衛(wèi)星編隊(duì)飛行相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型的比較及選用

蘇 晏，黎 康

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2．空間智能控制技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

衛(wèi)星編隊(duì)飛行相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型的比較及選用

蘇 晏1,2，黎 康1,2

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2．空間智能控制技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

基于動(dòng)力學(xué)方法推導(dǎo)了幾種編隊(duì)飛行相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型.分析比較了引力項(xiàng)線性化以及J2攝動(dòng)引起的模型誤差的數(shù)量級(jí)，給出了模型選取的參考準(zhǔn)則以及適用條件，分析了不同模型的適用性.最后選取太陽同步軌道和靜止軌道作為數(shù)值算例，選取合適的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，驗(yàn)證模型選取準(zhǔn)則的有效性.仿真結(jié)果表明一定范圍內(nèi)考慮J2攝動(dòng)能提高精度，而超出一定范圍J2的引入只會(huì)增加復(fù)雜性，因此提出的模型選取準(zhǔn)則對(duì)相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型的選取有一定的參考價(jià)值.

相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)；J2攝動(dòng)；誤差分析

現(xiàn)代小衛(wèi)星已有幾十年的發(fā)展歷史，小衛(wèi)星具有一系列應(yīng)用優(yōu)勢(shì)如重量輕、體積小、成本低、機(jī)動(dòng)性好、生存能力強(qiáng)等[1].作為小衛(wèi)星應(yīng)用的一個(gè)重要方面,小衛(wèi)星編隊(duì)飛行技術(shù)也被普遍認(rèn)為是未來小衛(wèi)星應(yīng)用模式的必然趨勢(shì).小衛(wèi)星的編隊(duì)飛行實(shí)質(zhì)上是利用多顆飛行中的小衛(wèi)星組成一定形狀,各顆小衛(wèi)星之間通過星間通信相互聯(lián)系、協(xié)同工作,共同承擔(dān)空間信號(hào)的采集與處理以及承載有效載荷等任務(wù),整個(gè)星群構(gòu)成一個(gè)滿足任務(wù)需要的、規(guī)模較大的虛擬傳感器或探測器[2].

相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型是編隊(duì)飛行領(lǐng)域研究的基礎(chǔ)性問題，特別是線性化后的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，由于其形式簡單，在構(gòu)型設(shè)計(jì)、相對(duì)軌道控制方面應(yīng)用廣泛.構(gòu)建軌道動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，模型的誤差主要來自兩方面，即引力項(xiàng)線性化誤差以及J2攝動(dòng)未建模誤差.目前，相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)建模的普遍做法是在引力項(xiàng)線性化的基礎(chǔ)上考慮J2攝動(dòng)項(xiàng)以提高模型精度，如CW-J2、TH-J2模型等[3].但實(shí)際上筆者發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，這樣做有利于模型精度的提高，但超出一定范圍，J2項(xiàng)攝動(dòng)的影響要小于引力項(xiàng)線性化產(chǎn)生的誤差影響，因此過分追求在模型中加入J2項(xiàng)影響并無太多意義，只會(huì)使模型更為復(fù)雜.

本文首先推導(dǎo)了幾種相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型.其次通過數(shù)學(xué)方法分析了J2攝動(dòng)未建模會(huì)引入的模型誤差以及引力項(xiàng)線性化引入的模型誤差.接下來給出了動(dòng)力學(xué)模型的選用參考準(zhǔn)則.最后通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證模型選用參考準(zhǔn)則的有效性，并對(duì)真實(shí)衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.

1 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)建模

1.1坐標(biāo)系定義

航天器編隊(duì)飛行動(dòng)力學(xué)分析過程中假設(shè)有兩顆航天器，一顆為基準(zhǔn)星，另一顆為編隊(duì)星.研究編隊(duì)飛行動(dòng)力學(xué)涉及如下兩個(gè)坐標(biāo)系：

(1) 地心慣性坐標(biāo)系：原點(diǎn)位于地心O,X軸位于赤道面內(nèi)指向春分點(diǎn),Y軸位于赤道面上并與X軸垂直,Z軸與X和Y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系.

(2) 編隊(duì)飛行基準(zhǔn)星軌道坐標(biāo)系：原點(diǎn)位于基準(zhǔn)星中心o,xy平面在中心衛(wèi)星軌道平面內(nèi),y軸沿中心衛(wèi)星速度方向,x軸沿地心與中心衛(wèi)星的連線背向地心,z軸與xy平面構(gòu)成右手坐標(biāo)系.

