時域多分辨小波的交替隱式差分方法

湯煒

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021）

時域多分辨小波的交替隱式差分方法

湯煒

（華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021）

采用Harr尺度和小波函數(shù)為空間場量展開函數(shù)，得到時域多分辨小波（MRTD）步進(jìn)方程，并與交替隱式差分（ADI-FDTD）結(jié)合，導(dǎo)出ADI-MRTD融合步進(jìn)方程.場量迭代的核心轉(zhuǎn)化為分塊三對角矩陣線性方程組，提出廣義追趕法進(jìn)行高效求解，討論連接邊界條件的處理，使該方法能夠有效地模擬散射問題.以一維問題為例，驗證ADI-MRTD融合技術(shù)的計算精度和有效性.

Harr尺度；小波函數(shù)；時域多分辨；交替隱式差分

時域有限差分（FDTD）方法已廣泛應(yīng)用于天線、散射和電磁兼容等問題的模擬與分析［1-2］.FDTD方法受CFL（Courant-Friedich-Lecy）穩(wěn)定性和空間色散條件的限制，時間和空間步長均不能選取太大，使得該方法存在計算效率不高的缺陷.因此，有些融合其他技術(shù)的新方法，如偽譜時域差分方法（PSTD）［3-4］、時域多分辨小波（MRTD）［5-6］及交替隱式差分方法（ADI-FDTD）［7-8］等被相繼提出.PSTD和MRTD是通過優(yōu)化空間色散關(guān)系提高空間采樣率，而ADI-FDTD時間色散關(guān)系則是與時間步長非相關(guān)的.MRTD靈活的空間抽樣，使其和ADI-FDTD結(jié)合，使得改善空間分辨率和減小運算量成為可能.Chen等［9］最早提出這一思想，從理論上對其穩(wěn)定性給予證明，并通過諧振腔模分量結(jié)果給出相對誤差.王麗華等［10］利用Daubechies基重新推導(dǎo)時間無關(guān)的穩(wěn)定性證明.相比對MRTD和ADI-MRTD的研究，這一混合方法迄今仍然沒有取得較大的進(jìn)展.本文采用Harr尺度和小波函數(shù)作為空間場量的展開函數(shù)，得到矩陣形式的MRTD步進(jìn)方程，結(jié)合ADI-FDTD方法并導(dǎo)出ADI-MRTD方法步進(jìn)方程.

1 基于Harr小波的MRTD方程

采用Harr尺度函數(shù)和小波函數(shù)作為空間場量的展開函數(shù)，可將MRTD方程改寫為［9］

2 ADI-FDTD和MRTD融合技術(shù)

利用一維ADI-FDTD方程［12］，與式（1），（2）相結(jié)合，整理可分別得到如下2個時間分步.

（1）第1時間分步：

（2）第2時間分步：

與式（4）一起代入式（3），消去時刻磁場分量，可得

設(shè)矩陣方程MX=V，其中M為三對角矩陣，則有

式（9）中：Ai，Bi，Ci均為m階方陣，采用Harr小波基時，m=2.矩陣M通過LU分解，可以得到

其中，b1=B1，ck=b1-1Ck，bk+1=Bk+1-Ak+1ck，k=1，2，…，n-1.此時，原方程等價于Ly=V和Ux=y.采用廣義追趕法求解，即廣義追過程為

而廣義趕過程為

式（11），（12）中出現(xiàn)了矩陣求逆，由于分塊矩陣均為2階方陣，求逆過程并不會占用太多計算時間.

4個連接邊界條件中，Ncmin，Ncmax分別代表右、左連接邊界點；入射波場量（Einc和Hinc）為列向量，其元素分別為相應(yīng)位置和時間上入射波的Harr尺度函數(shù)和小波函數(shù)分量.

3 數(shù)值算例

定義CFL約束條件參量αCFL=cΔt/Δs（c為自由空間光速），一維FDTD方法約束條件要求αCFL＜1，選用入射波為時域高斯脈沖，以提取結(jié)構(gòu)的頻域特性.

例1 無耗介質(zhì)板的反射系數(shù)（ρR）和透射系數(shù)（ρT）.介質(zhì)板厚度d=9cm，介電常數(shù)εr=4.選取ADI-MRTD空間步長Δs=1.5mm，時間步長Δt通過αCFL定義來設(shè)定，例1選擇αCFL=5.介質(zhì)板反射系數(shù)和透射系數(shù)數(shù)值結(jié)果與解析解的對比，結(jié)果如圖1（a）所示.結(jié)果表明，當(dāng)設(shè)定的αCFL參數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過FDTD的約束條件，也即時間步長遠(yuǎn)超過FDTD的取值范圍，與解析方法的計算結(jié)果相比，在0～5GHz范圍內(nèi)幾乎重合.由此可以看到，該方法對這類無耗媒質(zhì)的適用性.

