關(guān)于一類特殊非齊次常微分方程的解法

趙 微，許 潔

(1. 大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；2. 吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引言

在《常微分方程》(文獻(xiàn)[1])教材中，對(duì)于常系數(shù)非齊次的常微分方程，當(dāng)非齊次項(xiàng)f(t)為兩類特殊情況時(shí)，即

f(t)=(b0tm+b1tm-1+…+bm)eλt和f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt

時(shí)，采用了比較系數(shù)法，得到方程的特解，其解法過(guò)程中主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，較為簡(jiǎn)便。

但對(duì)于變系數(shù)非齊次常微分方程的解法，常用的方法是先求出其對(duì)應(yīng)的齊次常微分方程的通解，而后利用常數(shù)變易法求出非齊次常微分方程的特解，最后得到通解， 由于在常數(shù)變易法的過(guò)程中，需要計(jì)算不定積分，因此計(jì)算量大，比較麻煩。

本文旨在給出如下一類特殊非齊次常微分方程

即當(dāng)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為歐拉方程時(shí)，并在非齊次項(xiàng)滿足一定條件下，采用比較系數(shù)法得到方程的特解，進(jìn)而求出方程的通解，其過(guò)程較常數(shù)變易法簡(jiǎn)便，且計(jì)算量小。

1 定理

定理1 考慮方程

(1)

當(dāng)

f(t)=(b0lnmt+b1lnm-1t+…+bm-1lnt+bm)tλ

時(shí)，其特解形式為

證明 做變換，令t=eu，則u=lnt，從而

假設(shè)

則

因此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得到

將上述式子及t=eu代入(1)中，則得到

化簡(jiǎn)得

合并同階導(dǎo)數(shù)則得到

再將f(t)=(b01nmt+b1lnm-1t+…+bm-1lnt+bm)tλ及t=eu代入上式中，則有

從上式中可看出將原變系數(shù)方程化為了常系數(shù)方程，且非齊次項(xiàng)滿足1)，故可采用比較系數(shù)法進(jìn)行求解。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，則知上述方程的特解形式為

于是，有

其中λ是對(duì)應(yīng)(1)的次方程的特征值，而k是λ的重?cái)?shù)，若λ不是特征值，則取k=2。

再根據(jù)歐拉方程的通解形式，則可求得方程(1)的通解。

定理2 考慮方程(1)，當(dāng)

f(t)=[Acosβ(lnt)+Bsinβ(lnt)]tα，

時(shí)，其特解形式為

證明 類似定理1證明，做同樣的變量代換，則知，方程可化為

則由[1]知，其特解形式為

其中λ是(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征值，k為λ=α+iβ的重?cái)?shù)，若λ不是特征值，取k=0。

再根據(jù)歐拉方程的通解形式，即可得方程(1)的通解。

2 例證

例1： 求方程t2x″-tx′+2x=tlnt的通解。

解 方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為

t2x″-tx′+2x=0

是歐拉方程，其通解為

x=C1tcosln|t|+C2tsinln|t|

根據(jù)定理1，知其特解形式為

而λ=1不是對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征值，故取k=0. 因此特解形式為

代入原方程中，可求得B0=1,B1=0， 故

從而原方程的通解為

x=C1tcos ln|t|+C2tsin ln|t|+tlnt

例2: 求解方程t2x″-4tx′+6x=tsin(lnt)。

解 方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

x=C1t2+C2t3

由定理2，知其特解形式為

而不是齊次方程的特征值，故取. 因此其特解形式為

從而原方程的通解為

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一類特殊非齊次常微分方程(1)，運(yùn)用比較系數(shù)法，求得了非齊次方程的一個(gè)特解，進(jìn)而求得非齊次方程的通解。求解過(guò)程中直接求解代數(shù)方程則可，省去了求不定積分的麻煩，計(jì)算量較常數(shù)變易法小。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 王高雄. 常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3] 莊萬(wàn).常微分方程習(xí)題集[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.