楔形空間中圓弧形沉積對平面SH波的散射解析解

劉中憲，梁建文

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

多次的地震觀測以及理論研究均表明沉積谷地或盆地對地震動具有顯著的影響．自 20世紀(jì) 70年代以來，國內(nèi)外多位學(xué)者對相關(guān)問題進(jìn)行了研究分析．求解方法主要有解析法[1-6]和數(shù)值法[7-11]．解析法主要是波函數(shù)展開法，數(shù)值法則包括域內(nèi)離散型的有限差分法、有限元法和邊界離散型的邊界元法、離散波數(shù)法和波源法等．

值得指出的是，上述研究一般是基于半空間假定．而在我國重慶、青島、大連等地有大量建筑座落在山坡、山頂或者近海高岸上．此類地形宏觀上一般可簡化為楔形或階梯場地．該地形中沉積谷地對地震動的影響一方面源于沉積對地震波的散射，另一方面還源于特殊地形本身對地震動的放大作用．這同半空間情況有著本質(zhì)的不同，在問題的處理上也更為復(fù)雜．迄今為止，國內(nèi)外有關(guān)楔形空間局部場地反應(yīng)問題的研究成果較少．基于 MacDonald對電磁波的研究成果，Sanchez-Sesma[12]首先研究了 SH波在楔形空間中的衍射．而后Lee等[13-14]給出了楔形空間中圓弧形峽谷和沉積對平面 SH波的散射解答．Dermendjian等[15-16]采用矩量法研究了楔形空間中任意形狀凹陷地形和剛性基礎(chǔ)對 SH波的散射．史文譜等[17-18]則采用復(fù)變函數(shù)法分別求解了楔形空間中(直角情況)固定圓形夾雜和圓孔對SH波的散射．

綜上，目前的研究多以SH波的散射為對象，對于P、SV 波入射情況則研究很少(嚴(yán)格滿足楔形空間邊界條件的散射波函數(shù)難以精確構(gòu)造)．Lee的方法[14]同樣僅適用于SH波入射情況，且求解中散射體圓心須位于楔形頂點處．為此，筆者借鑒文獻(xiàn)[3]的思路，采用2個大圓弧面分別模擬楔形空間的2個表面，對楔形空間中局部場地反應(yīng)問題給出了一種有效的求解方法．該方法避免了楔形空間中散射波構(gòu)造上的困難，使得散射波函數(shù)易于表達(dá)且邊界條件容易處理，因而適用于楔形空間中任意波型輸入情況，且散射體位置比較靈活．筆者以 SH波入射為例，給出了問題求解的思路和過程，并進(jìn)行了方法驗證和數(shù)值分析．

1 模型及方法

如圖1所示，一圓弧形沉積位于楔形空間頂部附近．設(shè)楔形空間斜面與水平面夾角為vπ，圓弧半徑為a．為方便推導(dǎo)，假定圓心位于楔形空間頂點O處．為方便地利用邊界條件和構(gòu)造散射波場，由兩半徑非常大的圓弧面Ⅰ和Ⅱ來分別模擬楔形空間的水平面和傾斜面，圓弧半徑均取為d，圓心分別位于1O、2O處．假設(shè)沉積內(nèi)外介質(zhì)均為彈性、均勻和各向同性，剪切模量和密度分別為vμ、vρ和sμ、sρ，下標(biāo)v代表沉積介質(zhì)，s代表沉積外介質(zhì)．vβ、sβ為相應(yīng)剪切波速．為方便問題求解，在這里設(shè)定了 3套極坐標(biāo)系：O-θ，1O-1θ和2O-2θ．

圖1 楔形空間中沉積谷地計算模型Fig.1 Computational model for the alluvial valley in wedge-shaped space

