讓冰冷美麗的“ε-N”極限定義成為火熱的思考

董方亮，金為民

（鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鶴壁 458030）

讓冰冷美麗的“ε-N”極限定義成為火熱的思考

董方亮，金為民

（鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鶴壁 458030）

數(shù)學(xué)具有兩重性——火熱的思考和冰冷的美麗。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該把教科書上數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)化為學(xué)生易接受的形式，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)呈現(xiàn)為“冰冷的美麗”，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理解卻是“火熱的思考”。本文以數(shù)列極限教學(xué)為例，對(duì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的兩重性進(jìn)行了探討。

火熱的思考；數(shù)列極限；建構(gòu)主義；數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教育的奠基人、荷蘭數(shù)學(xué)家H.Freudenthal（1908～1990）有一句名言：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來。一個(gè)問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗?！闭f明數(shù)學(xué)具有兩重性——火熱的思考和冰冷的美麗。

然而，當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)，大多呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”的一面，忽視了數(shù)學(xué)的另一面——“火熱的思考”。許多數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)給學(xué)生的是精確的定義、嚴(yán)格的程式、縝密的邏輯、高度的抽象，把數(shù)學(xué)切割為一個(gè)個(gè)公式、符號(hào)、定理、習(xí)題，數(shù)學(xué)留給學(xué)生的印象是思維的體操，是一大堆題目，是抽象、散亂、遙遠(yuǎn)、不可捉摸、不講道理。從小學(xué)到大學(xué)，對(duì)這樣一們不知從哪里來到何處去的課程，許多學(xué)生內(nèi)心的彷徨與無奈有增無減。難怪時(shí)常有學(xué)生問同樣的問題：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？” 其實(shí)，許多老師也說不清。

隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)、生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等眾多領(lǐng)域，成為解決各種實(shí)際問題的工具，特別在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用更已日益深入。同時(shí)，社會(huì)對(duì)人們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求越來越高，不論他從事何種職業(yè)，都需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)。因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為更多的學(xué)生提供一條理解數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的途徑，教學(xué)中應(yīng)該把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)化為學(xué)生易接受的形式，在一些基本概念、基本理論、基本定理建立時(shí)，不能滿足于形式地、演繹地給出，要把數(shù)學(xué)本質(zhì)用問題形式、直觀形式等揭露出來，經(jīng)過火熱的思考來理解數(shù)學(xué)，而不是被動(dòng)地接受定義、定理等結(jié)論。在倡導(dǎo)創(chuàng)新教育的今天，火熱的思考更為重要。

下面以數(shù)列極限教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些做法。

大家知道，高等數(shù)學(xué)是用極限的理論和方法研究函數(shù)的，極限是它的武器和工具, 極限的思想方法貫穿高等數(shù)學(xué)的始末。而極限概念是一個(gè)群體，各概念之間有著緊密的邏輯聯(lián)系，數(shù)列極限又是極限理論的基礎(chǔ)，因而更顯得數(shù)列極限尤為重要。怎樣教數(shù)列極限，才能使學(xué)生真正了解它的直觀背景，掌握它的精神實(shí)質(zhì)，理解它的思想方法，熟悉它的實(shí)際應(yīng)用，而不至于只是形式地去“理解”它的定義，機(jī)械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列極限的“描述性”定義向“精確性”定義過渡，從一般的敘述語言向“ε-N”語言轉(zhuǎn)化。這一教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)必須從教和學(xué)兩個(gè)方面突破。建構(gòu)主義提倡在教師指導(dǎo)下，以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)。也就是說，既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知主體作用，又不忽視教師的指導(dǎo)作用，兩者相得益彰、和諧發(fā)展，為突破難點(diǎn)提供了有力的支撐。

建構(gòu)主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會(huì)話”和“意義建構(gòu)”作為學(xué)習(xí)環(huán)境的四大要素。為突破數(shù)列極限的教學(xué)難點(diǎn)，筆者通過多媒體課件演示模型精心設(shè)計(jì)了“問題環(huán)境”，再通過師生之間的“會(huì)話”、“協(xié)作”，逐步完成學(xué)生的“意義建構(gòu)”。

一、以模型驅(qū)動(dòng)思維，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“無限”

教學(xué)中先從《莊子。天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”中，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“無限”。然后利用多媒體課件演示“無限”的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生辯證的認(rèn)識(shí)“無限”。

模型（課件演示）我國(guó)古代（公元3世紀(jì)）數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！币馑际牵簣A內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)誤差就越少，正多邊形的邊數(shù)再增加，一直到正多邊形的邊不能再分割時(shí)，則正多邊形的周長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)。

首先，這句話的要點(diǎn)在于“割之又割”，沒有“割之又割”，就沒有“以至于不可割”，也就沒有了“合體”之說。因而“割之又割”是一種變化過程，是一種沒完沒了的變化過程，即“無限”變化過程，所以“無限”實(shí)質(zhì)上是一種永不停止的變化過程。

其次，“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@是思維上的一種認(rèn)識(shí)，是思維上的一種飛躍——辯證思維?！安豢筛睢笔撬季S上的不可割，是思維上的一個(gè)“終結(jié)”，不是實(shí)際上的，實(shí)際上永遠(yuǎn)達(dá)不到“不可割”。有了這種思維認(rèn)識(shí)就順理成章地有了“合體”之說。永不停止的“無限”變化過程，有時(shí)也有一個(gè)“終結(jié)”，而這個(gè)“終結(jié)”不是實(shí)質(zhì)上的“終結(jié)”，而是一種變化趨勢(shì)。

