù)逼近領(lǐng)域。

1.2 在時域和頻域內(nèi)具有局域化的能力

傳統(tǒng)的信號分析建立在Fourier 變換的基礎(chǔ)上，主要針對平穩(wěn)信號進行處理，不能同時滿足信號在時、頻兩域上進行局部分析的要求。而這種要求卻恰恰是處理非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的技術(shù)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對Fourier 分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論，小波分析理論即是Fourier 分析理論的一大突破。小波變換由于采用了自適應(yīng)窗口，可以在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，因而在時頻兩域上可同時進行局部分析，被譽為分析信號的顯微鏡。

1.3 可以進行多尺度分析

信號在不同尺度下的小波變換反映了信號在不同尺度空間中的信息。通過變換尺度，可得到具有多尺度分析的信息表達，更深人地了解信號的特征。頻域內(nèi)的多尺度分析實質(zhì)上描述了小波的分頻性能。

L.A.Zadeh 定義的辨識：輸入輸出數(shù)據(jù)、模型類以及等價準則:

①輸人/輸出數(shù)據(jù)。能夠量測到的被辨識系統(tǒng)的輸人/輸出量測數(shù)據(jù)。

②模型類。所考慮的系統(tǒng)的辨識結(jié)構(gòu)。

③等價原則。辨識的優(yōu)化和檢驗目標。

由于實際中不可能尋找到一個與實際系統(tǒng)完全等價的模型，因此，從實際的觀點看，辨識就是從一組模型中選擇一個模型，按照某種原則，使之最佳地擬合被辨識系統(tǒng)的動態(tài)或靜態(tài)特性。

從不同角度看，辨識模型可有幾種常見的分類，針對不同的辨一識模型，小波分析在系統(tǒng)辨識中有不同的應(yīng)用形式。

2 利用函數(shù)逼近的形式建立系統(tǒng)的非參數(shù)模型

從形式上看，小波重構(gòu)與函數(shù)估計非常相似，小波逼近論屬于小波分析領(lǐng)域中的一個重要分支。DavidL.Donoho 和I.Johnstone 提出用小波收縮的方法從帶有噪聲的采樣數(shù)據(jù)中估計一維未知的非線性函數(shù)，這標志著小波分析用于非線性函數(shù)估計的開始。之后，他們又提出了對高維非線性函數(shù)的估計方法。B.Delyon,A.Juditskey 等人,指出了用符合框架性條件的小波基函數(shù)對非線性高維函數(shù)進行估計是一致收斂的，在理論上證明了小波估計的準確性，并且指出了小波估計的誤差界。由于小波分解公式與單層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相似性，指出了小波網(wǎng)絡(luò)的一致收斂并給出了估計的誤差界，這就為小波網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計提供了理論依據(jù)。

相比于早期采用的Volterra 和Wiener 級數(shù)法進行非線性系統(tǒng)辨識計算量大、實際應(yīng)用困難等問題，引出利用小波級數(shù)能更好、更快地逼近任意非線性函數(shù)。用小波級數(shù)作為并聯(lián)模型，實現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的模型參考辨識。由于采用基于空間的正交小波基的多尺度分辨，辨識精度大大提高，且算法簡單，計算量小，收斂速度很快。

3 利用系統(tǒng)響應(yīng)的小波變換建立系統(tǒng)的時域模型

在古典控制理論中，典型的非參數(shù)模型辨識是指從一個實際系統(tǒng)的實驗過程直接或間接得到系統(tǒng)響應(yīng)模型，包括階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率特性等，提取出系統(tǒng)在時域或頻域中的特征。

這類應(yīng)用主要是利用小波變換能進行多尺度分析的特點，及其小波分析在時域和頻域內(nèi)具有局域化的能力，可以對系統(tǒng)響應(yīng)進行小波變換提取系統(tǒng)的主要特征并以此來設(shè)計控制器，可降低設(shè)計過程中對數(shù)學模型的依賴性。這為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計提供了新的思路。利用高斯函數(shù)的一階函數(shù)作為基本小波函數(shù)，對幾種典型環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)進行小波變換，并分析了響應(yīng)小波的過零點和極值點等重要參數(shù)與典型環(huán)節(jié)的各參數(shù)及其某些性能指標之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，使得能用小波函數(shù)大致估計出系統(tǒng)的響應(yīng)特性，從而能進一步建立更加復雜的模型與小波變換的關(guān)系。

以正交小波函數(shù)展開的形式表示單變量線性連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，采用多尺度變換以得到一種類似于頻域方法的辨識算法，由于正交小波函數(shù)在時域和頻域上都是緊支的，即使在很大的信噪比情況下也可得到較高的辨識精度。文中給出了有噪聲和無噪聲兩種情況下與相關(guān)分析法的比較結(jié)果，充分說明了這一點。

4 小波網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用

小波網(wǎng)絡(luò)是在小波分解的基礎(chǔ)上提出的一種前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)類似于徑向基網(wǎng)絡(luò)，隱層節(jié)點的激發(fā)函數(shù)以小波函數(shù)基來替代，輸人層到隱層的權(quán)值和閥值分別對應(yīng)小波的仲縮和平移參數(shù)。它與其它前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣都具有任意逼近非線性函數(shù)的能力。小波分析在理論上保證了小波網(wǎng)絡(luò)在非線性函數(shù)逼近中所具有的快速性、準確性和全局收斂性等優(yōu)點。由小波變換的特點決定小波網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)具有可調(diào)的尺度參數(shù)，選用低尺度參數(shù)可以學習光滑函數(shù)，提高尺度可以較高精度學習局部奇異函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)系數(shù)與小波分解有明確的聯(lián)系，這有助于從平移參數(shù)和尺度參數(shù)的物理意義上確定小波函數(shù)基的選擇，為初始化小波網(wǎng)絡(luò)系數(shù)提供了可能。

近十年來，小波網(wǎng)絡(luò)作為一種有突出特點的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受到較多的關(guān)注和重視。小波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)確定和參數(shù)設(shè)置可借助小波分析理論進行指導，其權(quán)值學習算法也較常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡單，并且誤差函數(shù)對于權(quán)值是線性的，其學習不存在局部極小點，收斂速度較快。在函數(shù)逼近方面具有最佳逼近和全局逼近的能力。由于小波函數(shù)具有快速衰減性，因此它屬于局部逼近網(wǎng)絡(luò)，與全局網(wǎng)絡(luò)相比具有收斂速度快、易適應(yīng)新數(shù)據(jù)、可以避免較大的外推誤差等優(yōu)點。又分析了小波網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力。使用小波網(wǎng)絡(luò)也可以應(yīng)用于非線性函數(shù)學習、動態(tài)系統(tǒng)辨識等方面。

[1]張旭俊.用小波變換矩陣作小波分析[J].電力系統(tǒng)自動化，1999-12-30.

[2]孫崟培，王朝英.小波分析和小波包在圖像消噪中的應(yīng)用[J].通信技術(shù)，2009-01-10.