設(shè)楔形空間內(nèi)入射波為 w(i)，比擬光的幾何傳播路線(射線理論)．由于楔形空間的特殊性，楔形空間內(nèi)會存在二次反射波，即一個平面上的反射波在另一平面上的再次反射．設(shè)波在水平面上的初次反射波為，該反射波在傾斜面上的二次反射設(shè)為；同理，設(shè)傾斜面上的初次反射波為，該反射波在水表面上的二次反射設(shè)為．由簡單的幾何推導(dǎo)，二次反射波的存在范圍不難確定．

楔形空間中總位移波場(t)w 在極坐標(biāo)系r-O-θ中滿足波動方程

1.1 波場分析

坐標(biāo)O-θ下，各入射、反射波函數(shù)可以表示為

式中：sk為沉積外楔形空間內(nèi)橫波波數(shù)，ss/kωβ=；vk為沉積內(nèi)橫波波數(shù)，vv/kωβ=．時間因子exp(i)tω?已略去．

坐標(biāo)11-O θ下，沉積內(nèi)外大圓弧面Ⅰ上散射波可以分別表示為

坐標(biāo)22-O θ下，沉積內(nèi)外大圓弧面Ⅱ上散射波可以分別表示為

沉積內(nèi)外圓弧界面上散射波為

以上各式中Jm(kr)和 H(m1)(kr)分別表示第一類 Bessel和第一類Hankel函數(shù)．

綜上，沉積內(nèi)外總波場可分別表示為

式中(r)w 為楔形空間中幾種反射波的組合．

1.2 模型求解

問題的邊界條件包括楔形空間表面零應(yīng)力

沉積內(nèi)表面表面零應(yīng)力

以及圓弧交界面上位移及應(yīng)力連續(xù)條件

為利用位移和應(yīng)力連續(xù)性條件(17)，需采用Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將各散射波系數(shù)轉(zhuǎn)化到 -Oθ坐標(biāo)下．限于篇幅，具體步驟從略．

利用恒等變換

則入射反射波可以統(tǒng)一用級數(shù)形式表示為

由連續(xù)性邊界條件最終可以推得出

同理為利用邊界條件(15)和(16)，需將總波場分別轉(zhuǎn)換到O1-θ1和O2-θ2下，從而得到另兩組方程．最后問題歸結(jié)為求解一無窮項數(shù)線性方程組，保證邊界條件滿足一定精度，通過項數(shù)截斷可以求得未知散射波系數(shù)．將各散射波系數(shù)帶入，可求得沉積內(nèi)外各區(qū)域內(nèi)總波場表達(dá)式、，繼而得出楔形空間表面位移幅值．

2 精度檢驗

通過邊界條件的滿足程度和與現(xiàn)有結(jié)果的對比，檢驗本文方法的精度．首先引入無量綱頻率η．它定義為圓弧沉積的直徑與入射波波長之比，計算式為

由于楔形空間表面由大圓弧面近似模擬，大圓弧面上零應(yīng)力條件經(jīng)驗算容易滿足．為驗算圓弧交界面上位移和應(yīng)力連續(xù)性條件滿足程度，定義位移差值和應(yīng)力差值分別為

圖2給出了90°楔形空間情況下，Δw和Δτ隨項數(shù)增大的收斂趨勢，無量綱頻率η＝2.0、3.0．橫軸坐標(biāo)表示和水平邊界的夾角(由φ表示)．容易看出，Δw 和Δτ隨著計算截斷項數(shù)的增大，收斂速度較快，最終能達(dá)到10-5量級，表明位移和應(yīng)力連續(xù)性條件能得到較好的滿足．

圖2 沉積交界面連續(xù)性條件檢驗Fig.2 Verification of the continuous boundary on the valley interface

圖 3給出了 120°楔形空間情況，SH波不同角度入射下，本文方法所得沉積附近地表位移幅值同文獻(xiàn)[14]所給結(jié)果的對比．沉積內(nèi)外材料密度比= 1 .5，剪 切 模 量 比= 6 ，無 量 綱 頻 率η= 3 .0．容易看出 2種方法所得結(jié)果整體上吻合良好，但局部反應(yīng)略微有一定差異．這是由于對本文模型而言，為使大圓弧面能足夠精確地模擬地表面，大圓弧半徑需遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于散射體尺寸，但這同時會引起數(shù)值計算上的誤差：半徑過大會使得 Graf坐標(biāo)轉(zhuǎn)化中特殊函數(shù)截斷項數(shù)增大，最終使得線性方程組求解困難．因而大圓弧面并不能完全真實地模擬地表散射，使得本文結(jié)果有一定誤差．本文計算當(dāng)中大圓弧半徑取值：d＝100a．

