一種新的變步長 LMS自適應(yīng)濾波算法

楊紅, 李德敏, 林蒼松, 楊旭

(①東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620;②中國電子科技集團(tuán)公司第五十研究所,上海 200063)

0 引言

自適應(yīng)濾波是現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)的重要研究領(lǐng)域。幾十年來,眾多的學(xué)者對LMS算法[1-9]的性能分析和算法改進(jìn)方面進(jìn)行了大量的研究工作,在理論上和應(yīng)用上都積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),并且提出了許多 LMS算法的改進(jìn)算法,文獻(xiàn)[3-4]提出了一種自適應(yīng)步長隨迭代次數(shù)n的增加而逐漸減小的變步長算法,該算法對非時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差非常小,但不具有對時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力。文獻(xiàn)[5]提出的變步長算法中,其步長因子與 e(n)和 x(n)(濾波器 n時(shí)刻輸入矢量)的互相關(guān)函數(shù)的估值成正比,在干擾加大的情況下,該算法仍具有良好的性能,但計(jì)算量大不易實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[6]通過對誤差信號(hào)e(n)進(jìn)行非線性處理,得到了一種變步長算法,該算法計(jì)算量適中,穩(wěn)態(tài)失調(diào)小,但收斂速度不夠快。文獻(xiàn)[7]提出了一種步長因子與誤差信號(hào) e(n)之間滿足非線性函數(shù)關(guān)系的濾波算法,該算法對非相關(guān)信號(hào)有較高的處理性能,但對于強(qiáng)相關(guān)信號(hào)算法性能急劇下降。文獻(xiàn)[8]用誤差信號(hào)e(n)的自相關(guān)時(shí)間均值來調(diào)整步長,但收斂效果不太明顯。文獻(xiàn)[9]提出了一種解相關(guān)算法,該算法具有很好地處理強(qiáng)相關(guān)信號(hào)的能力,但收斂速度有待進(jìn)一步提高。

[7]建立步長因子與誤差信號(hào) 之間的非線性函數(shù)關(guān)系,并借鑒文獻(xiàn)[9]歸一化的思想,將兩種算法有機(jī)結(jié)合,提出引入輸入信號(hào)因子,得到了改進(jìn)的 LMS算法,該算法不僅獲得了較快的收斂速度,較好的跟蹤性能,還能在輸入發(fā)生突變的情況下保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

1 算法分析

1.1 改進(jìn)的 SVSLMS算法

濾波器的原理框圖如圖1。

圖 1 自適應(yīng)濾波原理框

其誤差信號(hào)為：

W(n)的迭代公式為：

文獻(xiàn)[7]中的步長：

式中,e(n)為誤差信號(hào),X(n)為 n時(shí)刻輸入信號(hào)矢量,W(n)為n時(shí)刻N(yùn)階自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù),α控制步長的形狀,β控制步長的大小,μ是步長因子,收斂的條件是 0＜μ＜1/2λmax,λmax是輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

1.2 歸一化的 NLMS算法

固定步長的自適應(yīng)濾波算法 NLMS[10](歸一化 LMS)采用如下算式調(diào)整自適應(yīng)濾波器參數(shù)：

其中,μ為歸一化調(diào)整步長,A(n)為n時(shí)刻自適應(yīng)濾波器的系數(shù)矢量：

其中 N為自適應(yīng)濾波器的階數(shù)。

1.3 變步長 N-SVSLMS算法分析

文獻(xiàn)[7]提出的算法運(yùn)算簡單,在穩(wěn)態(tài)階段步長很小且變化不大,在自適應(yīng)均衡中也能取得較好的效果。但此算法易受到信號(hào)輸入端不相關(guān)噪聲的干擾,影響了算法的穩(wěn)定性。新算法的引入分析為：定義輸入矢量X(n)在 n和n-1時(shí)刻的相關(guān)系數(shù)為：

從矢量 X(n)中去除與X(n-1)相關(guān)的信息量,并定義為新矢量：

由式(7)和式(8)得：

式(9)表明 U(n)與 n-1時(shí)刻的信號(hào) X(n-1)正交,這種正交性加快了算法的收斂速度。由于矢量U(n)表示信號(hào)矢量X(n)中和以前時(shí)刻分量無關(guān)的部分,因此定義當(dāng)前信號(hào)的有效能量為：

故‖U(n)‖2又稱為歸一化能量因子,將矢量 U(n)看作為濾波器n時(shí)刻的輸入,可得權(quán)系數(shù)更新公式為

文獻(xiàn)[7]中的算法是一種步長因子與誤差信號(hào) e(n)之間滿足非線性函數(shù)關(guān)系的濾波算法,該算法對非相關(guān)信號(hào)有較高的處理性能,但在高信噪比下收斂不夠快;文獻(xiàn)[9]中的解相關(guān)算法具有很好地處理強(qiáng)相關(guān)信號(hào)的能力,但在信道突變的環(huán)境下不夠穩(wěn)定;結(jié)合文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[9]兩種算法的優(yōu)點(diǎn),在此基礎(chǔ)上,通過引入輸入信號(hào)因子U(n),建立歸一化的思想和步長因子μ與誤差信號(hào)之間的非線性函數(shù)關(guān)系,使之能根據(jù)濾波器的輸入信號(hào)能量和實(shí)時(shí)誤差改變步長,加快收斂速度。

這里算法的步長計(jì)算公式為：

其中,μ1(n)β(1-exp(-α|e(n)|2)已在文獻(xiàn)[7]中給出,U(n)為輸入信號(hào)因子,δ是一個(gè)小的正數(shù),它保證分母不為零,且 0＜δ?‖U(n)‖2,μ滿足：

