基于HFI代數(shù)的模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)

秦學(xué)成，劉春輝

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

基于HFI代數(shù)的模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)

秦學(xué)成，劉春輝

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

建立了一個基于HFI代數(shù)的模糊命題演算形式系統(tǒng)H*,研究了這個系統(tǒng)的基本特征.并討論了該系統(tǒng)關(guān)于建立在HFI代數(shù)上語義的完備性.

HFI代數(shù)；模糊邏輯；演繹系統(tǒng)；完備性

1 引言與預(yù)備

隨著智能計算機的出現(xiàn),模糊控制技術(shù)得到了飛速的發(fā)展.而各種模糊控制又是以其特定的模糊推理和模糊邏輯為基礎(chǔ)的.在各種邏輯系統(tǒng)中,“蘊涵”是一個基本的邏輯連接詞,通常稱之為蘊涵算子.為了適應(yīng)不同的模糊推理的需要,國內(nèi)外的專家和學(xué)者引入了許多不同的蘊涵算子,如Zadeh算子,Kleene算子,覵ukasiewicz算子,G觟del算子和王國俊教授提出的R0算子等.為了研究蘊涵算子的共同本質(zhì),吳望名教授引入了Fuzzy蘊涵代數(shù)和Heyting型Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱HFI代數(shù))的概念,并研究了它們的一些基本性質(zhì)[1].

值得注意的是,利用代數(shù)賦值的方法來研究命題邏輯問題,無論是在經(jīng)典邏輯還是在非經(jīng)典邏輯中都是極為重要的.然而,從某種意義上講,代數(shù)賦值的方法在邏輯上的等效性主要取決于賦值域的合理選擇和賦值本身所具有的良好性質(zhì).正是因為如此,人們從不同的邏輯背景出發(fā)提出了各種不同的語義代數(shù)結(jié)構(gòu),如MV代數(shù)[2],BCK代數(shù),格蘊涵代數(shù)[3],BL代數(shù),剩余格和R0代數(shù)[4-5]等.對這些邏輯代數(shù)的研究和思考,已經(jīng)得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,獲得了許多良好的結(jié)果.并分別以它們?yōu)榛A(chǔ)建立了各種各樣的命題演算的形式系統(tǒng)[6-9].本文我們建立了一個基于HFI代數(shù)的模糊命題演算的形式系統(tǒng)H*,研究了這個系統(tǒng)的基本特征,并討論了該系統(tǒng)關(guān)于建立在HFI代數(shù)上語義的完備性.

為了討論方便,我們首先給出一些預(yù)備知識:

定義 1.1[1]（2，0）型代數(shù)（X，→，0）稱為 Heyting型Fuzzy蘊涵代數(shù),簡稱HFI代數(shù),如果對于任意的x,y,z∈X都有

引理 1.2[1]設(shè)(X,→,0)是HFI代數(shù),在X上定義二元關(guān)系≤使得坌x,y∈X,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1,則(X,≤)是一個偏序集,且分別以0和1為最小元和最大元.

引理 1.3[1]設(shè)(X,→,0)是 HFI代數(shù),則坌x,y,z∈X都有

2 模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)H*

定義2.1 模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)H*由以下幾部分構(gòu)成:

(I)公式集F(S):一個含有特定公式0的→型自由代數(shù).即:①∈F(S);②若 A,B∈F(S),則 A→B∈F(S).

(II)公理集Axm(H*).Axm(H*)由以下形式的公式組成:

(III)推理規(guī)則:MP規(guī)則.即由A和A→B推得.

在系統(tǒng)H*中,一些關(guān)于邏輯的術(shù)語和記號是自明的(見文獻[4]和[5]).如定理,從公式集Г的推演以及可證等價等等.我們?nèi)杂糜浱柀罙,Г┝A,A≈B分別表示A是H*中的定理,Г結(jié)論,A和B可證等價.

注2.2 顯然,在系統(tǒng)H*中,推理規(guī)則MP是保定理的.即如果┝A且┝A→B,則┝B.

定理2.3 在系統(tǒng)H*中,三段論推理規(guī)則HS成立.即{A→B，B→C}┝A→C.

這樣就證明了在系統(tǒng)H*中,三段論推理規(guī)則HS成立.