圖3 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[14]結(jié)果的比較Fig.3 Comparison between results in this study and those of reference [14]

3 算例分析

在精度檢驗基礎(chǔ)上，分別對楔形空間中軟沉積(見圖 4～圖 7)和硬沉積(見圖 8～圖 11)對平面 SH波的散射進(jìn)行了求解分析．

3.1 軟沉積情況

圖4 90°楔形空間中軟沉積場地位移幅值Fig.4 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 90°wedge-shaped space

圖5 120°楔形空間中軟沉積場地位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 120°wedge-shaped space

圖6 150°楔形空間中軟沉積場地位移幅值Fig.6 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 150°wedge-shaped space

圖7 180°楔形空間中軟沉積場地位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 180° wedge-shaped space

圖8 90°楔形空間中硬沉積場地位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 90°wedge-shaped space

圖9 120 °楔形空間中硬沉積場地位移幅值Fig.9 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 120°wedge-shaped space

圖10 150°楔形空間中硬沉積場地位移幅值Fig.10 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 150°wedge-shaped space

圖11 180°楔形空間中硬沉積場地位移幅值Fig.11 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 180°wedge-shaped space

圖4 ～圖 7分別給出了 90°、120°、150°和 180°楔形空間中，在不同角度(α＝0、π/6、π/3和π/2)及不同頻率(η＝0.5、1.0和2.0)SH波入射下，沉積附近地表位移幅值．α表示入射波方向與豎直線的夾角．沉積內(nèi)外介質(zhì)剪切模量比μv/μs＝1/6，密度比ρv/ρs＝2/3．圖中橫坐標(biāo)為地表面上各點與楔形頂點的距離同沉積半徑的比值，橫軸上的負(fù)值對應(yīng)楔形水平面上點，而正值對應(yīng)楔形傾斜面上點；縱軸對應(yīng)位移幅值w(t)．

需要指出的是，180°楔形空間(半空間)情況的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]吻合很好，表明本文方法可以退化為半空間情況，這從另一方面驗證了方法精度．

3.2 硬沉積情況

圖 8～圖 11分別給出了 90°、120°、150°和180°楔形空間中硬沉積場地位移幅值．設(shè)沉積內(nèi)外材料特性比值：剪切模量比為μv/μs＝6，密度比ρv/ρs＝3/2．入射波頻率η取 0.5、1.0和 2.0，計算了不同入射角度下的地表位移幅值．

通過對上述結(jié)果的總體分析，可以得出下述結(jié)論．

(1)楔形空間中沉積谷地反應(yīng)特征依賴于4個因素，即楔形空間夾角vπ、波入射角α、無量綱頻率η以及沉積內(nèi)外彈性介質(zhì)的剪切模量比和密度比．

(2)隨著楔形空間夾角的減小，位移空間分布同半空間情況的差異逐漸增大，且即便對于較小斜度的楔形空間(ν＝5/6)，位移反應(yīng)幅值和分布特征仍然有很大不同．從整體上看，位移放大效應(yīng)要比半空間情況更為顯著，這是由于在楔形空間中存在波的多次反射疊加作用．因此，對于斜坡和階梯地形中的局部場地反應(yīng)問題，需考慮特殊地形和地質(zhì)不均勻性的復(fù)合影響，而不能簡單地按半空間情況處理．

