矩陣多項(xiàng)式的綜合除法及其應(yīng)用

謝澤嘉

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

矩陣多項(xiàng)式的綜合除法及其應(yīng)用

謝澤嘉

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

給出矩陣多項(xiàng)式的綜合除法，利用微分代數(shù)的觀(guān)點(diǎn)，將其應(yīng)用于一類(lèi)常系數(shù)偏微分方程化為無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的問(wèn)題中.再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)型算法，將其應(yīng)用于構(gòu)造一類(lèi)偏微分方程組通解的問(wèn)題中.

無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)；帶余除法；綜合除法；矩陣多項(xiàng)式；偏微分方程組通解

0 引言

求微分方程（組）的等價(jià)無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)是分析力學(xué)的反問(wèn)題，是經(jīng)典力學(xué)的主要問(wèn)題之一.阿拉坦倉(cāng)[1]提出了矩陣多元多項(xiàng)式帶余除法的理論，并將其應(yīng)用于解決常系數(shù)偏微分方程（組）的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的反問(wèn)題.陸斌及張鴻慶[2]將矩陣多元多項(xiàng)式帶余除法與標(biāo)準(zhǔn)型算法相結(jié)合，獲得構(gòu)造一類(lèi)偏微分方程組通解的新方法.關(guān)于矩陣多元多項(xiàng)式帶余除法的計(jì)算，侯國(guó)林和阿拉坦倉(cāng)[3]利用Mathematica系統(tǒng)將文獻(xiàn)［1］中的結(jié)果編制成矩陣多元多項(xiàng)式帶余除法軟件包，用于求商式與余式.本文將類(lèi)比多項(xiàng)式的綜合除法，給出矩陣多項(xiàng)式的綜合除法，以解決常系數(shù)偏微分方程（組）的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的反問(wèn)題和構(gòu)造偏微分方程組通解中所涉及的矩陣多項(xiàng)式的帶余除法問(wèn)題.

1 矩陣多項(xiàng)式的帶余除法

若m×n矩陣（m、n均為正整數(shù)）A（s）的每個(gè)元素都是關(guān)于s的多項(xiàng)式，則稱(chēng)A（s）為m×n階矩陣多項(xiàng)式.

若矩陣多項(xiàng)式的次數(shù)?[A（s）]=k（其中k為正整數(shù)），則A（s）可表示為A（s）＝A0sk＋A1sk－1＋…＋Ak，其中A0，A1，…，Ak稱(chēng)為A（s）按總冪次展開(kāi)的系數(shù)矩陣.其它關(guān)于A（s）的按行（列）冪次展開(kāi)及按指定行（列）冪次展開(kāi)的情況可參考相關(guān)文獻(xiàn)[4].

文獻(xiàn)給出了當(dāng)除式為方陣時(shí)的帶余除法[5]，本文將帶余除法推廣到除式為矩形陣的情況，證明從略.以下r、l、m均為正整數(shù)，Rr×l[s]表示r×l的實(shí)系數(shù)矩陣多項(xiàng)式環(huán).

左除設(shè)A（s）∈Rr×l[s]為行正則，B（s）∈Rr×m[s]，?[B（s）]≥?[A（s）]，則存在唯一的商式Q（s）∈Rl×m[s]和余式R（s）∈Rr×m[s]，使得：

其中，?riA（s）表示A（s）第i行的次數(shù).

右除設(shè)A（s）∈Rl×r[s]為列正則，B（s）∈Rm×r[s]，?[B（s）]≥?[A（s）]，則存在唯一的商式（s）∈Rm×l[s]和余式（s）∈Rm×r[s]，使得：

其中，?ciA（s）表示A（s）第i列的次數(shù).