推理2.4 在系統(tǒng)H*中,如果┝A→B且┝B→C,則┝A→C.

定理2.5 在系統(tǒng)H*中,以下公式都是定理:(ii)(A→B)→((C→A)→(C→B)是定理的證明如下:

(v)由(iv)可得├A→((A→0)→0),即 A→┐┐A是系統(tǒng)H*中的定理.

定理2.6 在系統(tǒng)H*中,演繹定理成立.即設(shè)Г奐F（S）,A，B∈F（S）,如果 Г∪{A}├B,則 Г├A→B.

證 類似于文獻[5]中關(guān)于經(jīng)典邏輯的演繹定理的證明,這里從略.

引理 2.7 在系統(tǒng) H* 中,坌A，B，C∈F（S）有

(1)如果├B,則├A→B;

(2)如果├A→（B→C）,則├B→（A→C）;

(3)如果├A→B,則├（B→C）→（A→C）且├（C→A）→（C→B）.

證 (1)因為由(H*1)知├B→（A→B）,故由├B及系統(tǒng)H*中MP規(guī)則保定理便得├A→B.

(2)因為由(H*2)知├（A→（B→C））→（B→（A→C））,故由├A→（B→C）├B及系統(tǒng) H*中 MP規(guī)則保定理便得├→（A→C）.

(3)因為由定理 2.5(iii)可知├（A→B）→（（B→C）→（A→C））,故由├A→B及系統(tǒng) H*中 MP規(guī)則保定理便得├（B→C）→（A→C）.類似地由定理2.5(ii)和MP規(guī)則保定理有可得├（C→A）→（C→B）.

定義2.8 設(shè)A，B∈F(S),如果├A→B且├B→A,則稱A與B可證等價,記為A≈B.

定理2.9 在系統(tǒng)H*中,可證等價關(guān)系≈是一個→型同余關(guān)系.并且所有定理恰好形成一個等價類,記為[T].

證 由定理2.5(i),≈的定義和推論2.4分別可知≈是自反的,對稱的和傳遞的,從而≈是F（S）上的一個等價關(guān)系.為證≈是一個同余關(guān)系,下面只需證明坌A，B，C，D∈F（S）,如果 A≈B 且 C≈D,則 A→C≈B→D.事實上,設(shè) A≈B 且 C≈D,則├A→B,├B→A,├C→D且├D→C.故根據(jù)引理2.7(3)以及├A→B和├D→C可得├（B→D）→（A→D）且├（A→D）→（A→C）,從而由推論 2.4便得├（B→D）→（A→C）.類似地由引理2.7(3)以及├B→A和├C→D又可得├（A→C）→（B→D）.故由定義2.8便得A→C≈B→D.這樣就證明了可證等價關(guān)系≈是一個→型同余關(guān)系.

現(xiàn)在設(shè)├A.若 B∈F（S）,A≈B,則├A→B,故由系統(tǒng)H*中MP規(guī)則保定理知├B.即B∈[T].反之如果├B,則由引理2.7(1)可知├A→B且├B→A,故由定義2.8知A≈B.即H*中所以定理恰好形成一個等價類[T].進而定理結(jié)論成立.

定理2.10 假設(shè)F（S）是系統(tǒng)H*中的公式集,≈是F（S）上的可證等價關(guān)系,則商集

證 由定理2.9可知系統(tǒng)H*中的可證等價關(guān)系≈為F(S)上的同余關(guān)系,從而保證了等價類間的運算|→與各類中的代表元的選取無關(guān),即|→為F(S)上的二元運算.下證(F(S)/≈,|→,0)是一個 HFI代數(shù).事實上,

(1)由(H*1)知[A]|→（[B]|→[A]）=[A]|→[B→A]=[A→（B→A）]=[T]，故(H1)成立.

(2)由(H*3)可得 （[A]|→（[B]|→[C]））|→（（[A]|→[B]）|→（[A]|→[C]））=[A→（B→C）]|→[（A→B）→（A→C）]=[（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））]=[T],故(H2)成立.

(3)如果[T]|→[A]=[T],則[T→A]=[T],故 T→A≈T,從而由定理2.9可得├T→A,又由引理2.7(1)顯然有├A→T,故 A≈T,即[A]=[T].故(H3)成立.

