一道期末試題背后的思考

●(景成實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江杭州 310022)

這是一道2008年浙江省杭州市下城區(qū)八年級(jí)上冊(cè)的期末試題.

例1在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，∠BDE=∠CDF=60°，E,F是AB,AC上的點(diǎn).

(1)寫出圖1中的等腰三角形(△ABC除外);

(2)請(qǐng)你在圖2，3中用另外2種不同的方法把1個(gè)等邊三角形分割成4個(gè)等腰三直形.

圖1

圖2

圖3

這是一道典型的等腰三角形分割試題.說明了一個(gè)等邊三角形可以分割成4個(gè)等腰三角形，而這一問題的解決需要?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)操作.這道題考查了學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)、直覺思維能力和發(fā)散思維能力等綜合素質(zhì)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力是一個(gè)很好的載體.一道貌似簡單的期末試題卻難倒了眾多學(xué)生，全區(qū)八年級(jí)學(xué)生僅有10%的學(xué)生得滿分，30%的學(xué)生得的是0分，這說明了學(xué)生對(duì)圖形分割問題的探究能力還是相當(dāng)薄弱的.而在近幾年全國各地中考試題中像這類圖形分割問題卻頻頻出現(xiàn).這不得不引起重視.這也激發(fā)了筆者對(duì)一般三角形進(jìn)行等腰分割問題的研究.

解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？關(guān)鍵就是構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行等腰分割.而解決這一問題的方法在哪里？在教材，在課本.探尋教材中構(gòu)造等腰三角形的基本方法有以下3種：

方法1利用直角三角形斜邊上的中線構(gòu)造等腰三角形.

方法2利用中垂線性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形.

方法3利用角平分線和平行線或角平分線和垂線構(gòu)造等腰三角形.

下面思考如下問題：既然等邊三角形能分割成4個(gè)等腰三角形，那么等腰三角形是否也能分割成4個(gè)等腰三角形呢？利用課本中構(gòu)造等腰三角形的3種基本方法，可以得到如下的3種分割方法.

方法1利用角平分線和平行線或角平分線和垂線構(gòu)造等腰三角形.

方法2利用直角三角形斜邊上的中線構(gòu)造2個(gè)等腰三角形.

方法3利用中垂線性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形(注：∠ACB>45°).

接下來研究等腰三角形的孿生兄弟直角三角形，顯然利用直角三角形斜邊上的中線可以將直角三角形分割成2個(gè)等腰三角形.在探究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果把直角三角形分割成2個(gè)或3個(gè)直角三角形，那么利用直角三角形斜邊中線這一性質(zhì)，就可以把這個(gè)直角三角形分割為4個(gè)或6個(gè)等腰三角形.

圖4

首先作斜邊中垂線，把直角三角形分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，然后將這個(gè)直角三角形分割成2個(gè)、3個(gè)直角三角形，利用直角三角形的斜邊中線這一性質(zhì)，把這個(gè)直角三角形分割為2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)等腰三角形,這樣就分別可以得到3個(gè)、5個(gè)、7個(gè)等腰三角形,如圖4.

那么對(duì)于任意的自然數(shù)n(n≥2),能否將一個(gè)直角三角形分割成n個(gè)等腰三角形呢？由于直角三角形可以分割成2個(gè)或3個(gè)等腰三角形，因此就可以將問題轉(zhuǎn)化為研究：n能否表示為n=2x+3y(x,y為自然數(shù)，n≥2).

將n分為偶數(shù)(n=2k)和奇數(shù)(n=2k+1)(k為正整數(shù))2類:

當(dāng)n=2k時(shí)，n=2k=2k+3×0，即只要把直角三角形分割成k個(gè)小直角三角形，然后每個(gè)小直角三角形分割成2個(gè)等腰三角形，就可以得到n個(gè)等腰三角形了；

當(dāng)n=2k+1時(shí)，n=2k+1=2(k-1)+3×1，即只要把直角三角形分割成k個(gè)小直角三角形，然后把其中的1個(gè)直角三角形分割成3個(gè)等腰三角形，其余(k-1)個(gè)小直角三角形每個(gè)分割成2個(gè)等腰三角形，這樣就可以得到n個(gè)等腰三角形了.

因此對(duì)任意自然數(shù)n(n≥2)都可以表示為2x+3y的形式,即對(duì)于任一個(gè)直角三角形都可以分割成2個(gè)或2個(gè)以上的等腰三角形.

這種分類討論的數(shù)學(xué)思想，解決了怎樣將一個(gè)直角三角形分割為n(n≥2)個(gè)等腰三角形的問題，同時(shí)對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有著廣泛的應(yīng)用，譬如集合、三角函數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法等.

有句話說：“人心不足蛇吞象”，可筆者認(rèn)為做數(shù)學(xué)就要有“人心不足”這種精神.就如當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說的一句話：“……數(shù)學(xué)有時(shí)就是一種猜測的游戲；在你證明一條數(shù)學(xué)定理之前必須先作猜測，……”.現(xiàn)在可以跟學(xué)生一起大膽猜想：對(duì)于一般三角形,也能分割成n(n≥4)個(gè)等腰三角形.

