基于隨機場的動力分析

莫文輝

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院機械系,湖北十堰442002)

基于隨機場的動力分析

莫文輝

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院機械系,湖北十堰442002)

考慮材料空間多樣性,材料性能特性例如彈性模量或波松比被看成隨機過程。本文采用隨機場的中心點方法,在材料性能特性、幾何尺寸、所受載荷被看成隨機的情況下,結(jié)構(gòu)振動方程先用Newmark法轉(zhuǎn)化為靜力問題。二階Taylor展開隨機有限元被用于結(jié)構(gòu)振動分析,推導(dǎo)簡單,易于編程。給出了基于隨機有限元的混凝土懸臂梁的振動分析的一個計算實例,對計算結(jié)果做了比較,本文提出的方法是有效的。

Taylor;隨機有限元;動力;分析

0 導(dǎo)言

巖土材料以及混凝土材料的彈性模量等許多結(jié)構(gòu)材料的物理參數(shù)具有明顯的空間差異性,將它們視為隨機場加以研究。隨機場的離散是各種隨機有限元方法均需解決的問題,隨機場的離散形式對隨機有限元的計算和計算精度有著決定性的影響。最簡單的離散是中心點法[1]。隨機場的局部平均法將一個單元的隨機場通過該單元的空間平均來描述[2][3]。隨機場可以用形狀函數(shù)和單元的節(jié)點值來描述[4]。利用 Karhunen-Loeve定理將隨機場離散成級數(shù)展開[5]。隨機場局部積分法在單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程中采用隨機場在單元上的加權(quán)積分以考慮材料參數(shù)的隨機場[6][7]。隨機場采用級數(shù)展開表示,運用線性估計優(yōu)化理論,使方差的誤差最小[8]。

攝動隨機有限元應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力分析,振動微分方程組中的Ma(b,t)+f(d,v,b)=F(b,t)中的a、F、f用泰勒展開,并分別令0階項、1階項、2階項相等,得到一組微分方程組,求解該微分方程組后,可獲得d、v、a的均值和協(xié)方差[4]。將載荷看作隨機過程,用攝動隨機有限元研究了隨機載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動[9]。用攝動隨機有限元研究了結(jié)構(gòu)非線性振動,給出了結(jié)構(gòu)在隨機幾何參數(shù)、隨機材料參數(shù)、隨機載荷作用下的非線性振動的分析方法[10]。研究了諧波隨機激勵作用下的,多自由度隨機線性系統(tǒng)的振動,運用了Neumann展開隨機有限元[11]。

本文基于隨機場離散的中點法。用Newmark法將振動微分方程組轉(zhuǎn)化為線性方程。把材料性能參數(shù)看成隨機的,運用 Taylor展開隨機有限元,對結(jié)構(gòu)的線性振動進行了研究。

1 隨機場[12]

隨機場最簡單的離散方法是中點法。在一個網(wǎng)格范圍Ωe內(nèi)的隨機場用一個代替網(wǎng)格中點值的隨機變量來描述。

隨機場的均值、方差、相關(guān)函數(shù)用網(wǎng)格中點來估算。

材料特性的空間變異性,例如彈性模量或波松比被假設(shè)為二維齊次隨機過程。材料性能的波動部分被假設(shè)有0的均值。

自相關(guān)函數(shù)為

如果空間變異的隨機性是各向同性的,空間變異的自相關(guān)函數(shù)被假設(shè)是距離|ξ|的函數(shù)。一個各向同性的自相關(guān)函數(shù)如下所示

d是一個正數(shù),隨著它越大,相關(guān)性慢慢地消失。實際上,對自相關(guān)函數(shù)而言,d是相關(guān)性的一個度量尺度。σ0是隨機場的標準差。為了符合假設(shè)的自相關(guān)函數(shù),譜密度函數(shù)為

用有限元方法把結(jié)構(gòu)劃分為合適數(shù)量的小的單元。如果共有n個單元,那么聯(lián)系n個單元就有n個材料性能值?？紤]齊次隨機場的波動部分,假設(shè)材料性能變異圍繞均值波動。ai=a(xi)(i=1,2,…,n)是n個隨機的值。它們的均值為0,協(xié)方差矩陣Caa描述相關(guān)特性,單元i、單元 j的相關(guān)性為

其中ξij=xi-yj,為單元中點和單元中點的距離。彈性模量的均值為 c1(1.0+θ1xi/L),網(wǎng)格中點的彈性模量的協(xié)方差為c2(1.0+θ2xi/l),c1、c2、θ1、θ2、l、L為常數(shù),xi為網(wǎng)格的中點的橫坐標?；陔S機場的中點法,用直接Monte Carlo方法,Taylor二階展開法對懸臂梁結(jié)構(gòu)振動進行計算。圖2所示結(jié)構(gòu)振動的505節(jié)點的位移均值。Taylor二階展開法計算結(jié)果與直接 Monte Carlo法很接近。直接Monte Carlo法模擬100次。眾所周知,隨著模擬次數(shù)增加,逐步逼近精確解。二階 Taylor展開法與直接Monte Carlo法比較位移均值很接近。圖3所示結(jié)構(gòu)節(jié)點505振動位移的偏差。二階 Taylor展開法與直接Monte Carlo法比較位移偏差很接近。

4 結(jié)論

2 Taylor展開隨機有限元方法

對于一個線性系統(tǒng),動力平衡方程為

采用Newmark法把動力問題轉(zhuǎn)化為如下的靜力問題

本文基于隨機場的中點法,研究了二階 Taylor展開隨機有限元動力分析的計算方法。二階 Taylor展開隨機有限元被推廣到結(jié)構(gòu)的振動分析。以懸臂梁為例進行了實例計算。

結(jié)構(gòu)的彈性模量看成 n個隨機變量 a1,a2,…,ai,…,an

(8)式可以改寫為

從t時刻的狀態(tài)出發(fā),求出位移的均值、方差。一步一步地迭代可求得在t+t1△t(i1=2,3,…,n1)時刻位移的均值、方差。詳細計算過程見文獻[13]。處進行展開,并在兩邊同時取均值,可得

3 計算實例

圖1所示為懸臂梁。它的長度為1 000,寬度為200,高度為50,承受載荷。懸臂梁的材料為混凝土,劃分為400個矩形網(wǎng)格,505個節(jié)點,400個中點。彈性模量看作一個任意隨機過程,網(wǎng)格中點的

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Dynamic Analysis Based on Stochastic Field

MO Wen-hui
(Mechanical Department,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan 442002,China)

Due to spatial variability of material property,Young’s modulus is assumed to be a stochastic process.The midpoint method of stochastic field is adopted.Material properties,geometry parameters and applied loads are assumed to be stochastic;the vibration equation of structure is transformed to a static problem using the Newmark method.The Taylor expansion stochastic finite element method(TSFEM)is extended for the structural vibration analysis,which is easy to derive and program.An example is given respectively and calculated results are compared to validate the proposed method.

Taylor;stochastic finite element;dynamic;analysis

book=2,ebook=83

TB12

A

1008-4738(2010)03-0107-03

2010-04-20

莫文輝(1969-),男,湖北汽車工業(yè)學(xué)院機械系副教授,博士,研究方向:工程力學(xué),機械可靠性。