淺正弦波紋圓板大撓度問(wèn)題的攝動(dòng)解法?

袁 鴻,龔勝海,吳立彬

(暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,應(yīng)用力學(xué)研究所,廣東廣州 510632)

近幾十年來(lái),隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn),彈性元件的發(fā)展異常迅速,廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、測(cè)量?jī)x表、真空技術(shù)、機(jī)械工業(yè)、電力工業(yè)、交通運(yùn)輸及原子能工業(yè)等領(lǐng)域.在儀器儀表中應(yīng)用也十分廣泛,是儀器儀表的主要基礎(chǔ)元件之一.常用的有:波紋圓板、波紋管、振動(dòng)弦、片簧、壓力彈簧管、熱敏雙金屬等.

波紋圓板作為一種彈性元件,由于具有靈敏度高、線性度好等優(yōu)點(diǎn),使它的應(yīng)用范圍極其廣泛,在傳感器中占有重要地位,是多種傳感器和精密儀器的核心.波紋膜片以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)在各種技術(shù)領(lǐng)域里廣泛使用,尤其是作為低壓敏感元件被廣泛應(yīng)用于精密儀器儀表和傳感器中.自從 Heresey[1]和Griffith[2]各自展開(kāi)了對(duì)波紋圓板的實(shí)驗(yàn)和理論研究以來(lái),世界各國(guó)的科學(xué)家[3-16]在這方面做了大量的工作;然而,得到的解答主要是數(shù)值解,這種彈性元件的理論研究至今還不是很充分.造成這種狀況的主要原因是,波紋膜片本身形狀復(fù)雜,參數(shù)很多,特別是大撓度非線性微分方程組在數(shù)學(xué)上求解極其困難.現(xiàn)有的理論解中,絕大多數(shù)成果都是從正交異性板理論出發(fā)得到的[17-22],用正交各向異性板處理波紋圓板的問(wèn)題是一個(gè)有效的方法,能同時(shí)討論各種形狀的波紋圓板.然而,簡(jiǎn)化本身也帶來(lái)一些不足:第一,對(duì)于波紋圓板,它得到的特征缺少中心撓度的偶次項(xiàng),因而不能反映載荷反向時(shí)波紋圓板不同的剛度特征;而當(dāng)波紋數(shù)較少及撓度較大時(shí),這種差別可以是顯著的.第二,它的解答不能用于研究波紋圓板的應(yīng)力分布和局部失穩(wěn)現(xiàn)象.第三,它只能解決分段均勻的波紋圓板問(wèn)題(即每個(gè)波的波紋深度、波紋形狀必須一致),而不能解決帶有邊緣波紋、波紋深淺不同的波紋殼問(wèn)題.使用薄殼非線性理論進(jìn)行分析能避開(kāi)以上不足,但由于殼體大撓度方程本身的非線性和復(fù)雜性,增加了求解難度.陳山林[23]用修正迭代法求解了波紋圓板的大撓度方程,得到了具有光滑中心的淺正弦波紋圓板在均勻載荷下的彈性特征,為了得到一個(gè)較好的初始近似,引入了初始近似修正系數(shù).袁鴻[24]采用攝動(dòng)法和冪級(jí)數(shù)方法,研究了具有光滑中心的鋸齒形和梯形波紋圓板的彈性特征,得到了含中心撓度二次項(xiàng)的設(shè)計(jì)公式.

本文借鑒文獻(xiàn) [24]的研究思路,基于扁殼的非線性大撓度理論,用攝動(dòng)法求解了淺正弦波紋圓板的大撓度方程.選取無(wú)量綱中心撓度作為攝動(dòng)參數(shù),將描述波紋圓板的非線性微分方程組化為一系列線性微分方程組.對(duì)于中心平臺(tái)部分,描述各階攝動(dòng)的線性微分方程組成為通常的歐拉方程,可以得到精確解;對(duì)于波紋部分,不能直接得到各階攝動(dòng)的精確解,采用冪級(jí)數(shù)方法求解.最后根據(jù)邊界條件、連續(xù)條件和攝動(dòng)條件,將攝動(dòng)問(wèn)題化為線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解,得到具有中心平臺(tái)的淺正弦波紋圓板在荷載下的彈性特征.

