線性方程組在處理矩陣秩問題中的應(yīng)用

林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

線性方程組在處理矩陣秩問題中的應(yīng)用

林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

通過若干實(shí)例討論了用線性方程組解決矩陣秩問題的思路與方法.

矩陣的秩；線性方程組；應(yīng)用

線性方程組的理論與矩陣的秩有很密切的關(guān)系，但一般的高等代數(shù)和線性代數(shù)的教科書多是討論如何用矩陣的秩來解決線性方程組的問題，對(duì)如何用線性方程組來討論矩陣的秩涉及的不多.而事實(shí)上很多矩陣秩的問題如果用線性方程組來討論的話是很容易解決的，本文試圖通過實(shí)例介紹用線性方程組解決矩陣秩問題的思路與方法.

1 基本結(jié)論

1.1 線性方程組A X=b有解?秩(A)=秩(A)，這里A分別是線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣. 1.2若A是m×n矩陣，W是齊次線性方程組A X=0的解空間，則維(W)=n-秩(A).

1.3 若齊次線性方程組A X=0和B X=0的系數(shù)矩陣A和B分別是s×n與m×n矩陣，則

（1）若A X=0的解都是B X=0的解，那么秩(A)≥秩(B)；

（2）若A X=0與B X=0同解，那么秩(A)=秩(B)；

（3）若A X=0的解都是B X=0的解，且秩(A)=秩(B)，那么A X=0與B X=0同解.

證明 設(shè)W1與W2分別為A X=0與B X=0的解空間，則

維(W1)=n-秩(A)，維(W2)=n-秩(B)

（1）由假設(shè)知W1?W2，于是有維(W1)≤維(W2)，從而有

n-秩(A)≤n-秩(B)

故秩(A)≥秩(B).

（2）由于W1=W2，所以n-秩(A)=n-秩(B)，故秩(A)=秩(B).

（3）由于W1?W2，又維(W1)=維(W2)，所以W1=W2，故A X=0與B X=0同解.

注：當(dāng)秩(A)=秩(B)時(shí)，A X=0與B X=0不一定同解.如，A=(0，1，0，…，0)，B=(1，0，…，0)時(shí)，秩(A)=秩(B).但A X=0的解空間為

W1={(k1，0，k3，…，kn)'|ki是任意數(shù)，i=1，3，…，n}

而B X=0的解空間為

W2={(0，k2，k3，…，kn)'|ki是任意數(shù)，i=1，3，…，n}

顯然，W1≠W2，故A X=0與B X=0不同解.

2 實(shí)例

例1設(shè)A、B分別為m×k和m×s矩陣，α是m維列向量，若秩(B α)=秩(B)，則秩(A B α)=秩(A B).

例2設(shè)A、B分別為m×n和n×s矩陣，且A B=0，則

秩(A)+秩(B)≤n

證明 設(shè)B的列向量為B1，B2，…，Bs，則

0=A B=A(B1，B2，…，Bs)=(A B1，A B2，…，A Bs)

于是A B1=A B2=…=A Bs=0，即B1，B2，…，Bs為A X=0的解.

令W為A X=0的解空間，則B1，B2，…，Bs∈W，因此B的秩，亦即列向量組B1，B2，…，Bs的秩不大于W的維數(shù)，即

秩(B)≤維(W)=n-秩(A)

故，秩(A)+秩(B)≤n.

例3設(shè)A為n階方陣，則存在n階方陣B，使得

秩(A)+秩(B)=k

其中k是滿足秩(A)≤k≤n的任何整數(shù).

證明 設(shè)秩(A)=r，k是滿足r≤k≤n的任何整數(shù).

若r=n，則k=n，于是取n階方陣B=0，就有

秩(A)+秩(B)=k

若r

當(dāng)k=r時(shí)，取n階方陣B=0，就有秩(A)+秩(B) =k.

當(dāng)k>r時(shí)，有1≤k-r≤n-r，令n階方陣

B=(B1，…，Bk-r，0，…，0)

則秩(B)=k-r，于是有

秩(A)+秩(B)=r+k-r=k.

例4若A是m×n實(shí)矩陣，則秩(A'A)=秩(A).

證明顯然，A X=0的解都是(A'A)X=0的解.

設(shè)X0是(A'A)X=0的解，則(A'A)X0=0，從而X0' (A'A)X=0，于是(A X0)'(A X0)=0，由于A X0是實(shí)m維列向量，所以A X0=0，即X0是A X=0的解.

因此，A X=0與(A'A)X=0同解，故秩(A'A)=秩(A).

②用與例2同樣的方法可以證明，當(dāng)A為復(fù)矩陣時(shí)有

例5設(shè)A、B分別為k×m和m×n矩陣，且秩(A B)=秩(B)，則對(duì)任意n×s矩陣C，都有秩(ABC) =秩(B C).

證明由秩(A B)=秩(B)及B X=0的解都是(A B) X=0的解，知B X=0與(A B)X=0同解.

設(shè)X0是(ABC)X=0的任一解，則(ABC)X0=0，于是C X0是方程組(A B)X=0的解，從而C X0是B X=0的解，因此(B C)X0=0，即X0是(B C)X=0的解.

另一方面，(BC)X=0的解顯然是(ABC)X=0的解.

所以，(BC)X=0與(ABC)X=0同解，故秩(ABC)=秩(BC).

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕樊惲，錢吉林，等.代數(shù)學(xué)辭典[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,1994.

O151.2

A

1673-260X（2010）03-0006-02

“十一五”國(guó)家課題“我國(guó)高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式研究”數(shù)學(xué)類子課題研究項(xiàng)目（FIB070335-A2-03）