例2 有耗介質(zhì)板的反射和透射系數(shù).介質(zhì)板厚度同例1，介電參數(shù)為εr=2σ，=0.01s·m-1.ADIMRTD的計算參數(shù)選取與例1相同，反射系數(shù)和透射系數(shù)的數(shù)值結(jié)果與解析解之間的對比，結(jié)果如圖1（b）所示.與無耗介質(zhì)板相比，有耗介質(zhì)平板的反射系統(tǒng)隨頻率增加呈減小趨勢，透射系數(shù)在0～5GHz范圍內(nèi)基本保持不變.對比算例1可以看到，介質(zhì)對電磁波的吸收作用.

圖1 反射系數(shù)和透射系數(shù)隨頻率的變化Fig.1 Reflection and transmission coefficient changes with the frequency

例3 一維光帶隙（PBG）結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng).一維PBG結(jié)構(gòu)由兩種無耗媒質(zhì)構(gòu)成，如圖2所示.圖2中，媒質(zhì)1（深色）介電常數(shù)εr，1=9，共有7層且每層厚度d1=7.5cm；媒質(zhì)2（淺色）介電常數(shù)εr，2=1，與媒質(zhì)1相間排列，厚度d2=22.5cm.采用ADI-MRTD和FDTD方法，對該PBG結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖3所示.圖3中，F(xiàn)DTD的空間步長Δs=3.75mm，αCFL=0.5；ADIMRTD的空間步長與FDTD相同而αCFL=5.

圖2 一維光帶隙結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic one-dimensional photonicbandgap structure

計算結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)在250～450MHz頻段內(nèi)，入射波被PBG結(jié)構(gòu)反射，傳輸系數(shù)趨于0，使得該結(jié)構(gòu)對250～450MHz的電波形成傳輸禁帶.圖1（a），（b）和圖3的結(jié)果表明，ADIFDTD和MRTD融合技術(shù)具有較高的計算精度.這種計算精度是在αCFL=5條件下得到的，是傳統(tǒng)FDTD約束條件（αCFL=0.5）的10倍.也即是說，在相同計算資源情況下，ADI-MRTD運行時間步數(shù)僅為傳統(tǒng)FDTD的1/10，有效地提高了計算效率.

雖然ADI技術(shù)使得迭代與時間步長無關(guān)，但仍依據(jù)計算頻帶最高頻率與時間抽樣頻率的關(guān)系，即時間抽樣必須滿足Nyquist抽樣頻率［13］.同時，與傳統(tǒng)的FDTD，MRTD和ADIFDTD方法相比，ADI-MRTD方法的編程復(fù)雜程度有了很大的增加.究其原因在于，ADI-MRTD方法中步進(jìn)方程參量都是以矩陣形式出現(xiàn)的.

圖3 PBG的反射系數(shù)隨頻率的響應(yīng)Fig.3 Photonicbandgap of the reflection coefficient with frequency response

4 結(jié)束語

ADI-FDTD和MRTD融合技術(shù)保持ADI-FDTD無條件穩(wěn)定性的同時，繼承了MRTD解決多尺度電磁問題的優(yōu)點.該技術(shù)可以推廣到二維和三維情況，如模擬粗糙表面目標(biāo)散射問題.只是在二維和三維問題中，無論吸收邊界還是連接邊界條件，處理過程都比較復(fù)雜.

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Analysis of the Alternative Direction Implicit Method Based on Multi-Resolution Time-Domain

TAN G Wei
（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

The paper derives the multi-resolution time-domain（MRTD）update equations adopting the Harr scaling and wavelet function as the expanding basis in space domain.The ADI-MRTD formulae are obtained by combining with the alternative-direction implicit/finite difference time-domain（ADI-FDTD）method.Due to the simplification of Harr wavelet，the field components in ADI-MRTD equation can be updated by the blocked tridiagonal linear equation，which can be evaluated by generalized tridiagonal equation method efficiently.Moreover，this paper discusses the adjacent boundary condition to simulation electromagnetic scattering.Finally，the proposed method is validated by some one-dimension numerical examples.

Harr scaling；wavelet function；multi-solution time-domain；alternative-direction implicit/finite difference time-domain

O 241；TN 011

A

1000-5013（2010）04-0404-04

（責(zé)任編輯：魯斌 英文審校：吳逢鐵）

2008-09-28

湯煒（1974-），男，副教授，主要從事電磁場數(shù)值算法的研究.E-mail：tangwei74@hqu.edu.cn.

華僑大學(xué)高層次人才科研啟動項目（08BS411）