1 淺正弦波紋圓板大撓度問(wèn)題的攝動(dòng)解法

無(wú)量綱化軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)扁殼的基本方程[3,25]是

其中:

式中:r是徑向半徑;T*是變形前殼體子午線與水平方向的夾角;U*為子午線的轉(zhuǎn)角;F是應(yīng)力函數(shù);E和g分別是彈性模量和泊松比;P0和 Q0分別是均布載荷及中心集中載荷;h表示波紋部分及中心平臺(tái)的板厚;a是波紋圓板的半徑.

設(shè)有波紋圓板,它由一個(gè)光滑中心平臺(tái)和淺正弦波紋兩部分組成,中心平臺(tái)半徑為 b,波長(zhǎng)為 L0,波幅為 H,如圖1所示.

圖1 淺正弦波紋圓板的軸向截面Fig.1 Geometry of circular plate with shallow sinusoidal corrugation

2)滑動(dòng)固定情形

基本方程 (2)和 (5)是非線性的,對(duì)方程中的未知函數(shù)U,g和外荷載 P做攝動(dòng)展開(kāi)

式中:X是攝動(dòng)參數(shù).將上面的攝動(dòng)展開(kāi)式代入基本方程 (2)和 (5)中,比較方程兩邊X的同次冪的系數(shù),得到各級(jí)攝動(dòng)展開(kāi)后的微分方程組

式 (8)中,當(dāng)求和號(hào)的終值小于初值時(shí),不求和.對(duì)于中心平臺(tái)部分,T=0,此時(shí)方程 (7)和 (8)就變成了通常的歐拉公式,可以求得精確解析解;對(duì)于淺正弦波紋部分,式 (7)和 (8)雖然是線性的,但是求不出解析解,這個(gè)時(shí)候可以得到冪級(jí)數(shù)解.下面對(duì)光滑中心和波紋部分分開(kāi)討論.

1.1 中心平臺(tái)部分的求解

對(duì)于光滑中心部分,0≤R≤R1=b/a,T=0.將攝動(dòng)展開(kāi)式 (6)代入條件 (3)中,得到

此時(shí)一階攝動(dòng)方程 (7)和 (8)在式 (10)下的解(L=1)為

而二階攝動(dòng)方程 (7)和 (8)在式 (9)下的解(L=2)為

三階攝動(dòng)方程 (7)和 (8)在式 (9)下的解 (L=3)為

式(10)～(15)中,e1,h1,P1,e2,h2,P2,e3,h3,P3是待定常數(shù),由外邊界條件、連續(xù)條件和攝動(dòng)條件決定.

1.2 波紋部分的求解

對(duì)于圖1所示的淺正弦波紋部分,R1≤R≤1,T是正弦函數(shù).為求解方便,首先將區(qū)間 [R1,1]化到區(qū)間 [-1,1]上,為此令

其中a是新的自變量

攝動(dòng)方程 (7)和 (8)化為

(18),(19)兩式是變系數(shù)常微分方程,不能化為歐拉方程.下面討論它的冪級(jí)數(shù)解法,將U L,gL和T展開(kāi)成a的冪級(jí)數(shù)

式中:UL,K,gL,K和TK分別是 UL,gL和 T在a=0處的臺(tái)勞展開(kāi)式系數(shù).將式 (20)代入方程 (18)和(19)中,可得到無(wú)窮個(gè)線性代數(shù)方程,遞推求解這些方程組可知,每階攝動(dòng)的系數(shù)U L,K,g L,K由4個(gè)待定常數(shù)及 PL確定,假定 4個(gè)待定常數(shù)用 kL1,kL2,kL3,kL4表示.

2 待定常數(shù)的確定

為了確定每解攝動(dòng)的 7個(gè)未知數(shù)eL,hL,PL及 4個(gè)待定常數(shù) kL1,kL2,kL3,kL4,可以使用兩個(gè)外邊界條件,4個(gè)內(nèi)力位移連續(xù)條件,一個(gè)攝動(dòng)條件共 7個(gè)條件.將攝動(dòng)展開(kāi)式 (6)代入條件 (4)中,得到攝動(dòng)形式的外邊界的條件.