二、以具體數(shù)列深化思維，引導(dǎo)學(xué)生形成“描述性定義”

1.多媒體演示以下數(shù)列，描繪數(shù)列的圖象

（多媒體課件動(dòng)感表示）將這四個(gè)數(shù)列直觀表示在直角坐標(biāo)中，描繪出每個(gè)數(shù)列的圖形(略)。

2.通過觀察引出“描述性”定義

讓學(xué)生觀察分析數(shù)列的圖形后不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列（1）的一般項(xiàng)無限接近于常數(shù)0；數(shù)列（2）的一般項(xiàng)無限接近于常數(shù)1；數(shù)列（3）的一般項(xiàng)無限接近于常數(shù)1；而數(shù)列（4）的一般項(xiàng)xn

在1與-1之間擺動(dòng)，不趨向于某一個(gè)確定的常數(shù)。

教師：當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)能無限接近于一個(gè)常數(shù)，則稱這個(gè)常數(shù)為數(shù)列的極限。這就是數(shù)列極限的“描述性”定義（同時(shí)板書此定義）。

三、“ε-N”精確化定義的形成和概括過程

1.在“會(huì)話”、“協(xié)作”中讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)

用《幾何畫板》考察數(shù)列（2）的圖像，學(xué)生可親自參與，用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形中標(biāo)注的拖動(dòng)點(diǎn)，觀察數(shù)列的一般項(xiàng)隨n變化的過程，反復(fù)實(shí)踐，反復(fù)體驗(yàn)何謂“趨向于”。在此基礎(chǔ)上，老師與學(xué)生進(jìn)行“會(huì)話”、“協(xié)作”共同再認(rèn)識(shí)“描述性”定義，為“描述性”定義向“精確化”定義過渡作準(zhǔn)備。

2.在交流協(xié)作中完成“ε-N”精確化定義

如何用準(zhǔn)確、精煉的數(shù)學(xué)語言來刻劃“n無限增大”、“xn無限接近”呢？經(jīng)過學(xué)生間的交流協(xié)作，在若干次的修改、補(bǔ)充、完善后，形成如下的表述：

極限的“ε-N”定義：?ε＞0無論它多么小，?正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)的一切項(xiàng)xn，恒有則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，記作

四、“ε-N”精確化定義的進(jìn)一步分析

至此，教師還須對(duì)“ε-N”定義中的語言作進(jìn)一步的解釋，要指出：

①ε與N的邏輯關(guān)系是先有ε后有N，關(guān)系不容顛倒。定義中的N是變化過程的界限，N由相應(yīng)的ε來確定，ε越小，N越大，有時(shí)也記為N(ε)，但并不意味著N由ε唯一確定。因?yàn)棣湃《ê?，N的選取并不唯一（老師可用上面的例子再作解釋）。

②ε是任意給定的正數(shù)，它具有兩重性。一是它的任意性，因此它不是一個(gè)固定的常數(shù)，以保證要多么小就有多么小，它刻劃xn無限接近于a的程度；二是它的相對(duì)固定性，ε一經(jīng)取定，就相對(duì)固定了下來，以便根據(jù)它去求出N，但ε的本質(zhì)是一個(gè)常量。

④定義中并不是、也不需要數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)xn均滿足＜ε，而是當(dāng)n增大到一定程度時(shí)，比如n＞ N以后的所有項(xiàng)滿足＜ε就可以了，至于N之前的有限個(gè)項(xiàng)是否滿足＜ε并不影響常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限。

五、從理性認(rèn)識(shí)又回到感性認(rèn)識(shí)，對(duì)定義作幾何解釋

至此，同學(xué)們對(duì)數(shù)列的極限已經(jīng)有了一個(gè)明確的并且直觀的認(rèn)識(shí)。

六、用極限的“ε-N”定義來證明數(shù)列的極限

需要說明的是：對(duì)于給定的ε，能夠說明N確實(shí)存在即可，沒有必要求出最小的N是什么。因此，為了求解方便，我們總是把不等式作適當(dāng)?shù)姆糯?，利用放大之后的式子小于ε，解不等式得到N。

還可以再舉幾個(gè)證明極限的例子，本次課就可以結(jié)束了。

[1] 張奠宙，張蔭南. 新概念用問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 高等數(shù)學(xué)教育，2004，3.

[2] 徐利治. 數(shù)學(xué)方法論選講[M]. 華中工學(xué)院出版社，1998.

[3] [ 瑞士]皮亞杰. 發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理[M]. 商務(wù)印書館，1995.

[4] 郭運(yùn)瑞. MM教育方式與數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育的教學(xué)原則[J]. 職業(yè)技術(shù)教育，2001，3.

[5] 同濟(jì)大學(xué). 高等數(shù)學(xué)[M]. 高等教育出版社，2003.

From the Icy Beauty of “ε-Ν” Limit Method to Emotional Thinking

DONG Fang-liang，JIN Wei-min

Mathematics is dual, “Passionate thinking” and “icy cold beauty”. Mathematics education should convert the academic form on the textbook to an easier way for the student. The precision of mathematics presents a kind of “icy cold beauty”. But the discoveries and comprehension of mathematics reflect “ passionate thinking”. This paper will take the numerical sequence limit as an example, and tentatively talk about the duality of mathematics.

Passionate thinking; numerical sequence limit; construction principle; mathematic thinking method

O171

A

1008-7427（2010）06-0159-02

2010-03-23

河南省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：2007110019。作者董方亮系鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。