基于二維希爾伯特變換的相位一致模型圖像特征檢測(cè)方法

王 珂,肖鵬峰

南京大學(xué)地理與海洋科學(xué)學(xué)院地理信息科學(xué)系,南京210093

基于二維希爾伯特變換的相位一致模型圖像特征檢測(cè)方法

王 珂,肖鵬峰

南京大學(xué)地理與海洋科學(xué)學(xué)院地理信息科學(xué)系,南京210093

相位一致方法是從頻域中的相位信息理論中延伸出的一種圖像特征檢測(cè)方法。其原理是指圖像特征如躍級(jí)邊緣、線形、屋脊形和馬赫帶等,總發(fā)生在相位的最大疊合處。該原理通過(guò)構(gòu)造局部能量模型,并經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后,度量其圖像各個(gè)位置的相位一致值。在前人的基礎(chǔ)上對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn),提出以二維的希爾伯特變換代替一維希爾伯特變換,從而在全方向上考慮各點(diǎn)的相位一致。改進(jìn)算法后,相位一致模型的分子部分,即局部能量,是利用去DC(Direct Current,直流)分量算子和二維希爾伯特變換算子以卷積的形式求取,從而簡(jiǎn)化算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程。同時(shí)為了抑制噪音的影響,在相位一致模型中的分母部分中引入了圖像DC分量。最后以自然圖像和遙感圖像為試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行圖像特征檢測(cè),結(jié)果表明該改進(jìn)方法可以有效地提取圖像特征。

相位一致;二維希爾伯特變換;局部能量;圖像特征檢測(cè)

1 引 言

基于圖像的灰度值的特征提取方法在特征提取領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛。在此類方法發(fā)展過(guò)程中,Roberts[1]、Prewitt[2]、Sobel[3]、Marr[4]等人作出重大貢獻(xiàn)。為了減少圖像噪聲的影響, Canny[5]、Kundu[6]和Bergholm[7]通過(guò)設(shè)定閾值的方法來(lái)優(yōu)化某些模型?；诨叶鹊奶卣魈崛H僅對(duì)于邊緣有很好的效果,但是在圖像空間,某個(gè)特征是由多個(gè)不同的特征混合組成的。除此之外,基于灰度檢測(cè)算子對(duì)于圖像灰度級(jí)太過(guò)于依賴,從而不能獲取足夠的圖像信息。

在馬赫帶研究過(guò)程中,Morrone[8]發(fā)現(xiàn)圖像的特征處具有高度的相位一致性,從而提出了相位一致性原理,并構(gòu)建局部能量模型來(lái)實(shí)現(xiàn)。在局部能量的計(jì)算過(guò)程中,Morrone[9]借助了一維希爾伯特變換。其后的研究中,Kovesi[10-11]以 Log Gabor[12]濾波器代替了希爾伯特變換。近年來(lái)許多學(xué)者將相位一致模型用于各個(gè)領(lǐng)域,如遙感圖像處理[13-14]、醫(yī)學(xué)圖像處理[15-16]、面部識(shí)別[17]等領(lǐng)域。

Morrone基于相位一致性原理的圖像特征檢測(cè)中,學(xué)者們使用一維的希爾伯特變換來(lái)計(jì)算圖像的每一點(diǎn)的局部能量。盡管可以從水平和豎直的兩個(gè)方向分別計(jì)算,但是此過(guò)程沒(méi)有考慮到整個(gè)方向的計(jì)算。本文利用2-D希爾伯特變換[18]來(lái)計(jì)算局部能量,簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的同時(shí),可考慮所有方向的影響,從而得到更好的結(jié)果。同時(shí),對(duì)圖像進(jìn)行加窗以后來(lái)計(jì)算局部能量,并用該窗口的傅里葉分量之和對(duì)局部能量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

2 相位一致性原理

相位一致性原理是:人類視覺(jué)所感知的圖像特征總發(fā)生在圖像各諧波分量的最大疊合處。以一維信號(hào)為例,信號(hào) F(x)可以表示為一系列的傅里葉序列,其表達(dá)式為