1)夾緊固定情形

2)滑動(dòng)固定情形

在 r=b處,光滑中心和淺正弦波紋部分相接,將攝動(dòng)展開(kāi)式 (6)代入該處的內(nèi)力、位移連續(xù)條件,得到攝動(dòng)形式的方程

式 (22)中的上標(biāo) 1表示采用光滑中心部分的值,上標(biāo) 2表示采用淺正弦波紋部分的值.攝動(dòng)條件取決于攝動(dòng)參數(shù)的選取,這里選取無(wú)量綱中心撓度為攝動(dòng)參數(shù)

由撓度與子午線的轉(zhuǎn)角U*的關(guān)系式及外邊界處撓度為零的條件,可得到

將光滑中心和淺正弦波紋膜片部分的轉(zhuǎn)角的攝動(dòng)展開(kāi)式 (6)代入式 (24),得到攝動(dòng)條件

7個(gè)未知數(shù)由方程 (21),(22)和 (25)確定,求得了未知數(shù) eL,hL,PL,kL1,kL2,kL3,kL4的值后,由式 (6)可以得到中心撓度與荷載 P的關(guān)系式,根據(jù)內(nèi)力、位移與轉(zhuǎn)角、應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系,就得到了內(nèi)力、位移的表達(dá)式.

3 數(shù)值算例與結(jié)果分析

計(jì)算結(jié)果表明:式 (20)中的U L,K,gL,K展開(kāi)式系數(shù)隨著K的增加迅速減小,所以只需取前 20項(xiàng)進(jìn)行求和(K=0,1,2,3,… ,19).將U(2),g(2)攝動(dòng)到三階 ,運(yùn)用 Matlab編輯程序求解方程組 (21),(22)和(25),求得相應(yīng)于前三階的 7個(gè)未知量 eL,hL,PL,kL1,kL2,kL3,kL4的數(shù)值(L=1,2,3),由此得到載荷作用下波紋圓板的特征關(guān)系式.

圖1是由中心平臺(tái)和淺正弦波紋環(huán)形板部分組成的波紋圓板的軸向截面,各有關(guān)數(shù)據(jù)為:E=104kg/mm2,g=0.3,h=0.22 mm,a=25 mm,L 0=6.6 mm,H=0.375 mm,光滑中心的半徑 b=1.9 mm,邊界夾緊固定.下面討論在中心集中荷載作用下時(shí)其特征曲線.

圖1所示波紋圓板的軸向截面可以由殼體子午線切線方向與 r方向的夾角T*用式 (26)描述出來(lái).

圖2 集中荷載下淺正弦波紋圓板的特征曲線Fig.2 Characteristic curve of circular plate with shallow sinusoidal corrugation under concentrated load

在中心集中荷載作用下,原先定義的荷載控制參數(shù)k P和k Q為k P=0,k Q=1,可以求出在中心集中載荷下邊界夾緊固定淺正弦波紋圓板的特征關(guān)系為式中:Q0的單位是 kg;=-w 0的單位是 mm;為正表示撓度向下;為負(fù)表示撓度向上.根據(jù)式 (27)繪制的特征曲線如圖2所示.圖中是＞0時(shí)的特征曲線,Q0＜0時(shí)的特征曲線與之基本一致.由此可知,載荷反向?qū)μ卣髑€的影響很小,這一結(jié)論可以從式 (27)中直接得出,因?yàn)閾隙鹊亩雾?xiàng)系數(shù)比一次項(xiàng)和三次項(xiàng)小很多.從圖2可知,當(dāng)/h)＜1.8(或＜5)時(shí),特征曲線幾乎是線性的,這一線性關(guān)系對(duì)于彈性元件的設(shè)計(jì)極其重要,采用這段特征曲線可以設(shè)計(jì)出精度高、線性度好的彈性元件.在這個(gè)范圍之外,特征關(guān)系具有較為明顯的非線性.

4 結(jié) 論

利用本文的求解方法可以得到近似解析表達(dá)式.文中算例表明:在中心集中載荷作用下,由于載荷-中心位移的關(guān)系式中的二次項(xiàng)相對(duì)很小,故載荷反向?qū)μ卣髑€的影響不大;而且,由圖中曲線可見(jiàn),當(dāng)載荷不大時(shí),特征曲線是近似線性的,隨著載荷的增大,特征曲線開(kāi)始向上彎曲,明顯地偏離了線性.

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