對(duì)于上面矩陣多項(xiàng)式的帶余除法，在具體求商與余時(shí)，左除時(shí)A（s）必須是按行冪次展開(kāi)，并要求展開(kāi)后的首項(xiàng)系數(shù)陣行滿(mǎn)秩，B（s）則必須是按與A（s）行冪次相同的指定行冪次展開(kāi)；右除時(shí)A（s）必須是按列冪次展開(kāi)，并要求展開(kāi)后的首項(xiàng)系數(shù)陣列滿(mǎn)秩，B（s）則必須是按與A（s）列冪次相同的指定列冪次展開(kāi).另外，若A（s）按總冪次展開(kāi)時(shí)的首項(xiàng)系數(shù)陣為行（列）滿(mǎn)秩矩陣，則同樣有類(lèi)似于上面的關(guān)于按總冪次展開(kāi)的左除（右除），并且被除式也是按總冪次展開(kāi).

2 矩陣多項(xiàng)式的綜合除法

矩陣多項(xiàng)式也有類(lèi)似于多項(xiàng)式的綜合除法，當(dāng)被除式與除式行數(shù)相同時(shí)可以進(jìn)行左除，列數(shù)相同時(shí)可以進(jìn)行右除.下面給出除式和被除式按總冪次展開(kāi)的情況.

對(duì)于A（s）∈Rr×l[s]左除B（s）∈Rr×m[s]的情況（?[A（s）]=k，?[B（s）]=h，h＞k，h、k均為正整數(shù)），由矩陣多項(xiàng)式的帶余除法，可令B（s）=A（s）Q（s）+R（s），其中，Q（s）=Q0sh-k+

由矩陣多項(xiàng)式恒等可得：

對(duì)于A（s）∈Rl×r[s]右除B（s）∈Rm×r[s]的情況（?[A（s）]=k，?[B（s）]=h，h＞k，h、k均為正整數(shù)），同理，由矩陣多項(xiàng)式的帶余除法，可令B（s）=Q^（s）A（s）+R^（s），其中，

同理可得：

注：上面作左除和右除時(shí)，矩陣多項(xiàng)式的綜合除法的表示形式是不同的.對(duì)于左除，形式是“?”，而對(duì)于右除，形式則是“」”.這樣表示的原因是矩陣的乘法一般是不可交換的.

綜合除法左除按行冪次展開(kāi)的情況與右除按列冪次展開(kāi)的情況，分別與左除和右除按總冪次展開(kāi)的情況類(lèi)似.

另外，在利用矩陣多項(xiàng)式的綜合除法求左（右）除的商式和余式時(shí)，首先判斷除式按總冪次展開(kāi)的首項(xiàng)系數(shù)陣是否行（列）滿(mǎn)秩，若是則進(jìn)行綜合除法，否則再判斷除式按行（列）冪次展開(kāi)的首項(xiàng)系數(shù)陣是否行（列）滿(mǎn)秩，是則進(jìn)行綜合除法，否則不能.

3 矩陣多項(xiàng)式綜合除法的應(yīng)用

3.1 在無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)中的應(yīng)用

關(guān)于無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的相關(guān)概念可參考阿拉坦倉(cāng)教授的文獻(xiàn)[6].

解該偏微分方程可寫(xiě)為多元多項(xiàng)式：

其中關(guān)于x的次數(shù)為2.故無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的矩陣多元多項(xiàng)式為

后面的步驟與文獻(xiàn)［6］例2.1一樣.

3.2 在構(gòu)造偏微分方程組通解中的應(yīng)用

文獻(xiàn)［2］給出了一種用機(jī)械化的方法構(gòu)造一類(lèi)微分方程組的通解.首先對(duì)微分方程組Au＝0在不同序下求出其標(biāo)準(zhǔn)型，從每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型中取只含某個(gè)未知函數(shù)的適當(dāng)?shù)姆匠套鳛槟繕?biāo)方程Dυ＝0（其中，u，υ為函數(shù)列向量再利用矩陣多項(xiàng)式的綜合除法求原方程組Au＝0去除目標(biāo)方程Dυ＝0所得的商與余，這時(shí)，一般情況下余式R＝0，從而得到變換公式和通解.關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)型的概念及標(biāo)準(zhǔn)型算法可參考文獻(xiàn)［2］.下面以文獻(xiàn)［2］中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明矩陣多項(xiàng)式綜合除法的應(yīng)用.