(4)如果[A]|→[B]=[B]|→[A]=[T],則[A→B]=[T],故根據(jù)定理2.9可知├A→B且├B→A,于是A≈B,即[A]=[B].故(H4)成立.

(5)由(H*4)可知[0]|→[A]=[0→A]=[T],且[T]=[0→0]=[0]|→[0],故(H5)也成立,從而(F(S)/≈,|→,0)是一個HFI代數(shù).

3 系統(tǒng)H*的語義和完備性

在本節(jié)中,我們將為系統(tǒng)H*在一般的HFI代數(shù)上建立相應(yīng)的語義,并推論其完備性.

定義3.1 設(shè)(H→,0),是HFI代數(shù),F(S)是系統(tǒng)H*的公式集,A∈F(S).令v:F(S)→H.

(1)如果v是從F(S)到H的同態(tài),即v(0)=0且v(A→B)=v(A)→v(B),則稱v是一個→型H-賦值,記全體H-賦值之集為Ω（H）.

(2)如果坌v∈Ω,恒有v(A)=1,則稱公式A是一個H-重言式,記作蕕HA.

定理3.2(H-可靠性) 設(shè)（H，→，0）是任意的HFI代數(shù),F（S）是系統(tǒng)H*的公式集,A∈F(S).如果├A,則蕕HA.

證 這只需證明系統(tǒng)H*中的每條公理都是H-重言式,且MP規(guī)則保H-重言式即可.事實上,坌v∈Ω（H）,A，B，C∈F（S）,由 HFI的定義 1.1 和引理1.3易得

從而系統(tǒng)H*中公理(H*1)—(H*4)都是H-重言式.

又如果A和A→B都是H-重言式,即坌v∈Ω都有v(A)=1且v(A→B)=1,則有v(B)=1→v(B)=v(A)→v(B)=1,故MP規(guī)則也保H-重言式.從而證明了H-可靠性定理是成立的.

定理3.3([H]-完備性) 設(shè)F(S)是系統(tǒng)H*的公式集,A∈F(S),則├A當(dāng)且僅當(dāng)蕕[H]A.

證 “必要性”:由定理2.10和定理3.2立即可得.

“充分性”:設(shè)蕕[H]A,則坌v∈Ω([H])有 v(A)=[T].取v 為從 F(S)到[H]的自然投射,即 v:F(S)→[H]使得 v(X)=[X],坌X∈F(S),則[A]=v(A)=[T],故由定理 2.9便知├A.從而[H]-完備性定理得證.

定理3.4(H-完備性) 設(shè) (H,→,0)是任意的HFI代數(shù),坌A∈F(S),則├A當(dāng)且僅當(dāng)蕕HA.

證 必要性由H-可靠性定理可得.充分性由[H]=F(S)/≈為HFI代數(shù)和定理3.3既得.

以上我們建立了一個基于HFI代數(shù)的模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)H*,并為該系統(tǒng)在一般的HFI代數(shù)上建立了語義理論,從而討論了該系統(tǒng)的完備性.這為模糊推理在應(yīng)用領(lǐng)域又提供了一個良好的基礎(chǔ)框架和數(shù)學(xué)模型.

〔1〕吳望名.Fuzzy蘊涵代數(shù) [J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1990,4(1):56—64.

〔2〕劉練珍,王國俊.Fuzzy蘊涵代數(shù)與MV代數(shù)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1998,12(12):21—25.

〔3〕徐揚.格蘊涵代數(shù)[J].西南交通大學(xué)學(xué)報,1993,28(1):20-27.

〔4〕王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

〔5〕王國俊.數(shù)理邏輯引論與歸結(jié)原理(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

〔6〕裴道武,王國俊.形式系統(tǒng)L*的完備性及其應(yīng)用[J].中國科學(xué)(E 輯)，2002,32(1):56-64.

〔7〕朱怡權(quán).格蘊涵代數(shù)與Lukasiewicz邏輯系統(tǒng)[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版)，2004,35(2):121-123.

〔8〕傅麗.次BL代數(shù)的推理系統(tǒng)[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報，2002,30(1):17—21.

〔9〕裴道武.強正則剩余格值邏輯系統(tǒng)LN及其完備性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2002,45(4):745—752.

O141.1；O153.1

A

1673-260X（2010）01-0004-03