1.2精確動(dòng)力學(xué)模型

地球引力位函數(shù)的一般表達(dá)式如下[4]：

式中，μ為地球引力常數(shù)，RE是地球平均半徑，r是地心距，λ、δ分別是地心經(jīng)度和地心緯度，Pn、Pnm為勒讓德多項(xiàng)式，Jn為帶諧項(xiàng)系數(shù),Jnm為田諧項(xiàng)系數(shù).

動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中，r為地心距矢量，r為衛(wèi)星地心距，μ為地球引力常數(shù)，a表示實(shí)施的控制加速度，b表示攝動(dòng)加速度.

令r=R1-R0表示編隊(duì)星相對(duì)于基準(zhǔn)星的位置矢量，聯(lián)立得到精確動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式如下：

1.3不考慮攝動(dòng)的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

不考慮攝動(dòng)力對(duì)衛(wèi)星軌道的影響(即b0=b1=0)，角速度和角加速度如下：

若在如上前提下假設(shè)相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的引力項(xiàng)線性化的條件存在，對(duì)引力項(xiàng)取線性近似，線性化過程如下[5-6]：

1.4考慮J2攝動(dòng)的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

考慮J2攝動(dòng)對(duì)相對(duì)軌道影響得到J2攝動(dòng)影響下的角速度及角加速度如下[7]：

考慮J2項(xiàng)影響情況下，引力位函數(shù)如下：

以上各式與式(3)進(jìn)行聯(lián)立可得到考慮J2攝動(dòng)對(duì)相對(duì)軌道影響下的相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程.

2 J2引力攝動(dòng)項(xiàng)及引力項(xiàng)線性化引起的誤差分析比較

2.1J2引力攝動(dòng)項(xiàng)引起的誤差數(shù)量級(jí)分析

由以往分析結(jié)果可知，J2項(xiàng)攝動(dòng)力對(duì)相對(duì)軌道的影響以漂移為主[8-10].帶諧項(xiàng)攝動(dòng)力引起的攝動(dòng)加速度在基準(zhǔn)星軌道坐標(biāo)系上的分量為[6]：

2.2引力項(xiàng)線性化引起的誤差數(shù)量級(jí)分析

引力項(xiàng)線性化引起的誤差在基準(zhǔn)星軌道坐標(biāo)系上分量為：

3 模型選取準(zhǔn)則

由2.1和2.2節(jié)的分析可知，取各自誤差數(shù)量級(jí)如下：

定義比例因子如下：

根據(jù)比例因子取值范圍的不同，可分如下三種情況進(jìn)行討論.

1) 比例因子α?1

此種情況下引力項(xiàng)線性化引起的加速度誤差數(shù)量級(jí)高，J2攝動(dòng)項(xiàng)的引入會(huì)增加模型的復(fù)雜度且對(duì)模型精度沒有決定性影響，相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型建立過程中沒有必要引入J2攝動(dòng)項(xiàng).

2) 比例因子α?1

此種情況下J2攝動(dòng)引起的加速度誤差數(shù)量級(jí)高，J2攝動(dòng)項(xiàng)的引入可以在很大程度上提高模型精度，相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型建立過程中可以在引入J2攝動(dòng)項(xiàng)的同時(shí)對(duì)引力項(xiàng)進(jìn)行線性化.

3) 比例因子α介于中間值

此種情況下J2攝動(dòng)引起的加速度誤差數(shù)量級(jí)與引力項(xiàng)線性化引起的加速度誤差數(shù)量級(jí)相當(dāng).若追求模型高精度，則相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型建立過程中在引入J2攝動(dòng)項(xiàng)的同時(shí)不能對(duì)引力項(xiàng)進(jìn)行線性化，模型使用精確模型；建模過程中若追求模型簡潔度，則模型建立中不考慮J2攝動(dòng)影響同時(shí)對(duì)引力項(xiàng)進(jìn)行線性化.

以上討論模型建立中的選取準(zhǔn)則是有一定的適用范圍的.衛(wèi)星模型建立后，加速度誤差會(huì)隨時(shí)間積累為位置誤差，J2攝動(dòng)引入的長期累積誤差較引力項(xiàng)線性化引入的長期累積誤差明顯，使得比例因子發(fā)生改變，模型選取準(zhǔn)則不適用.故本文所討論的模型選取準(zhǔn)則是基于小范圍時(shí)間累積的前提之下的.

