和圖形變換有關(guān)的探究題

●勞海峰 (平水鎮(zhèn)中學(xué) 浙江紹興 312050)

綜觀近幾年的中考試題，筆者發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了一些培養(yǎng)學(xué)生探索精神、創(chuàng)新能力的探究題.其中操作型探究題主要以幾何圖形為背景，經(jīng)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似變換構(gòu)造新圖形，從形狀和位置變化中去探求全等、相似、函數(shù)、方程等知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.通過(guò)觀察圖形在變化過(guò)程中所隱含的規(guī)律，猜想結(jié)論、證明等，是解決此類問(wèn)題的基本策略.下面通過(guò)具體分析，說(shuō)明此類問(wèn)題的解題策略.

1 軸對(duì)稱有關(guān)的操作型探究題

解決這類問(wèn)題的方法是先一般再特殊，即先找到一般性的規(guī)律然后退至特殊情形找到定值.

例1 閱讀下列材料：

小貝遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題：在矩形ABCD中，AD=8 cm，AB=6 cm.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從點(diǎn)A出發(fā)，沿著與邊AB成45°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊成45°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)點(diǎn)P碰到邊BC，沿著與邊BC成45°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P碰到邊CD，再沿著與邊CD成45°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，……，如圖1所示.問(wèn)點(diǎn)P第1次與點(diǎn)D重合前與邊相碰幾次，點(diǎn)P第1次與點(diǎn)D重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線的總長(zhǎng)是多少?小貝的思考是這樣開(kāi)始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形 A1B1CD.由軸對(duì)稱的知識(shí)，可得P2P3=P2E，P1A=P1E.

請(qǐng)你參考小貝的思路解決下列問(wèn)題：

圖1

圖2

(1)點(diǎn)P第1次與點(diǎn)D 重合前與邊相碰_______次;點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)到第1次與點(diǎn)D重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)是_______cm.

(2)近一步探究：改變矩形ABCD中AD，AB的長(zhǎng)，且滿足AD＞AB，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按照閱讀材料中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，并滿足前后連續(xù)2次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的2條邊上.若點(diǎn)P第1次與點(diǎn)B重合前與邊相碰7次，則AB ∶AD的值為_(kāi)______.

圖3

點(diǎn)評(píng)本題是一道操作性探究題，主要根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行探究.第(1)小題的解法可根據(jù)閱讀材料中小貝的思考：“將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形 A1B1CD，由軸對(duì)稱的知識(shí)，可知P2P3=P2E，P1A=P1E”.思路延續(xù)得出矩形A2B2C1D1、矩形 A3B3C2D2……，然后畫(huà)出路徑.總路程是線段P1A=P1E=…=6的n倍.第(2)小題與第(1)小題有著密切的關(guān)系，矩形全等可得長(zhǎng)和寬都相等.由解題思路示意圖，可知AB長(zhǎng)的5倍等于CD長(zhǎng)的4倍，即AB ∶AD的值為4∶5.

2 與平移有關(guān)的操作型探究題

解決這類問(wèn)題的方法是由特殊值到一般規(guī)律，以靜制動(dòng).將平移后所得點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)橫、縱坐標(biāo)的幾何意義把它表示出來(lái)，得到一個(gè)用變量表示的定值，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

圖4

圖5

例2 探究 (1)如圖4，已知線段AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).

①若 A(-1，0)，B(3，0)，則點(diǎn) E 的坐標(biāo)為_(kāi)______;

②若 C(-2，2)，D(-2，-1)，則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為_(kāi)______.

(2)如圖5，已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，求出圖中 AB中點(diǎn) D的坐標(biāo)(用含 a，b，c，d的代數(shù)式表示)，并給出求解過(guò)程.

歸納 無(wú)論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為 A(a，b)，B(c，d)，AB 中點(diǎn)為 D(x，y)時(shí)，x= ______，y = ______(不必證明).

①求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo);

②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖6

圖7

(2)如圖7，過(guò)點(diǎn)A，D，B分別作 x軸的垂線，垂足分別為 A'，D'，B'，則

因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得

運(yùn)用 ①由題意得

圖8

解得 x=3，y=1 或 x=-1，y=-3，

即交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(-1，-3)，B(3，1).