解答這類操作性問題，要抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)——對(duì)一般三角形進(jìn)行等腰分割，運(yùn)用化歸思想，把問題轉(zhuǎn)化為大家所熟悉的數(shù)學(xué)問題——直角三角形分割問題.

怎樣把一般三角形分割的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題呢？做高是最好的方法，這樣就可以把一般三角形分割成2個(gè)直角三角形，而每個(gè)直角三角形根據(jù)上面的研究都可以分割成2個(gè)或3個(gè)等腰三角形(如圖5)，于是就可以把這類問題轉(zhuǎn)化為研究n能否表示為n=2x+3y(x,y為自然數(shù))的問題.

圖5

根據(jù)上面的證明就可以得到一般三角形能分割成n(n≥4的自然數(shù))個(gè)等腰三角形，問題隨之迎刃而解.

至此，由八年級(jí)期末試題激發(fā)的探索基本得到解決，但一般三角形可以分割成的是n(n≥4)個(gè)等腰三角形，還可以引導(dǎo)學(xué)生去探索一個(gè)三角形滿足什么條件能分割成2個(gè)等腰三角形.正是基于對(duì)教材的理解，大家一起探究由張晉紅教師主編的《中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練》里的一道題目：

例2已知在△ABC中，∠C為最小角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了2個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C的關(guān)系.

分析運(yùn)用分類思想，將△ABC按邊BC為底還是為腰分成如圖6所示的4類：

(1)以BC為底，BD為底分別構(gòu)造等腰三角形△BCD和△ABD，此時(shí)∠ABC=3∠C；

(2)以BC為底，AD為底分別構(gòu)造等腰三角形△BCD和△ABD，此時(shí)

∠BAC=2∠C或∠ABC+3∠C=180°；

(3)以BC為底，AB為底分別構(gòu)造等腰三角形△BCD和△ABD，此時(shí)∠ABC=90°；

(4)以BC為腰，∠C為頂角，AB為底分別構(gòu)造等腰三角形△BCD和△ABD,此時(shí)

圖6

如果對(duì)上面的這些問題有了充分地了解，那么運(yùn)用這些知識(shí)解決下列各省市的中考數(shù)學(xué)試題和實(shí)際應(yīng)用題中的等腰分割問題就簡單多了.

下面再看一道應(yīng)用題.

例3小嬌的母親開了一家皮衣美容店.一天，一位顧客送來一件皮衣，皮衣上有一個(gè)三角形孔洞，讓她修補(bǔ)，此時(shí)店里有一塊顏色、皮質(zhì)與皮衣完全一樣的皮子，其大小與皮衣的孔洞恰好一樣，但方向相反，如圖7，請(qǐng)你幫小嬌的母親想一想，怎樣利用這塊皮子(可剪開拼接，損耗不計(jì))補(bǔ)滿皮衣上的三角形孔洞.

圖7

上面的等腰分割給大家這樣的啟示：求解本題的關(guān)鍵是把這2個(gè)三角形分割成若干對(duì)對(duì)應(yīng)全等的等腰三角形.

那么本題怎樣通過等腰分割，進(jìn)而構(gòu)造等腰三角形呢？

圖8

圖9

方法1利用直角三角形斜邊的中線這一性質(zhì),將這2個(gè)三角形分割成4對(duì)對(duì)應(yīng)全等的等腰三角形，通過平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，把圖9所示的4個(gè)等腰三角形變換到圖8所示對(duì)應(yīng)的位置上，就能成功地為這件皮衣進(jìn)行美容了.

方法2利用中垂線性質(zhì)將這2個(gè)三角形分割成3對(duì)對(duì)應(yīng)全等的等腰三角形，然后通過平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，就可以將圖11所示的3個(gè)等腰三角形變換到圖10所示對(duì)應(yīng)的位置上，成功地為阿嬌的母親解決實(shí)際困難了.

圖10

圖11

例4(1)如圖12，在△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成2個(gè)等腰三角形(不寫作法，但必須保留作圖痕跡).

圖12

圖13

圖14

(2)已知內(nèi)角度數(shù)的2個(gè)三角形如圖13，圖14所示，請(qǐng)你判斷，能否分別畫一條直線把他們分割成2個(gè)等腰三角形？若能，請(qǐng)寫出分割成的2個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).

(2008年浙江省寧波市中考試題)

分析圖12是直角三角形,圖13是3倍角關(guān)系，都能分割成2個(gè)等腰三角形.而圖14雖然有∠C=2∠B的關(guān)系，但∠B不是最小角，它不符合上面講過的4個(gè)條件中的任一個(gè)，所以圖14不能分割成2個(gè)等腰三角形.

[1] 張晉紅.中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練[M].杭州:浙江教育出版社，2009.

[2] 譚建新.一道圖形分割題的討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2005(12):28-29.

[3] 陳錦樑.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指導(dǎo)下的中考數(shù)學(xué)命題趨勢及復(fù)習(xí)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2007(10):33-35.