其中,an、x、φn分別為n次諧波的幅值、角頻率和初相。當(dāng)φn(xi)=90°時(shí),點(diǎn) xi(為空域信號(hào)的第i個(gè)點(diǎn))處的值為,即各個(gè)傅里葉分量的總和。當(dāng)φn(xi)=0°時(shí),點(diǎn)xi的值為0。據(jù)此性質(zhì),可以很好地提取其相對(duì)應(yīng)的特征。而當(dāng)相位一致性最大處的角度不是90°或者0°時(shí),即便是為圖像特征點(diǎn),但是其 xi值介于與0之間,很難進(jìn)行特征識(shí)別。因此,必須構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來(lái)突出相位一致性最大處。由于希爾伯特變換是幅頻特性為1的全通濾波器,即信號(hào)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后,其負(fù)頻率作正90°的相移,而正頻率作負(fù)90°的相移,而其幅度值不改變?；诖颂匦?Morrone利用一維希爾伯特變換構(gòu)造局部能量來(lái)描述相位一致性,其表達(dá)公式為

4)修改功能：可以對(duì)學(xué)生的基本信息及各科成績(jī)進(jìn)行修改，并有提示確認(rèn)修改對(duì)話框。當(dāng)修改了學(xué)生的各科成績(jī)后，學(xué)生成績(jī)的總分自動(dòng)重新計(jì)算并修改。當(dāng)各科成績(jī)未做改動(dòng)時(shí)，修改其總分，總分不會(huì)有變化。

而希爾伯特變換表達(dá)式為

根據(jù)公式(1)、(2)、(3),局部能量公式亦可表達(dá)為

當(dāng)信號(hào)中某一點(diǎn)的諧波分量的相位一致時(shí),即φn(xi)在各個(gè)諧波分量上的值相同時(shí),公式 (4)變?yōu)?/p>

對(duì)于整個(gè)圖像來(lái)說(shuō),相位一致最大處的局部能量總小于圖像的傅里葉分量之和 ∑nan,因此,可以引入變量PC(為區(qū)別相位一致概念,下文以PC表示其相位一致計(jì)算結(jié)果)來(lái)表征信號(hào)各點(diǎn)的相位一致大小,其定義為

3 2-D相位一致模型

Morrone等人在圖像特征檢測(cè)試驗(yàn)中,是借由一維希爾伯特變換來(lái)構(gòu)建局部能量的,并分別以行列方向分別度量圖像中各點(diǎn)。本文在構(gòu)建局部能量過(guò)程中引入了二維希爾伯特變換,來(lái)檢測(cè)二維圖像特征。由此二維信號(hào)作為整體的信號(hào),并以二維希爾伯特變換來(lái)求其 H(x,y)。其二維的相位一致模型可表達(dá)為

其中,m、n為圖像的行列數(shù)。

3.1 2-D希爾伯特變換

希爾伯特變換僅僅改變其相位值,而對(duì)其信號(hào)的幅度不加任何改變。二維希爾伯特變換在頻率域和空域中均有相應(yīng)的表達(dá)公式。在頻率域和空域中,Read[18]、Bose[19]等人對(duì)其表達(dá)形式進(jìn)行了研究,在頻域中,通過(guò)定義二維離散希爾伯特變換并將其公式在頻率域展開(kāi)來(lái)完成。對(duì)于一個(gè)N1×N2矩陣的二維信號(hào),其二維離散希爾伯特變換定義為

其中,bdy(i,j)被用來(lái)定義矩陣的邊界。

在空域中,二維希爾伯特變換算子的余切空域表達(dá)如下

其中,i=0,1,2,3,…,N1-1,j=0,1,2,3,…, N2-1。

3.2 2-D相位一致模型建立

Morrone和Owens[8]已經(jīng)證明當(dāng)圖像信號(hào)的均值(即圖像的灰度平均值)理論上為0時(shí),其局部能量將明顯地表征圖像特征。而圖像信號(hào)的均值也等同于圖像的 DC分量(direct current component,直流分量)值,傅里葉變換后的零次諧波的分量。在圖1(b)中一維信號(hào)的局部能量的兩個(gè)極大值分別為4.7和5.8,而在320到640之間的信號(hào)的大部分信號(hào)的局部能量接近4.7,這就造成了無(wú)法將此部分的信號(hào)與0處的信號(hào)的特征進(jìn)行區(qū)分。圖1(d)為去除DC分量(即去除圖像的均值)后的局部能量分布結(jié)果,其圖像的特征點(diǎn)局部能量值接近4.5,而其余部分信號(hào)的局部能量值與特征點(diǎn)有明顯差異。

