簡述三角函數(shù)題的7種解法

●邵賢虎 (江浦高級中學(xué) 江蘇南京 211800)

三角函數(shù)是高考和競賽中的重要內(nèi)容，屬于試題中的基礎(chǔ)題.三角函數(shù)可以與其他知識綜合在一起，演繹精彩的方法.筆者總結(jié)了三角函數(shù)題的7種解法，供參考.

原題重現(xiàn) 已知角x滿足3cosx+4sinx=5，求tanx.

1 回歸定義，追本溯源

解法1 設(shè)P(a，b)為角x終邊上任意一點，點P到原點O的距離為r，則

評析 利用三角函數(shù)的定義解題是比較容易忽視的方法，應(yīng)充分認識定義的解題價值.回歸定義，經(jīng)常會有特別的收獲.

2 巧妙配湊，意外驚喜

評析 解題是不斷嘗試的過程，需要信心和敢想敢做的勇氣.很多巧解都來源于大膽的想法，始終要相信題目都是“編”出來的!

3 數(shù)列登場，良性互動

解法3 因為

評析 等差數(shù)列的出現(xiàn)給三角函數(shù)吹入了一股清新的空氣，轉(zhuǎn)化為公差的等式可以說是水到渠成.本題告訴我們：知識和方法是相互聯(lián)系的，可充分發(fā)揮各自的優(yōu)點，為解題服務(wù).

4 巧用對偶，對稱和諧

評析 數(shù)學(xué)中有很多問題有著和諧的對稱美，若能善于挖掘與利用這種關(guān)系，則往往會有意想不到的收獲.在解某些數(shù)學(xué)問題時，針對其中的式子A的特點，為其配湊一個合適的式子B，使得由A和B之間的運算，能產(chǎn)生一些有用的關(guān)系式，促使問題向有利的方向轉(zhuǎn)化，進而解決問題.

5 數(shù)形結(jié)合，形象直觀

解法5 作 Rt△ABC，使得 AC=3，BC=4，則AB=5.作CD⊥AB于點 D，設(shè)∠A=α，則∠BCD=α.由圖1可得

評析 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)問題的具體情況，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，通過代數(shù)方法分析數(shù)量關(guān)系來揭示直觀圖形的性質(zhì)，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，用幾何圖形直觀地刻畫數(shù)量關(guān)系，從而使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，使抽象問題具體化，最終得到解決.

圖1

6 相等問題，不等解決

評析 數(shù)學(xué)中有些相等問題可以用不等知識來解決.運用三角函數(shù)的有界性或均值不等式中等號成立的條件等途徑，通過不等導(dǎo)出相等，以此揭示問題中的隱含條件，揭示等與不等矛盾差異的內(nèi)在聯(lián)系，使問題得以簡潔、明快地解決.

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