高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的向量賽題解讀

● (《數(shù)學(xué)競(jìng)賽之窗》編輯部 江蘇蘇州 215011)

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的向量賽題解讀

●王衛(wèi)華(《數(shù)學(xué)競(jìng)賽之窗》編輯部 江蘇蘇州 215011)

向量問(wèn)題自進(jìn)入高中數(shù)學(xué)以來(lái)，因其自身具有的代數(shù)性和幾何性的雙重特征，以及和三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)的高度綜合性，受到各級(jí)、各類考試命題者的青睞，迅速成為高考的必考問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，向量問(wèn)題也很快成為考查的一個(gè)重點(diǎn).本文擬就兩者的對(duì)比，對(duì)全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的向量問(wèn)題作一些解讀，以期能夠?qū)V大讀者有所裨益.

1 高考與高中聯(lián)賽向量考查的重點(diǎn)比較

在高考考查中，向量問(wèn)題常和三角函數(shù)、解析幾何相綜合，著重考查向量的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，更多的是作為問(wèn)題轉(zhuǎn)化的一個(gè)部分，而不是問(wèn)題解決的重點(diǎn).

在高中聯(lián)賽中，向量問(wèn)題往往具有純粹性，著重考查選手對(duì)向量的本質(zhì)特征——“數(shù)形二重性”的理解掌握，需要選手對(duì)題目中蘊(yùn)含的幾何本質(zhì)有深入的了解，有很強(qiáng)的思維能力，以及敏銳的觀察力.

2 高中聯(lián)賽向量問(wèn)題涉及的基本結(jié)論

在高中聯(lián)賽的向量問(wèn)題中，必須熟練掌握的基本結(jié)論有：

(4)若I為△ABC的內(nèi)心，則

(6)設(shè)O為△ABC的外心，則

(7)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，則

(8)設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則

3 向量問(wèn)題解題思路導(dǎo)析

高中聯(lián)賽中的向量問(wèn)題靈活多樣，對(duì)選手的思維能力要求很高.以下通過(guò)對(duì)若干賽題的解題分析，給出思路探求的一些基本模式.

( )

(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

則

從而點(diǎn)O為△AB1C1的重心，于是

故

圖1

圖2

評(píng)析注意到:

S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3.

事實(shí)上，有一般的結(jié)論：

設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，記△BOC,△AOC和△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則

易知，上述基本性質(zhì)(1)和(4)均為本結(jié)論的特殊情形.

( )

A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．答案不確定

(2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析本題有2種不同的思路:一種是考慮向量的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合解題；另一種是通過(guò)平方將關(guān)于向量長(zhǎng)度的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于向量的不等式解題.

即

因此

從而

由此可得

圖3

圖4

(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析本題的焦點(diǎn)在于如何處理2個(gè)關(guān)聯(lián)的三角形.首先根據(jù)題設(shè)畫一幅草圖，由圖4易知，可通過(guò)在三角形中應(yīng)用余弦定理來(lái)求三角形對(duì)應(yīng)邊的數(shù)量積.

從而

又在△AEF中，由中線長(zhǎng)公式知

4AB2+EF2=2(AE2+AF2)，

從而

于是

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽試題)

解因?yàn)镺是△ABC的外心，所以

又

所以

即

于是

60x·cos∠BAC+100y=50.

由△ABC是銳角三角形，易知x≠0，因此

聯(lián)賽中的向量問(wèn)題除了直接考查以外，不可忽視向量作為一個(gè)工具的功能.這里不再舉例說(shuō)明.