圖1 原始信號(hào)在去DC分量前后的局部能量差異Fig.1 The difference of local energy of the original signal and the signal removed the DC component

如上所述,二維信號(hào)即圖像矩陣也需要去除DC分量,即減去整個(gè)圖像灰度矩陣的均值。為方便卷積運(yùn)算,給出其圖像去DC分量的矩陣表達(dá)式:

其中,n為卷積窗口的大小,其取值為 n=2i+ 1(i=1,2,3,…)。

對(duì)原圖像進(jìn)行加窗處理,可以突出各個(gè)局部的圖像特征。本文以一維的數(shù)字信號(hào)(圖2(a))為例來(lái)闡述。圖2(b)是不加窗的PC值計(jì)算結(jié)果,盡管PC值在各個(gè)點(diǎn)均達(dá)到了峰值,但是很難用閾值來(lái)提取特征點(diǎn)。而經(jīng)過(guò)加窗出來(lái)的圖2(c)結(jié)果,則更為凸顯其特征點(diǎn),其各個(gè)特征點(diǎn)的值接近1。

圖2 基于整個(gè)信號(hào)所生成的PC值以及分窗處理的PC值Fig.2 The PC produced over whole original signal and by windowing function of original signal

對(duì)于整幅圖像而言,逐步分窗來(lái)計(jì)算PC值過(guò)于繁瑣,所以我們引入卷積運(yùn)算來(lái)簡(jiǎn)化其運(yùn)算過(guò)程。這就需要構(gòu)建算子Mf和Mh來(lái)與原圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算以得到 H(x,y)和 F(x,y)。根據(jù)二維希爾伯特變換和去除DC分量的矩陣公式,其算子 Mf(式(11),圖3(a))和 Mh(式(10),圖3(b))的形狀如圖3所示。

圖3 去圖像DC分量算子和二維希爾伯特變換算子Fig.3 The operators to remove the DC component from original image and the operators of 2D Hilbert transform

在PC值的計(jì)算過(guò)程中,其局部能量需要與當(dāng)前窗口下的傅里葉分量之和(不包含DC分量)進(jìn)行商運(yùn)算。由于信號(hào)被截?cái)嗪?其 PC值反應(yīng)的是當(dāng)前窗口下圖像特征明顯的相對(duì)程度。所以對(duì)于窗口下一段相對(duì)比較平穩(wěn)的信號(hào),即使信號(hào)有細(xì)微的波動(dòng)就會(huì)造成PC值的很大波動(dòng),從而使得噪音影響加大。為提高圖像特征提取的質(zhì)量和抑制噪音,需要在PC值計(jì)算公式中的分母位置引入一個(gè)變量來(lái)減少噪音的影響。公式為

由于噪音抑制變量參數(shù)ε很難確定,而DC分量則是當(dāng)前窗口的均值,所以在一定程度上反映了當(dāng)前窗口各個(gè)點(diǎn)的分布特征?；诖?本文將當(dāng)前窗口下原圖像的DC分量值引入到分母中,以起到抑制噪音的作用。同時(shí)由于DC分量的引入也導(dǎo)致其圖像特征位置的PC值不是接近1,而是遠(yuǎn)低于1,但是其檢測(cè)結(jié)果并不受影響。將DC分量代替ε后,即使用原始信號(hào)或者圖像在當(dāng)前窗口下的傅里葉分量之和作為分母,公式(12)可化為