(3)隨著入射波角度變化，散射波能量的空間分布發(fā)生改變，而位移峰值一般出現(xiàn)在SH波沿一邊掠入射情況；無量綱頻率η反映了沉積直徑同入射波長的比值關(guān)系，該參數(shù)直接決定了位移的空間振蕩頻度，并且對位移幅值具有關(guān)鍵影響．當(dāng)該值在1.5～2.5之間，即沉積半徑和波長相當(dāng)時，散射作用比較顯著．

(4)楔形空間中軟沉積場地位移放大作用十分明顯．這是由于楔形空間中沉積內(nèi)散射波具有更強(qiáng)的相干作用，波動能量由此產(chǎn)生匯聚效應(yīng)，沉積范圍之內(nèi)場地反應(yīng)比較劇烈．計算表明，對較軟介質(zhì)情況，局部地表位移幅值能放大10倍以上．

(5)硬沉積場地位移反應(yīng)特征同軟沉積情況有明顯差異．硬沉積對波的吸收作用較小(計算得出沉積內(nèi)散射波系數(shù)較小)，而波向楔形空間中的散射作用增強(qiáng)，故沉積內(nèi)部位移幅值反而會有所降低，沉積外部地表位移(一般是朝向入射波的一側(cè))則顯示出明顯的位移放大作用．如圖 8所示，沉積附近地表位移峰值接近 7.0，達(dá)到無沉積情況位移幅值的 2.3倍；隨著地表點位和沉積距離的增大，位移放大效應(yīng)逐漸減弱．

4 結(jié) 語

本文對楔形空間中圓弧形沉積對彈性波的散射問題進(jìn)行了方法上的探索和深入的研究，給出了一種新的解析求解技術(shù)．通過邊界條件驗算及同現(xiàn)有結(jié)果的比較驗證了方法精度，為楔形空間中 P、SV波的散射求解奠定了基礎(chǔ)．

數(shù)值結(jié)果分析表明：楔形空間中沉積對彈性波的散射同半空間情況具有本質(zhì)的不同，需綜合考慮地形和地質(zhì)不均勻性對地震動的復(fù)合影響；楔形夾角、無量綱頻率、波入射角和沉積內(nèi)外介質(zhì)特性是影響地表反應(yīng)特征的幾個主要因素；平面波入射下，同半空間情況相比，由于波的多次散射疊加，楔形空間中沉積附近場地反應(yīng)放大效應(yīng)更為顯著．因此為安全考慮，對地震多發(fā)區(qū)的高岸或斜坡地帶，需更細(xì)致地評估局部場地對地震動的影響，進(jìn)而更科學(xué)合理地提高當(dāng)?shù)亟ㄖ锏目拐鹪O(shè)防標(biāo)準(zhǔn)．

需要指出的是，本文以位于楔形空間頂部的圓弧形沉積為例，進(jìn)行了推導(dǎo)計算和參數(shù)分析．當(dāng)散射體(圓弧形)位于楔形空間其他位置時，兩大圓弧面的坐標(biāo)系和邊界條件不變，另外需以散射體的圓心為中心建立一個坐標(biāo)系，進(jìn)而利用零應(yīng)力或連續(xù)性邊界條件，并結(jié)合 Graf變換公式，分別將不同的散射波場統(tǒng)一在同一個坐標(biāo)系下表達(dá)，建立方程求解得到散射波系數(shù)．求解思路和過程與本文情況無本質(zhì)區(qū)別．

［1］ Trifunac M D. Surface motion of a semi-cylindrical alluvial valley for incident plane SH waves[J]. Bulletin of Seismological Society of America，197l，61(6)：1755-l770.

［2］ Wong H L，Trifunac M D. Surface motion of a semielliptical alluvial valley for incident plane SH waves[J].Bulletin of Seismological Society of America，1974，64(5)：1389-1408.

［3］ Todorovska M，lee V W. Surface motion of shallow circular alluvial valleys for incident plane SH waves：Analytical solution[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，1991，10(4)：192-200.

［4］ Yuan Xiaoming，Liao Zhenpeng. Scattering of plane SH waves by a cylindrical alluvial valley of circular-arc cross-section[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1995，24(10)：1303-1313.