4 仿真算例與分析

選取基準(zhǔn)星運(yùn)行軌道為太陽同步圓軌道，對(duì)星間相對(duì)運(yùn)動(dòng)四分之一周期內(nèi)J2攝動(dòng)引起的位置誤差和引力項(xiàng)線性化引起的位置誤差進(jìn)行仿真.選取軌道參數(shù)如下：半長軸a=RE+800 km，軌道傾角為i=98.6°，偏心率e=0，初始時(shí)刻升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=0，近地點(diǎn)幅角ω=0，繞飛半徑r=1km，比例誤差因子α=18.407 3>10?1.為保證相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)為封閉曲線，選取初始值如下：x0=r，y0=z0=0，vx0=vz0=0，vy0=-0.002 1(線性模型初值)，vy1=-0.002 1(非線性模型初值)[11]，仿真結(jié)果如圖1～圖2所示.

仿真結(jié)果表明比例因子α?1情況下，小軌控周期內(nèi)J2攝動(dòng)項(xiàng)引起的累積誤差數(shù)量級(jí)高，控制模型選取過程中要考慮J2攝動(dòng)項(xiàng)影響.

選取基準(zhǔn)星運(yùn)行軌道為靜止圓軌道，對(duì)星間相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，選取軌道參數(shù)如下：半長軸a=RE+36 000km，軌道傾角為i=0，偏心率e=0，初始時(shí)刻升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=0，近地點(diǎn)幅角ω=0， 繞飛半徑r=100km.得到比例因子α=0.031 2<0.1?1.初始值選取如下：x0=r，y0=z0=0，vx0=vz0=0，vy0=-0.014 5(線性模型初值)，vy1=-0.014 5(非線性模型初值)，仿真結(jié)果如圖3～圖4所示.

圖1 太陽同步圓軌道1/4周期內(nèi)J2攝動(dòng)誤差

圖2 太陽同步圓軌道1/4周期內(nèi)引力項(xiàng)線性化誤差

圖3 靜止軌道1/4周期內(nèi)J2攝動(dòng)誤差

仿真結(jié)果表明比例因子α?1情況下，小軌控周期內(nèi)引力項(xiàng)線性化引起的累積誤差數(shù)量級(jí)比J2攝動(dòng)項(xiàng)引起的累積誤差數(shù)量級(jí)高，為降低模型復(fù)雜度，模型建立過程中沒有必要引入J2攝動(dòng)項(xiàng)影響.

5 結(jié) 論

本文建立了4種相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，從理論上對(duì)J2攝動(dòng)項(xiàng)以及引力項(xiàng)線性化引起加速度誤差的數(shù)量級(jí)進(jìn)行了量化比較，給出了比較參數(shù)比例因子的定義，分析了相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型建立過程中J2攝動(dòng)項(xiàng)以及引力項(xiàng)線性化引起誤差的主導(dǎo)性作用，給出了相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型選取的準(zhǔn)則，給出了準(zhǔn)則的適用條件.最后通過數(shù)學(xué)仿真對(duì)理論進(jìn)行了驗(yàn)證.仿真結(jié)果表明，衛(wèi)星實(shí)際相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)情況與本文所提出的模型選取準(zhǔn)則相符，比例因子在一定范圍內(nèi)模型建立過程中考慮J2攝動(dòng)影響可以提高模型提高精度，而超出一定范圍時(shí)J2攝動(dòng)影響的引

入只會(huì)增加模型復(fù)雜性而對(duì)模型精度沒有決定性影響，本文提出的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型的選取準(zhǔn)則有一定的參考價(jià)值，為以后構(gòu)型設(shè)計(jì)、相對(duì)軌道控制器設(shè)計(jì)中的模型建立提供了依據(jù).

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ComparisonandSelectionofSpacecraftFormationFlyingRelativeOrbitDynamicsModels

SU Yan1,2,LI Kang1,2

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190,China;2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControl,Beijing100190,China)

Based on the dynamics,several spacecraft formation flying relative orbit dynamics models are established in this paper.And then,error orders of magnitude leaded by theJ2perturbation and linearized gravitation are analyzed and compared.Reference rules for model selection and their applicable conditions are proposed.Applicability of different models is analyzed.At last based on two groups of parameters referred to solar synchronization orbit and GEO,dynamics models are selected according to the proposed reference rule,and mathematical simulations are carried out to verify the rule.The simulation results indicate that in a certain range the import ofJ2perturbation will improve accuracy of model while in some range it will only lead high model complexity and the proposed method in the paper has a certain reference value for relative orbit dynamics model choosing.

relative orbit dynamics;J2perturbation; error analysis

2010-03-20

蘇晏(1987—)，女，河北人，研究生，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程 (e-mail: yansu11@hotmail.com).

V448.2

A

1674-1579(2010)04-0054-05