其中,a′m×n是當(dāng)前窗口下原圖像的傅里葉分量。

綜上所述,用于檢測(cè)圖像特征的PC值計(jì)算過(guò)程如下:①原始圖像 F與Mf和Mh卷積得到F′和 H′;②求其 F′和 H′的平方之和;③開(kāi)方后,將其值除以當(dāng)前窗口下原始圖像信號(hào)的傅里葉分量之和。

4 圖像檢測(cè)結(jié)果及分析

在此節(jié),本文給出一系列的圖像在相位一致模型下的特征檢測(cè)結(jié)果。圖4顯示了三種由不同大小窗口運(yùn)算得到的檢測(cè)結(jié)果。盡管本文為了抑制噪音,將原始圖像的DC分量引入了相位一致模型(式(12)),但是噪音依然存在,圖4(b)是用一個(gè)較小的窗口來(lái)計(jì)算PC值的檢測(cè)結(jié)果,從圖中可以看出其噪音明顯;而圖4(c)則是在較大窗口下計(jì)算PC值的結(jié)果,其邊緣變得模糊。所以窗口選擇的大小直接決定了噪音的大小。圖4(d)為其最佳窗口下的檢測(cè)結(jié)果。

為進(jìn)一步說(shuō)明其基于二維希爾伯特變換的相位一致模型的可行性,圖5又給出兩幅圖像(圖5(a)和圖 5(c))的檢測(cè)結(jié)果(圖 5(b)和圖5(d))。

圖4 原始圖像在不同窗口大小而得到的檢測(cè)結(jié)果Fig.4 The detection of original image from phase congruency with a different size of window

圖5 特征檢測(cè)結(jié)果Fig.5 The corresponding features detection

基于以上三個(gè)理想檢測(cè)結(jié)果,設(shè)定合適的閾值得到如下結(jié)果(圖6)。

圖6 檢測(cè)結(jié)果的二值化Fig.6 The binarization of the features detection

相位一致性原理不但可以應(yīng)用于簡(jiǎn)單的自然圖像等,還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域的圖像,如遙感圖像,圖7給出兩幅截于IKONOS遙感影像的圖像。

圖7(a)中主要地物為廠房,廠房周圍有停泊的汽車,圖7(b)中主要地物有農(nóng)田、池塘、小路以及林地。由于遙感圖像是真實(shí)地物的反應(yīng),所以首先每個(gè)圖像中都不是單一的地物類型,再次即使是同一地物其光譜反應(yīng)也不一,如圖7(b)中雖然同為農(nóng)田,但農(nóng)田之間仍然有很大的色調(diào)差異。同時(shí)圖像中還有陰影的影響,如圖7(a)所示,廠房邊緣處有陰影。這些因素均提高了遙感圖像特征的復(fù)雜程度,本文在此不對(duì)遙感圖像特征提取做進(jìn)一步研究,僅利用本文所提的基于二維希爾伯特變換的相位一致性原理對(duì)上述兩圖像進(jìn)行特征提取試驗(yàn)(圖 8)。圖 8(a)中,其原圖像(圖7(a))中的廠房邊緣輪廓,陰影邊緣,車輛以及西北部分的道路的內(nèi)部結(jié)構(gòu)紋理,均被很好地檢測(cè)。而圖7(b)中的小路,以及農(nóng)田,池塘和林地的邊緣輪廓等圖像特征,也在圖8(b)中得到不錯(cuò)的檢測(cè)結(jié)果。但是兩幅圖像仍然受到了原圖像的噪音影響。圖8(a)的檢測(cè)結(jié)果要優(yōu)于圖8(b)。圖7(a)中除去汽車的尺度比較小以外,廠房、陰影邊緣和道路內(nèi)部結(jié)構(gòu)紋理較為接近,而圖7(b)中林地,農(nóng)田結(jié)構(gòu)紋理以及池塘邊緣,小路等特征較為復(fù)雜,從而提高了檢測(cè)的難度。

