柯西中值定理的中間點總位于區(qū)間正中間的函數(shù)類

時統(tǒng)業(yè)

（海軍指揮學(xué)院 浦口分院，江蘇 南京 211800）

柯西中值定理的中間點總位于區(qū)間正中間的函數(shù)類

時統(tǒng)業(yè)

（海軍指揮學(xué)院 浦口分院，江蘇 南京 211800）

給出使柯西中值定理的中間點總位于區(qū)間正中間的函數(shù)類.

柯西中值定理；導(dǎo)數(shù)；積分；中間點；充要條件

本文中c1,c2,c及qi均表示任意常數(shù).

則 f"(x)g'(x)-f'(x)g"(x)=c

證 (1)式可化為

兩邊對h兩次求導(dǎo)得

移項得

由洛必塔法則并注意到f(x)和g(x)有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，得

另一方面，

聯(lián)合法是將冷卻結(jié)晶法和酸沉法結(jié)合起來，從正鉬酸銨溶液中析出高質(zhì)量的七鉬酸銨產(chǎn)品的一種方法。此法包括四鉬酸銨氨溶、正鉬酸銨溶液冷卻結(jié)晶、母液酸沉三個過程。

比較（2）、（3）知必有f?(x)g'(x)-f'(x)g?(x)=0,即[f"(x)g'(x)-f' (x)g"(x)]'=0,故存在常數(shù)c使f"(x)g'(x)-f'(x)g"(x)=c.

引理2設(shè)φ(x)在區(qū)間I內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且φ(x)≠0,φ"φ-(φ')2=c,則

φ(x)=q1x+q2或φ(x)=q1eq3x+q2e-q3x或φ(x)=q1c o s q3x+q2s i n q3x.證因φ"φ'2-c=0故

引理3設(shè)f(x)和g(x)在區(qū)間I內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且g'(x)≠0,a∈I,

則對任意h≠0,x∈I,x+h∈I,(1)式成立當(dāng)且僅當(dāng)

證 在(4)式兩邊在以a和x為端點的區(qū)間上積分,應(yīng)用分部積分公式得

代入(1)式并整理即可得到(5)式.

證 充分性 由引理3，只要驗證(3)式成立，這里略去驗證過程.

必要性由引理1知,當(dāng)(1)式成立時就有f"(x)g'(x)g"(x) =c1.于是,

由引理3,(5)式成立.

(5)式兩邊對h求導(dǎo)并整理得

(5)式兩邊對X求導(dǎo)并整理得

(6)-(7)得

(8)式兩邊對h求導(dǎo)得

整理得

對g(x)和g'(x)引用引理1得g?(x)g'(x)-(g"(x))2=c.令φ(x) =g'(x),則φ(x)≠0,且φ"φ-φ'2=c.

由引理2，φ(x)=q1x+q2或φ(x)=q1eq3x+q2e-q3x或φ(x) =q1c o s q3x+q2s i n q3x.故g(x)=q1x2+q2x+q3或g(x)=q1eq4x+q2e-q4x+q3或g(x)=q1s i n q4x+q2c o s q4x+q3.

在定理中取g(x)=x則得

推論 設(shè)f(x)在區(qū)間I上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，則對任意h≠0,x∈I,x+h∈I,成立

的充要條件是f(x)=q1x2+q2x+q3.

〔1〕蘇化明，程海來.關(guān)于多項式的一個定理[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8(5):33,38.

〔2〕李重華，孫薇榮，景繼良，鄭麒海.高等數(shù)學(xué)競賽試題精解[M].上海：上?？茖W(xué)普及出版社，1996:7,43.

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A

1673-260X（2010）04-0001-02