例2求方程組

的通解（這里b、c是常數(shù)）.

解由文獻(xiàn)［2］可知目標(biāo)方程可選為：

上述方程兩邊同時(shí)乘以c2，并改寫(xiě)成多元多項(xiàng)式的形式為：

由于原方程組（2）有u、v、w3個(gè)未知函數(shù)，且關(guān)于這3個(gè)未知函數(shù)的“系數(shù)矩陣”為（偏微分算子均寫(xiě)為多元多項(xiàng)式，并以變量ζ為主元，由于按總冪次展開(kāi)時(shí)首項(xiàng)系數(shù)矩陣非行滿(mǎn)秩，故按行冪次展開(kāi)）:

將主元為ζ的多元多項(xiàng)式（3）化為三階向量的形式，并按與“系數(shù)矩陣”相同的指定行冪次展開(kāi)，得：

可知余式R（ζ）=O3×1（其中O3×1表示3×1的零矩陣），商式

因此，有如下的分解式成立：

的通解[2].

本文類(lèi)比多項(xiàng)式的綜合除法，給出矩陣多項(xiàng)式的綜合除法.該綜合除法除了解決矩陣多項(xiàng)式除法的求商式與余式問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中也有重要作用，如本文的例1和例2.不足之處就是礙于綜合除法的“形式”，需要人工計(jì)算，比較繁復(fù).但從原理來(lái)看，該算法具有一般性，機(jī)械性，從而也可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，而且有更好的計(jì)算能力.矩陣多項(xiàng)式的綜合除法可進(jìn)一步推廣，如文獻(xiàn)[7]給出的升冪與降冪綜合除法.有關(guān)矩陣多項(xiàng)式綜合除法的更多推廣和應(yīng)用仍有待于進(jìn)一步的研究.

致謝：對(duì)汪立民教授的幫助謹(jǐn)致感謝.

[1] 阿拉坦倉(cāng)，張鴻慶，鐘萬(wàn)勰.矩陣多元多項(xiàng)式的帶余除法及其應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2000，21（7）：661-667.

[2] 陸斌，張鴻慶.構(gòu)造一類(lèi)偏微分方程組通解的機(jī)械化方法及力學(xué)方程的自動(dòng)推理[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，21（1）：18-24.

[3] 侯國(guó)林，阿拉坦倉(cāng).二元矩陣多項(xiàng)式的首一分解[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，35（5）：490-494.

[4] 韓京清，許可康.線(xiàn)性控制系統(tǒng)理論——構(gòu)造性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2001：13-15.

[5] 羅宗虔.控制系統(tǒng)CAD常用算法基礎(chǔ)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1991：216-219.

[6] 阿拉坦倉(cāng).無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的反問(wèn)題[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，29（5）：619-623.

[7] 謝澤嘉.升冪與降冪綜合除法在線(xiàn)性控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，30（9）：8-13.

Synthetic Division of Matrix Polynomial and Its Application

XIE Ze-jia
（School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou 510631,Guangdong,China）

The synthetic division of matrix polynomial is given and will，on the basis of differential algebra,be applied in the problem solutions pertaining to the transformation fromconstantcoefficientpartialdifferentialequotiontotheinfinitedimensional Hamiltonian system.In addition，combined with thestandard formalgorithm，the synthetic division of matrix polynomial also finds application in constructing general solutions for a class of partial differential equations.

infinite dimensional Hamiltonian system；division with remainder；synthetic division；matrix polynomial；general solutions of partial differential equations

O 175.25

A

1001-4217（2010）02-0016-08

2009-12-01

謝澤嘉（1987-），男，廣東揭陽(yáng)人，本科.研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué).E-mail：1051863526＠qq.com