圖7 IKONOS圖像Fig.7 IKONOS image

圖8 IKONOS圖像特征檢測(cè)結(jié)果Fig.8 The corresponding features detection results

上述的自然圖像和遙感圖像均得到了較好的檢測(cè)結(jié)果。首先,對(duì)于圖4而言,由于檢測(cè)對(duì)象的尺度相近,其檢測(cè)過(guò)程所注意的是選擇合適的卷積窗口,以達(dá)到理想的檢測(cè)效果;其次,原圖像的噪音對(duì)檢測(cè)結(jié)果有一定的影響(如圖4、圖5(c)和圖7),而在圖5(a)中,由于原圖像沒(méi)有噪音,其最終檢測(cè)結(jié)果較其他圖像理想。同時(shí),在保證檢測(cè)效果的前提下,應(yīng)適當(dāng)控制窗口大小以控制噪音影響;最后,圖8的檢測(cè)結(jié)果顯示了本文所提的基于二維希爾伯特變換的相位一致模型在遙感圖像處理中具有應(yīng)用價(jià)值和意義。但遙感圖像的地物類型較為復(fù)雜,而且噪音成分比較大,因此在遙感圖像特征的提取過(guò)程中,需根據(jù)遙感圖像包含的地物類型的不同,來(lái)決定卷積窗口相應(yīng)的尺寸,以達(dá)到理想的圖像特征檢測(cè)效果。

5 結(jié) 論

相位一致性原理的闡述過(guò)程是基于整個(gè)信號(hào)而言,這就造成很多特征無(wú)法明顯表現(xiàn)。為突出各個(gè)局部細(xì)節(jié)特征,本文將其圖像進(jìn)行加窗運(yùn)算,即通過(guò)建立Mf和Hf算子與原圖像進(jìn)行卷積,并除以其去除DC分量圖像的傅里葉分量之和。但是加窗后,雖然突出了各個(gè)細(xì)節(jié),但是圖像噪音也變得更加突出。

為避免一維希爾伯特變換計(jì)算局部能量的不準(zhǔn)確性,將二維希爾伯特變換引入到局部能量模型中,從而可以從各個(gè)方向來(lái)考慮圖像各個(gè)點(diǎn)的局部能量。同時(shí),當(dāng)前窗口下的原始圖像的DC分量引入 PC公式中的分母中,以減少噪音的影響。

本文基于二維希爾伯特變換所建立的相位一致性模型,在圖像特征提取過(guò)程中,取得了較為滿意的結(jié)果。同時(shí),此改進(jìn)模型是對(duì)相位一致性原理的一種新的嘗試。但是,一些不足之處仍然存在,盡管本文已經(jīng)通過(guò)修改相位一致模型來(lái)抑制噪音,并確實(shí)減少了一部分噪音,但是其噪音的影響依然很大。下一步工作將進(jìn)一步完善該模型,并更為有效地控制噪音影響。

[1] ROBERTS L G.Machine Perception of Three Dimensional Solids[C]∥Optical and Electro-optical Information Processing.Cambridge:Massachusetts Institute of Technology Press,1965:159-197.

[2] PREWITT J M S.Object Enhancement and Extraction[C]∥Picture Processing and Psychopictorics.New York:Academic Press,1970:75-149.

[3] SOBEL I.Neighborhood Coding of Binary Images for Fast Contour Following and General Array Binary Processing [J].Computer Graphics and Image Processing,1978,8 (1):127-135.

[4] MARR D,HILDRETH E C.Theory of Edge Detection [C]∥Proceedings of the Royal Society of London:Series B,Biological Sciences.London:the Royal Society,1980: 187-217.

[5] CANNYJ F.A Computational Approach to Edge Detection [J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1986,8(6):679-698.

[6] KUNDU M K,PAL S K.Thresholding for Edge Detection Using Human Psychovisual Phenomena[J].Pattern Recognition Letters,1986,4(6):433-441.

[7] BERGHOLM F.Edge Focusing[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1987,9(6): 726-741.

[8] MORRONE M C,OWENS R A.Feature Detection from Local Energy[J].Pattern Recognition Letters,1987,6 (5):303-313.