將式(12)代入到式(11)中,得到新算法權(quán)系數(shù)更新公式為：

其中,δ是一個(gè)小的正數(shù),它保證分母不為零,且 0＜δ?‖U(n)‖2,收斂因子 μ滿足或 0＜μ＜2。其中α控制步長的形狀,β控制步長的大小。在保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差條件下,改進(jìn)的算法保證了較快的收斂速度和較好的跟蹤性能,并且當(dāng)輸入信號(hào)發(fā)生變化時(shí),能很好的跟蹤并獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。所以,改進(jìn)算法具有較好的抗干擾性能,且其收斂性和穩(wěn)態(tài)誤差等也明顯改善。不僅保持了原算法的優(yōu)點(diǎn),而且在低信噪比環(huán)境下,性能更加優(yōu)良,應(yīng)用范圍也更加廣泛。

2 性能仿真及分析

2.1 時(shí)域波形分析

從圖 2中可以看出信號(hào) s經(jīng)過未知信道后,波形發(fā)生了明顯的變化,而經(jīng)過自適應(yīng)濾波后,波形的到了恢復(fù),且在10～20個(gè)比特時(shí)達(dá)到收斂。信號(hào)因噪聲的影響而上下波動(dòng),自適應(yīng)濾波克服了這一缺點(diǎn)。從圖 2的比較可以看出,該算法具有更好的處理結(jié)果,對自相關(guān)較弱的噪聲不再敏感,有較強(qiáng)的魯棒性,體現(xiàn)了自適應(yīng)濾波的特點(diǎn)。

圖 2 信號(hào)的時(shí)域波形

2.2 收斂性能分析

下面通過計(jì)算機(jī)仿真來給出改進(jìn)的變步長 N-SVSLMS自適應(yīng)濾波算法和已有算法的性能比較,采用以下計(jì)算機(jī)仿真條件：

①自適應(yīng)濾波器階數(shù)L=4;

②未知系統(tǒng)系數(shù)矢量 h1=[0.8.0.6]T,h2=[0.9,0.3,0.2]T,h3=[1,0.7,0.5,0.25]T;

③參考輸入信號(hào) x(n)為貝努利二進(jìn)制隨機(jī)序列;

④噪聲信號(hào) v(n)是與 x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲,其均值為零,方差為 1。分別做 1 000次獨(dú)立的仿真,采樣點(diǎn)數(shù)為200,然后求其統(tǒng)計(jì)平均,采用對數(shù)坐標(biāo)得出 e(n)的收斂曲線,該算法初始系數(shù)均為 0,標(biāo)準(zhǔn) LMS算法的步長 μ=0.01;改進(jìn)的SVSLMS算α=20,β=0.05(這里本實(shí)驗(yàn)最佳取值);NLMS算法 μ=1;算法 α=20,β=0.5(該實(shí)驗(yàn)最佳取值)。

圖 3為在矢量 h1環(huán)境下的仿真曲線,圖 4為在矢量 h2和 h3環(huán)境下的仿真曲線。

圖 3 兩徑信道下四種不同算法的收斂曲線

由圖 3可以看出,在相同的穩(wěn)態(tài)誤差情況下,本文算法的收斂速度明顯快于其他算法,改進(jìn)的 SVSLMS算法[7]要快于標(biāo)準(zhǔn) LMS算法,歸一化算法(NLMS)[11]收斂速度很快,但不夠穩(wěn)定,這里算法(N-SVSLMS)比上述三種算法收斂速度要快,而且更趨于穩(wěn)定。在達(dá)到相同均方誤差的情況下,NSVSLMS算法的收斂速度明顯快于標(biāo)準(zhǔn) LMS算法和改進(jìn)的SVSLMS算法,穩(wěn)定性要優(yōu)于 NLMS算法。

圖 4左右兩邊的斂收曲線分別是在h2和 h3環(huán)境下的曲線圖,由圖 4可以看出,在良好的信道環(huán)境下,NLMS收斂速度很快,但在信道環(huán)境突變的情況下,NLMS不但沒有收斂,并且還出現(xiàn)了嚴(yán)重的失真,通過比較得知,N-SVSLMS的穩(wěn)定性要優(yōu)于其他算法,并適用于多種信道。

圖 4 多徑信道下四種不同算法的收斂曲線

在四種算法保持同樣的收斂速度時(shí),N-SVSLMS算法具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量,性能明顯優(yōu)于其他算法,該算法在啟動(dòng)初期有較大的收斂步長,使算法有較快的收斂速度;在算法深度收斂時(shí)有一個(gè)較小的步長,使得算法可以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差,較好地解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾。而且該算法對不相關(guān)噪聲還具有較強(qiáng)的抗躍變能力和魯棒性。此算法性能明顯改善,這也符合變步長自適應(yīng)算法的思想。

3 結(jié)語

通過建立步長因子與誤差信號(hào)之間的合理非線性函數(shù)關(guān)系,提出一種歸一化的變步長 LMS自適應(yīng)算法。該算法具有初始階段和系統(tǒng)時(shí)變階段步長迅速增大而穩(wěn)態(tài)階段步長自適應(yīng)減小,并且不容易受噪聲干擾的特點(diǎn)。理論分析和計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明該算法具有收斂速度好、跟蹤速度快,收斂精度高的特點(diǎn),理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法明顯優(yōu)于現(xiàn)有算法。

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