兩個(gè)面積最小問題的推廣

陳建華

（福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州 350002）

兩個(gè)面積最小問題的推廣

陳建華

（福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州 350002）

把兩個(gè)有關(guān)平面圖形的面積最小問題進(jìn)行推廣，得到較一般的情形，所求的點(diǎn)都是區(qū)間的中點(diǎn).

曲線；面積；最小

1 第一個(gè)問題及其推廣

有這樣的一個(gè)面積最小問題［1］，它是1987年全國考研數(shù)四的試題：

求曲線y＝x2在［0，1］內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)t，使此曲線與直線y＝t2以及直線x＝0，x＝1所圍成的圖形面積最小.

若曲線y＝x2不變，把區(qū)間［0，1］推廣到［a，b］（0≤a＜b），同樣可求出相應(yīng)的點(diǎn)t＝，它剛好也是區(qū)間［a，b］的中點(diǎn).

那么，能否再把曲線作進(jìn)一步的推廣？

問題1 要求連續(xù)曲線y＝f（x）在［a，b］內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)t，使此曲線與直線y＝f（t）以及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形面積最小.什么條件下，該問題相應(yīng)的點(diǎn)t一定是區(qū)間［a，b］的中點(diǎn)？

定理1 設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且恒有f′（x）＞0（或f′（x）＜0），則問題1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)t為［a，b］的中點(diǎn).

證只證f′（x）＞0的情形（f′（x）＜0的情形同理）.因?yàn)閒（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，所以f（x）在［a，b］上單調(diào)增加，于是，所言的面積

定理1表明，某區(qū)間上嚴(yán)格遞增或遞減的曲線，該面積最小問題對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定是區(qū)間的中點(diǎn).

對(duì)曲線y＝ex和區(qū)間［1，3］，則問題對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為t＝2；

2 第二個(gè)問題及其推廣

下面的一個(gè)面積最小問題［1］，它是1992年全國考研數(shù)二的試題：

能否再把曲線作進(jìn)一步的推廣呢？

問題2 要求連續(xù)曲線y＝f（x）在［a，b］內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)t，使此曲線與曲線在點(diǎn)（t，f（t））的切線以及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形面積最小.什么條件下，問題2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)t一定是區(qū)間［a，b］的中點(diǎn)？

定理2 設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)且恒有f″（x）＜0（或f″（x）＞0），則問題2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)t為［a，b］的中點(diǎn).

證只證f″（x）＜0的情形（f″（x）＞0的情形同理）.因?yàn)閒（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，所以f（x）在［a，b］上為凸的，曲線y＝f（x）位于切線y＝f′（t）x＋f（t）-tf′（t）的下方，于是所言的面積為

定理和推論表明，某區(qū)間上嚴(yán)格凹或凸的曲線，該面積最小問題對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)一定是區(qū)間的中點(diǎn)，切線函數(shù)是中點(diǎn)處的一階泰勒多項(xiàng)式.

對(duì)曲線y＝ln x和區(qū)間［1，3］，則問題對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為t＝2，切點(diǎn)為（2，ln 2），切線為y＝x-1＋ln 2；

對(duì)曲線y＝sin x和區(qū)間［0，π］，則問題對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為t＝，切點(diǎn)為切線為y＝1.

［1］ 張友貴，杜祖締，施光燕.掌握高等數(shù)學(xué)（理工，經(jīng)濟(jì)類）［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2004：273-304.

O172.2

C

1672-1454（2010）增刊1-0073-02