[9] MORRONE M C,BURR D C.Feature Detection in Human Vision:a Phase-dependent Energy Model[C]∥Proceedings of the Royal Society of London:Series B,Biological Sciences.London:the Royal Society,1988:221-245.

[10] KOVESI P.Invariant Measures of Image Features from Phase Information[D].Perth:The University of Western Australia,1996.

[11] KOVESI P.Image Features from Phase Congruency[J]. Journal of Computer Vision Research,1999,1(3):1-26. [12] FIELD D J.Relations between the Statistics of Natural Images and the Response Properties of Cortical Cells[J]. Journal of the Optical Society of America:A,Optics and Image Science,1987,4(12):2379-2394.

[13] XIAO Pengfeng,FENG Xuezhi,ZHAO Shuhe.Feature Detection from IKONOS Pan Imagery Based on Phase Congruency[C]∥Proceedings of SPIE,Image and Signal Processing for Remote Sensing.[S.l.]:International Society for Optical Engineering,2006:1-10.

[14] AHMED Z,SAYADI M,FANIECH F.Satellite Images Features Extraction Using Phase Congruency Model[J]. International Journal of Computer Science and Network Security,2009,9(2):192-197.

[15] BEZALEL E,EFRON U.Efficient Face Recognition Method Using a Combined Phase Congruency/Gabor Wavelet Technique[C]∥Proceedings of SPIE,Optical Information Systems.San Diego:International Society for Optical Engineering,2005:437-444.

[16] LINGURARU M G,BALLESTER MáG,AYACHE N.A Multiscale Feature Detector for Morphological A-nalysis of the Brain[C]∥The 6th International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention.[S.l.]:Springer,2003:738-745.

[17] MULET-PARADA M,NOBLE J A.2D+T Acoustic Boundary Detection in Echocardiography[C]∥Proceedings of the First International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. Berlin,Heidelberg:Springer,1998:806-813.

[18] READ R R,TREITEL S.The Stabilization of Twodimensional Recursive Filters via the Discrete Hilbert Transform [J]. IEEE Transactionson Geoscience Electronics,1973(11):153-160.

[19] BOSE N K,PRABHU K A.Two-dimensional Discrete Hilbert Transforms and Computational Complexity Aspects in Its Implementation[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1979,27(4): 356-360.

(責(zé)任編輯:雷秀麗)

The Algorithm of Image Features Detection from Phase Congruency Model Based on 2-D Hilbert Transform

WANG Ke,XIAO Pengfeng
Department of Geographical Information Science of Nanjing University,Nanjing 210093,China

The algorithm of phase congruency developed from phase information of image in frequency domain,is employed for image feature detection.The theory of phase congruency is that image features,such as step edge, roof,Mach band and delta,always occur at points where the phases of harmonic components come to the maximum congruency.This algorithm is realized to extract the image features by constructing the local energy model being normalized to get the value of phase congruency of every point in image.This paper introduces the 2-D Hilbert transform instead of 1-D Hilbert transform to propose the algorithm of phase congruency for detecting the image features.The modified algorithm can take account of the full directions of the image features.Meanwhile,the proposed method simplifies the calculation of the numerator of local energy by convoluting the original image with the window operator to remove DC(Direct Current)component of current window and 2-D Hilbert transform respectively.Moreover,this algorithm makes the denominator of the model of phase congruency adding the DC component to suppress the noise of image.The modified algorithm of phase congruency is implemented into the natural image and remotely sensed imagery,and the results show that the modified algorithm is effective to detect image features.

phase congruency;2-D Hilbert transform;local energy;image feature detection

WANG Ke(1982—),male,PhD,majors in remote sensing digital image processing and the theory and application of spatial relationships.

E-mail:wangke_A@hotmail.com

1001-1595(2010)06-0605-06

TP751.1

A

國(guó)家863計(jì)劃(2008AA12Z106);國(guó)家自然科學(xué)基金(40801166,40771137)

2009-12-19

2010-04-25

王珂(1982—)男,博士,主要研究方向?yàn)檫b感數(shù)字圖像處理、空間關(guān)系理論與應(yīng)用。