簡議整數(shù)問題中的常用方法

● (嵊州市第二中學(xué) 浙江嵊州 312400)

簡議整數(shù)問題中的常用方法

●張秋君(嵊州市第二中學(xué) 浙江嵊州 312400)

數(shù)論是專門研究整數(shù)問題的.由于整數(shù)具有離散性、有序性、無窮性等特點，因此以下方法就特別適合于解決數(shù)論問題.

1 不等式分析法

例1求方程x+y=x2-xy+y2的整數(shù)解.

解由方程有整數(shù)解，得

Δ=(y+1)2-4(y2-y)≥0，

解得

滿足這個不等式的y值只有0，1，2.

當(dāng)y=0時，由原方程可得

x=0或x=1；

當(dāng)y=1時，由原方程可得

x=2或x=0；

當(dāng)y=2時，由原方程可得

x=1或x=2.

故原方程有整數(shù)解

2 無窮遞降法

例2確定并證明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整數(shù)解.

2k>a1,2k>b1,2k>c1，

3 反證法

例3證明：方程x4+y4=z2沒有正整數(shù)解.

證明假設(shè)原方程有一組正整數(shù)解(x0,y0,z0)，并且z0是所有正整數(shù)解z中最小的.因此

其中(a,b)=1,a,b為一奇一偶.假設(shè)a為偶數(shù)，b為奇數(shù)，那么

x0=p2-q2,b=2pq,a=p2+q2，

這里(p,q)=1,p>q>0,p,q為一奇一偶.從而

因為p,q,p2+q2兩兩互質(zhì)，所以它們必須都是某整數(shù)的平方，即

p=r2,q=s2,p2+q2=t2，

從而

r4+s4=t2，

即(r,s,t)也是原方程的解，且有

t

這與z的最小性矛盾，故原方程無正整數(shù)解.

4 數(shù)學(xué)歸納法

例4我們知道23+1=9有1個質(zhì)因子，且32|23+1；232+1=513=33×19有2個質(zhì)因子，且33|232+1，…,如此下去，可以猜想：k∈N*,23k+1至少有k個質(zhì)因子，且3k+1|23k+1.試證明之.

(2006年山東省第2屆夏令營試題)

證明令ak=23k+1，則ak=3k+1bk，即要證bk是整數(shù)且有k-1個質(zhì)因子.下用數(shù)學(xué)歸納法證明bk是整數(shù).

(1)當(dāng)k=1時，結(jié)論顯然成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立.則當(dāng)n=k+1時，因為

且

3k+1|ak，

所以

3k+2|ak+1，

由(1),(2)可知,bk+1是整數(shù).

下證bk+1至少有k個質(zhì)因子.

bk+1=bkck.

由于(ck,3)=1，因此

(ck,bk)=1，

從而ck必有異于bk質(zhì)因子的質(zhì)因子，所以bk+1至少有k個質(zhì)因子.

5 剩余類法(或稱特殊模法)

例5證明：存在無窮多個正整數(shù)，它們不能表示成少于10個奇數(shù)的平方和.

所以只有s=2,于是

又因為

所以

3|x1且3|x2，

因而9|n.但n=72k+66≡3(mod9)，產(chǎn)生矛盾.從而n不能表示成少于10個奇數(shù)的平方和，且這樣的n有無窮多個.

6 分類討論法與奇偶分析法

例6證明:方程2x2-5y2=7無整數(shù)解.

證明由2x2=5y2+7，可得y為奇數(shù).

(1)若x為偶數(shù)，則

2x2≡0(mod8)，

因此

y2=(2n+1)2=4n(n+1)+1,

得

y2≡1(mod8)，5y2+7≡4(mod8).

因為方程兩邊對同一整數(shù)8的余數(shù)不等，所以x不能為偶數(shù).

(2)若x為奇數(shù)，則

2x2≡2(mod4)，

但

5y2+7≡0(mod4)，

因此x不能為奇數(shù).

綜上所述,原方程無整數(shù)解.

m-1=1或m-1=2，

故

(m,n)=(2,1)或(m,n)=(3,1).

(2)若m=1,則

因此

n-1=1或n-1=2，

故

(m,n)=(1,2)或(m,n)=(1,3).

也是整數(shù)，于是m,n是對稱的.不妨設(shè)m≥n.

①若m=n，則

為整數(shù)，于是n=2,m=2.

②若m>n，因為

n3+1≡1(modn),mn-1≡-1(modn)，

所以

因此存在k∈N，使得

又

即

得k=1，于是

從而

解得

n-1=1或n-1=2，

因而

(m,n)=(5,3)或(m,n)=(5,2).

同理可得,當(dāng)m

(m,n)=(2,5)或(m,n)=(3,5).

綜上所述,(m,n)可取(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3).