三維立方形n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效模型構(gòu)建

譚志中，陸建隆

(1.南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226007;2.南京師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210097)

電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究有一定的實(shí)際意義[1-12]，2010年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)被授予了石墨烯網(wǎng)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)者，石墨烯網(wǎng)絡(luò)具有平面六邊形結(jié)構(gòu)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)具有廣泛應(yīng)用前景.許多問題可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬.研究電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適規(guī)律是科技應(yīng)用研究的理論基礎(chǔ)，構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬已成為解決一系列科學(xué)問題的基本方法．文獻(xiàn)[1-2]研究了n階(或二端)梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻(或阻抗),文獻(xiàn)[3-9]研究了2×n階(或三端)網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，文獻(xiàn)[10-11]研究了3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,隨著階數(shù)的增加,其研究的難度隨之增大.

在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)需要研究三維結(jié)構(gòu)電網(wǎng)絡(luò)模型[12]．目前人們對(duì)三維立方形結(jié)構(gòu)的n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究尚沒有取得進(jìn)展．該文首次研究了三維立方形結(jié)構(gòu)的n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,提出了構(gòu)建等效模型的創(chuàng)新方法,對(duì)于圖1所示的三維立方形n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型，得到了對(duì)稱節(jié)點(diǎn)A，C兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻RAC(n)的一般規(guī)律，并給出了無窮三維立方形n階網(wǎng)絡(luò)等效電阻的極限規(guī)律.

圖1 三維立方形n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 1 The model of resistance of 3-D×n cubiform network

1 等效模型構(gòu)建

分析圖1所示電阻網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).由于所有網(wǎng)絡(luò)元中的電阻均為r,所以電阻網(wǎng)絡(luò)的AA′行與CC′行關(guān)于圖1具有完美的軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱．無論將電流從A輸入至C輸出，還是將電流從C輸入至A輸出，都有BB′,DD′行中對(duì)稱節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)相等．由此可知，當(dāng)僅僅求A,C兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻RAC(n)的規(guī)律時(shí)，可以將圖1所示電路等效成為圖2所示的2×n階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型．

圖2 2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 2 The model of resistance of 2×n network

圖3 n階網(wǎng)絡(luò)等效模型Fig. 3 The equivalent model of resistance network

記圖3所示的n階網(wǎng)絡(luò)左端A,C端為輸入端，并且入端等效電阻記為Rn，則n-1階網(wǎng)絡(luò)入端等效電阻可記為Rn-1.由圖3根據(jù)串、并聯(lián)電阻的計(jì)算方法Rn=r∥(2r+Rn-1)可得

(1)

式(1)即為n階梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的遞推公式，在數(shù)學(xué)上又稱式(1)為非線性差分方程.

2 等效電阻的普適公式

對(duì)于式(1)的一般解，可根據(jù)文獻(xiàn)[1-2]中采用的變換方法，設(shè)存在待定常數(shù)λ，將式(1)兩端同時(shí)減去λ并且變形整理得到

(2)

在式(2)中，令

λ2+2rλ-2r2=0,

(3)

將式(3)代入式(2)可得

(4)

設(shè)式(3)的兩個(gè)根分別為α,β，再分別用α,β取代式(4)中的λ，并將所得兩式同向相除可以得到

(5)

(6)

將式(6)化簡整理即得通項(xiàng)Rn(記為RAC(n))的表達(dá)式,即

(7)

其中α,β分別是特征方程式(3)的兩個(gè)根.由特征方程式(3)解得

(8)

將式(8)代入式(7)化簡整理得到

(9)

式(9)即為三維立方形n階網(wǎng)絡(luò)等效電阻RAC(n)的普適公式.相對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性而言，式(9)具有優(yōu)美、和諧、對(duì)稱、簡潔等特征.

3 討論與比較

1) 在圖1中，當(dāng)n→∞時(shí),圖1所示網(wǎng)絡(luò)為三維立方形無窮電阻網(wǎng)絡(luò).取極限易得

因此,當(dāng)n→∞時(shí)，對(duì)式(9)取極限得

(10)

式(10)即為三維立方形無窮電阻網(wǎng)絡(luò)A、C兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻的通項(xiàng)表達(dá)式.此時(shí)的等效電阻RAC(∞)是有限常數(shù)，并且是由無理式表示的結(jié)果.

2) 當(dāng)圖1中的階數(shù)n=0時(shí)，圖1退化成為圖4所示的三維0階電阻網(wǎng)絡(luò)(退化成平面的正方形)，由式(9)得

RAC(0)=r.

(11)

而圖4所示的實(shí)際電阻RAC=2r∥2r=r，顯然式(11)與圖4所示的實(shí)際電路的等效電阻完全一致．

圖4 三維0階網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 4 The model of 3-D×0 cubiform network

圖5 三維1階網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 5 The model of 3-D×1 cubiform network

3) 當(dāng)圖1中的階數(shù)n=1時(shí)，圖1退化成為圖5所示的三維立方形1階電阻網(wǎng)絡(luò)，由式(9)得到

(12)

這與由圖5所示的實(shí)際電路計(jì)算得到的等效電阻RAC(此處實(shí)際計(jì)算略)完全一致．

4 結(jié) 論

[1] 陸建隆,譚志中.關(guān)于梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適研究[J].大學(xué)物理,2001,20(10):26-28.

[2] 譚志中,陸建隆.二端梯形網(wǎng)絡(luò)等效復(fù)阻抗的普適研究[J].大學(xué)物理,2009,28(7):29-33.

[3] 譚志中，陸建隆，吳國祥.三端梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,28(3)：258-262.

[4] 譚志中.三端梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的再研究[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,28(5)：480-482.

[5] 曹秀華,譚志中,李頌.構(gòu)建等效模型研究2×n階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻[J].大學(xué)物理,2008,27(3)：25-26.

[6] 譚志中,曹秀華,李頌，等.2×n階梯形網(wǎng)絡(luò)側(cè)端等效電阻的普適規(guī)律[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006,5(2):10-14.

[7] 譚志中,羅達(dá)峰,李頌.2×n階網(wǎng)絡(luò)對(duì)角等效電阻的再研究[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,7(2):73-76.

[8] 譚志中,方靖淮，羅達(dá)峰.2×n階網(wǎng)絡(luò)對(duì)角等效電阻的另一種公式[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,8(4):69-72.

[9] 譚志中,羅禮進(jìn).加強(qiáng)型2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)普適公式[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,9(1):37-42.

[10] 譚志中，方靖淮.3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究[J].大學(xué)物理,2008,27(9)：7-10.

[11] 譚志中，李頌.3×n階網(wǎng)絡(luò)等效電阻的另一個(gè)普適規(guī)律[J].大學(xué)物理,2009,28(4)：23-25.

[12] 肖哲，黃銘,巫躍鳳，等．三維RC網(wǎng)絡(luò)仿真異質(zhì)材料的通用介質(zhì)響應(yīng)[J]．物理學(xué)報(bào)，2008，57(2)：957-961．