②如圖8，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由上面的結(jié)論知AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，-1).由平行四邊形對(duì)角線互相平分，知OM=OP，即M為OP的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-2).同理可得分別以O(shè)A或OB為邊時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為(4，4)，(-4，-4).因此滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，坐標(biāo)分別是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4).

3 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的操作型探究題

解決與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的操作型探究題，需認(rèn)真觀察圖形不放過(guò)一個(gè)細(xì)節(jié)，看清旋轉(zhuǎn)的角度和方向，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的相關(guān)角與邊.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，弄清變與不變的量;在解決這類問(wèn)題時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)換成全等形求解.根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過(guò)線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的.

圖9

圖10

圖11

圖12

例3 課題 2個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問(wèn)題.

實(shí)驗(yàn)與論證 設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α(α＜∠A1AOA2)，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如圖9 ～12 所示.

(1)用含 α的式子表示角的度數(shù)：θ3=________，θ4= ______，θ5= ______.

(2)如圖9～12，連結(jié)A0H，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在，請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖給出證明;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè) θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫(xiě)出θn的度數(shù).

(4)試猜想在正n邊形的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在，請(qǐng)將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來(lái)(不要求證明);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)60°-α，α，36°-α.

(2)存在.下面選圖9進(jìn)行證明.

如圖13，直線A0H垂直平分A2B1.證明如下：

證明由△A0A1A2≌△A0B1B2，得

又由∠A0A2H=∠A0B1H=60°，得

于是點(diǎn) H在線段 A2B1的垂直平分線上.又由A0A2=A0B1，得點(diǎn)A0在線段 A2B1的垂直平分線上，從而直線A0H垂直平分A2B1.

點(diǎn)評(píng)在第(1)，(2)小題中，筆者利用了旋轉(zhuǎn)后形狀不變、對(duì)應(yīng)角線段相等求解;第(3)，(4)小題與前2個(gè)小題有密切關(guān)系，用到了正多邊形的外接圓知識(shí)、“在同圓或等圓中，如果2個(gè)圓心角、2條弧、2條弦、2個(gè)弦心距中有1個(gè)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各個(gè)量都相等”和分類討論思想.本題利用旋轉(zhuǎn)的圖形不變性，探索圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的有關(guān)規(guī)律，讓學(xué)生體驗(yàn)圖形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，同時(shí)也考查了空間想象、規(guī)律探索、推理能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

圖13

4 與相似有關(guān)的操作型探究題

解決與相似有關(guān)的探究題，關(guān)鍵要抓住哪些是平行線段、哪些是相似三角形、哪些線段可以得出相似比等.

例4 問(wèn)題背景(1)如圖 14，在△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于點(diǎn) D，E，過(guò)點(diǎn) E作EF∥AB交 BC于點(diǎn) F.請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：

圖14

四邊形DBFE的面積S= _______，△EFC的面積 S1=________，△ADE 的面積為_(kāi)______.

探究發(fā)現(xiàn) (2)在第(1)小題中，若 BF=a，F(xiàn)C=b，DE 與 BC 的距離為 h，證明：S2=4S1S2.

拓展遷移 (3)如圖15，?DEFG的4個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的3條邊上，若△ADG，△DBE，△GFC的面積分別為2，5，3，試?yán)玫?2)小題中的結(jié)論求△ABC的面積.

(1)解 S=6，S1=9，S2=1.

(2)證明 由 DE∥BC，EF∥AB，知四邊形DBFE為平行四邊形，因此

圖15

圖16

(3)解 如圖16，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于點(diǎn)H，則四邊形DBHG為平行四邊形，從而由四邊形DEFG為平行四邊形，得

點(diǎn)評(píng)第(1)，(2)小題主要考查了相似三角形的面積之比等于相似比的平方;利用相似證明，可先找2對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，得△ADE∽△EFC;或先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角是否對(duì)應(yīng)成比例;若無(wú)對(duì)應(yīng)角相等，則只需考慮3組對(duì)邊是否成比例.第(3)小題是利用了“探究 S2=4S1S2”、S△ABC=S△ADG+S△DBE+S?DEFG+S△GFC=S△ADG+S?DBHG+S△GHC求解.

綜上所述，探究性的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有不定向的解題思路，往往遵循從“合情推理”到“邏輯推理”的過(guò)程.而規(guī)律探究型在一定的條件狀態(tài)下，需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性.