［5］ 梁建文，張郁山，顧曉魯. 圓弧形層狀沉積河谷場地在平面 SH波入射下動力響應(yīng)分析[J]. 巖土工程學(xué)報，2000，22(4)：396-401.

Liang Jianwen，Zhang Yushan，Gu Xiaolu. Surface motion of circular-arc layered alluvial valleys for incident plane SH waves[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2000，22(4)：396-401(in Chinese).

［6］ 李偉華，趙成剛. 具有飽和土沉積層的充水河谷對平面波的散射[J]. 地球物理學(xué)報，2006，49(1)：212-224.

Li Weihua，Zhao Chenggang. Scattering of plane waves by circular arc alluvial valleys with saturated soil deposits and water[J]. Chinese Journal of Geophysics，2006，49(1)：212-224(in Chinese).

［7］ Boore D M，Larner K L，Aki K. Comparison of two independent methods for the solution of wave scattering problems：response of a sedimentary basin to incident SH waves[J]. Journal of Geophysical Research，1971，76(2)： 558-569.

［8］ Dravinski M. Scattering of plane harmonic SH wave by dipping layers or arbitrary shape [J]. Bulletin of Seismological Society of America，1983，73(5)：1303-1319.

［9］ 杜修力，熊建國，關(guān)慧敏. 平面 SH 波散射問題的邊界積分方程分析法[J]. 地震學(xué)報，1992，15(3)：331-338.

Du Xiuli，Xiong Jianguo，Guan Huimin. The boundary integration equation methods in scattering of plane SH waves[J]. Acta Seismologica Sinica，1992，15(3)：331-338(in Chinese).

［10］ Sanchez-Sesma F J，Ramos-Martinez J，Campillo M. An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P，S and Rayleigh waves[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1993，22(4)：279-295.

［11］ 廖振鵬. 工程波動理論導(dǎo)論[M]. 2版．北京：科學(xué)出版社，2002.

Liao Zhenpeng. Introduction to Wave Motion Theories in Engineering[M]. 2nd ed. Beijing：Science Press，2002(in Chinese).

［12］ Sanchez-Sesma F J. Diffraction of elastic SH-waves by wedges[J]. Bull Seismological Soc of Am，1985，75(5)：1435-1446.

［13］ Lee V W，Sherif R I. Diffraction around circular canyon in elastic wedge space[J]. Journal of Engineering Mechanics，1996，122(6)：539-544.

［14］ Lee V W， Sherif R I. Diffraction around a circular alluvial valley in an elastic wedge-shaped medium due to plane SH-waves[J]. European Earthquake Engineering，1996，10(3)：21-28.

［15］ Dermendjian N，Lee V W，Liang Jianwen. Anti-plane deformation around arbitrary-shaped canyons in wedgeshape half space：Moment-method solutions[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2003，2(2)：281-287.

［16］ Dermendjian N，Lee V W，Moment solutions of antiplane(SH)wave diffraction around arbitrary-shaped rigid foundations on a wedge-shape half space[J]. ISET Journal of Earthquake Technology，2003，40(2)：161-172.

［17］ 史文譜，劉殿魁，禇京蓮，等. 二維直角平面內(nèi)固定圓形夾雜對穩(wěn)態(tài)入射反平面剪切波的散射[J]. 爆炸與沖擊，2007，27(1)：57-62.

Shi Wenpu，Liu Diankui，Chu Jinglian，et al. Scattering of fixed cirucular inclusion in right-angled plane to steady incident planar shearing horizontal wave[J]. Explosion and Shock Waves，2007，27(1)：57-62(in Chinese).

［18］ 史文譜，劉殿魁，宋永濤，等. 直角平面內(nèi)圓孔對穩(wěn)態(tài)SH 波的散射[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2006，27(12)：1417-1423.

Shi Wenpu，Liu Diankui，Song Yongtao，et al. Scattering of circular cavity in right-angular planar space to steady SH-wave[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2006，27(12)：1417-1423(in Chinese).